6.5: Problemas de aplicación diversos
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En esta sección, aprenderás a aplicar a conceptos de interés compuesto por ahorros y anualidades para:
- Encuentre el saldo pendiente, a la mitad del plazo de un préstamo, de los pagos futuros que aún quedan en el préstamo.
- Realizar cálculos financieros en situaciones que involucren varias etapas de ahorro y/o anualidades.
- Encuentre el valor justo de mercado de un bono.
- Construir un cronograma de amortización para un préstamo.
Ya hemos desarrollado las herramientas para resolver la mayoría de los problemas financieros. Ahora utilizamos estas herramientas para resolver algunos problemas de aplicación.
SALDO PENDIENTE DE UN PRÉSTAMO
Uno de los problemas más comunes es encontrar el saldo adeudado en un momento dado durante la vida de un préstamo. Supongamos que una persona compra una casa y amortiza el préstamo a lo largo de 30 años, pero decide vender la casa unos años después. Al momento de la venta, está obligado a pagar a su prestamista, por lo tanto, necesita conocer el saldo que debe. Dado que la mayoría de los préstamos a largo plazo se pagan prematuramente, a menudo nos enfrentamos a este problema.
Para encontrar el saldo pendiente de un préstamo en un momento determinado, necesitamos encontrar el valor presente\(\mathrm{P}\) de todos los pagos futuros que aún no se hayan pagado. En este caso t no representa la totalidad del plazo del préstamo. En su lugar:
- \(t\)representa el tiempo que aún queda en el préstamo
- \(nt\)representa el número total de pagos futuros.
El señor Jackson compró su casa en 1995, y financió el préstamo por 30 años a una tasa de interés del 7.8%. Su pago mensual fue de $1260. En 2015, el señor Jackson decide pagar el préstamo. Encuentra el saldo del préstamo que aún debe.
Solución
El lector debe señalar que el monto original del préstamo no se menciona en el problema. Eso es porque no necesitamos saberlo para encontrar el equilibrio.
El préstamo original fue por 30 años. Han pasado 20 años por lo que aún quedan años. 12 (10) = Aún quedan 120 pagos por pagar sobre este préstamo.
En cuanto al banco o prestamista se refiere, el señor Jackson está obligado a pagar 1260 dólares cada mes por 10 años más; aún debe un total de 120 pagos. Pero como el señor Jackson quiere pagarlo todo ahora, necesitamos encontrar el valor actual\(\mathrm{P}\) al momento del reembolso de los 10 años restantes de pagos de $1260 cada mes. Usando la fórmula que obtenemos por el valor presente de una anualidad, obtenemos
\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {P} (1+.078/12) ^ {120} &=\ frac {\ izquierda.\ $1260\ izquierda [(1+.078/12) ^ {120} -1\ derecha)\ derecha]} {(.078/12)}\
\ mathrm {P} (2.17597) &=\ $227957.85\
\ mathrm {P} &=\ $104761.48
\ end {alineado}\ nonumber\]
Si un préstamo tiene un pago de\(m\) dólares hecho\(n\) veces al año a un interés\(r\), entonces el valor pendiente del préstamo cuando aún quedan\(t\) años en el préstamo es dado por\(\mathrm{P}\):
\[\mathbf{P}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1} |\right.}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \nonumber \]
IMPORTANTE: Tenga en cuenta que no\(t\) es el plazo original del préstamo sino que\(t\) es la cantidad de tiempo que queda en el futuro\(nt\) es el número de pagos que aún quedan en el futuro
Si el problema no indica directamente la cantidad de tiempo que aún queda en el plazo del préstamo, entonces debe calcularse ANTES de usar la fórmula anterior como\(t\) = plazo original del préstamo - tiempo ya transcurrido desde la fecha de inicio del préstamo.
Tenga en cuenta que existen otros métodos para encontrar el saldo pendiente de un préstamo, pero el método ilustrado anteriormente es el más fácil.
Un método alternativo sería utilizar un cronograma de amortización, como se ilustra hacia el final de esta sección. Un cronograma de amortización muestra los pagos, intereses y saldo pendiente paso a paso después de cada pago del préstamo. Un cronograma de amortización es tedioso de calcular a mano, pero se puede construir fácilmente usando software de hoja de cálculo.
Otra forma de encontrar el saldo pendiente, que no vamos a ilustrar aquí, es encontrar la diferencia A - B, donde
A = el monto original del préstamo (principal) acumulado a la fecha en que queremos encontrar el saldo pendiente (usando la fórmula de interés compuesto)
B = el valor acumulado de todos los pagos que se hayan realizado a la fecha en que queremos encontrar el saldo pendiente (usando fórmula para el valor acumulado de una anualidad)
En este caso necesitaríamos hacer un cálculo de interés compuesto y un cálculo de anualidad; entonces necesitamos encontrar la diferencia entre ellos. Se necesitan tres cálculos en lugar de uno.
Es una forma matemáticamente aceptable de calcular el saldo pendiente. No obstante, es muy recomendable que los alumnos utilicen el método explicado en el recuadro anterior e ilustrado en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), ya que es mucho más sencillo.
PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN MÚLTIPLES ETAPAS DE AHORRO Y/O ANUALIDADES
Considere las siguientes situaciones:
- Supongamos que nace un bebé, Aisha, y sus abuelos invierten 5000 dólares en un fondo universitario. El dinero permanece invertido durante 18 años hasta que Aisha ingresa a la universidad, y luego se retira en pagos semestrales iguales a lo largo de los 4 años que Aisha espera necesitar para terminar la universidad. El fondo de inversión universitaria gana 5% de interés compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero puede retirar Aisha de la cuenta cada seis meses mientras está en la universidad?
- Aisha se gradúa la universidad y comienza un trabajo. Ella ahorra $1000 cada trimestre, depositándolo en una cuenta de ahorros para el retiro. Supongamos que Aisha ahorra por 30 años y luego se jubila. Al jubilarse quiere retirar dinero como anualidad que paga una cantidad constante cada mes por 25 años. Durante la fase de ahorro, la cuenta de retiro gana 6% de interés compuesto trimestralmente. Durante la fase de pago de anualidades, la cuenta de retiro gana 4.8% de interés compuesto mensualmente. Calcular el pago mensual de la anualidad de jubilación de Aisha.
Estos problemas parecen complicados. Pero cada uno puede dividirse en dos problemas menores que involucran intereses compuestos sobre ahorros o que involucran anualidades. A menudo el problema involucra un periodo de ahorro seguido de un periodo de anualidad.; el valor acumulado de la primera parte del problema puede convertirse en un valor presente en la segunda parte. Lea cada problema detenidamente para determinar qué es lo que se necesita.
Supongamos que nace un bebé, Aisha, y sus abuelos invierten $8000 en un fondo universitario. El dinero permanece invertido durante 18 años hasta que Aisha ingresa a la universidad, y luego se retira en pagos semestrales iguales a lo largo de los 4 años que Aisha espera asistir a la universidad. El fondo de inversión universitaria gana 5% de interés compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero puede retirar Aisha de la cuenta cada seis meses mientras está en la universidad?
Solución
Parte 1: Acumulación de Ahorros Universitarios: Encuentra el valor acumulado al término de 18 años de una suma de $8000 invertidos al 5% compuesto semestralmente.
\ [\ begin {array} {l}
A=\ $8000 (1+.05/2) ^ {(2\ times 18)} =\ $8000 (1.025) ^ {36} =\ $8000 (2.432535)\\
A=\ $19460.28
\ end {array}\ nonumber\]
Parte 2: Pago semestral de anualidades de ahorros para destinar a gastos universitarios. Encuentra el monto del pago semestral por cuatro años utilizando los ahorros acumulados de la parte 1 del problema con una tasa de interés del 5% compuesta semestralmente.
\(A\)= $19460.28 en la Parte 1 es el valor acumulado al final del periodo de ahorro. Este se convierte en el valor presente\(P\) =$19460.28 al calcular los pagos semestrales en la Parte 2.
\ [\ begin {array} {c}
\ $19460.28\ left (1+\ frac {.05} {2}\ right) ^ {2\ times 4} =\ frac {m\ left [\ left (1+\ frac {05} {2}\ right) ^ {2\ times 4} -1\ right]} {(.05/2)}\\
\ $ 23710.46=m (8.73612)\\
m=\ $2714.07
\ end {array}\ nonumber\]
Aisha podrá retirar 2714.07 dólares semestralmente para sus gastos universitarios.
Aisha se gradúa la universidad y comienza un trabajo. Ella ahorra $1000 cada trimestre, depositándolo en una cuenta de ahorros para el retiro. Supongamos que Aisha ahorra por 30 años y luego se jubila. Al jubilarse quiere retirar dinero como anualidad que paga una cantidad constante cada mes por 25 años. Durante la fase de ahorro, la cuenta de retiro gana 6% de interés compuesto trimestralmente. Durante la fase de pago de anualidades, la cuenta de retiro gana 4.8% de interés compuesto mensualmente. Calcular el pago mensual de la anualidad de jubilación de Aisha.
Solución
Parte 1: Acumulación de Ahorros para el Retiro: Encuentra el valor acumulado al término de 30 años de $1000 depositados al final de cada trimestre en una cuenta de ahorros para el retiro ganando 6% de interés compuesto trimestralmente.
\ [\ begin {array} {l}
A=\ frac {\ $1000\ left [(1+.06/4) ^ {4\ times 30} -1\ right]} {(.06/4)}\\
A=\ $331288.19
\ end {array}\ nonumber\]
Parte 2: Pago mensual de anualidad de jubilación: Encuentra el monto de los pagos mensuales de anualidad por 25 años utilizando los ahorros acumulados de la parte 1 del problema con una tasa de interés de 4.8% compuesta mensual.
\(A\)= $331288.19 en la Parte 1 es el valor acumulado al final del periodo de ahorro. Esta cantidad pasará a ser el valor presente\(\mathrm{P}\) =331288.19 dólares al calcular los pagos mensuales de anualidad de jubilación en la Parte 2.
\ [\ begin {array} {l}
\ $331288.19 (1+.048/12) ^ {12\ times 25} =\ frac {m\ left [(1+.048/12) ^ {12\ times 25} -1\ right]} {(.048/12)}\
\\ $ 1097285.90=m (578.04483)\
m=\ $1898.27
\ fin {matriz}\ nonumber\]
Aisha tendrá un ingreso mensual por anualidad de jubilación de $1898.27 cuando se jubile.
VALOR JUSTO DE MERCADO DE UN BONO
Siempre que un negocio, y para el caso el gobierno de Estados Unidos, necesita recaudar dinero lo hace vendiendo bonos. Un bono es un certificado de promesa que establece los términos del acuerdo. Por lo general, el negocio vende bonos por el monto nominal de $1,000 cada uno por un plazo establecido, un período de tiempo que termina en una fecha de vencimiento especificada.
La persona que compra el bono, el tenedor del bono, paga $1,000 para comprar el bono.
Al tenedor de bonos se le prometen dos cosas: Primero que recuperará sus mil dólares en la fecha de vencimiento, y segundo que recibirá una cantidad fija de intereses cada seis meses.
A medida que cambian las tasas de interés del mercado, el precio del bono comienza a fluctuar. Los bonos se compran y venden en el mercado a su valor justo de mercado.
La tasa de interés que paga un bono es fija, pero si la tasa de interés del mercado sube, el valor del bono baja ya que el dinero invertido en el bono podría ganar más si se invierte en otro lugar. Cuando el valor del bono baja, decimos que se cotiza con descuento.
Por otro lado, si la tasa de interés del mercado baja, el valor del bono sube ya que el bono ahora produce un rendimiento más alto que la tasa de interés del mercado, y decimos que se cotiza a una prima.
The Orange Computer Company necesita recaudar dinero para expandirse. Emite un bono a 10 años de $1,000 que paga $30 cada seis meses. Si la tasa de interés actual del mercado es del 7%, ¿cuál es el valor justo de mercado del bono?
Solución
El certificado de fianza nos promete dos cosas - Un monto de $1,000 a pagar en 10 años, y un pago semestral de $30 por diez años. Por lo tanto, para encontrar el valor justo de mercado del bono, necesitamos encontrar el valor presente de la suma global de $1,000 que vamos a recibir en 10 años, así como, el valor presente de los pagos semestrales de $30 para los 10 años.
Vamos a dejar P 1 = el valor presente de la cantidad nominal de $1,000
\[P_{1}(1+.07 / 2)^{20}=\$ 1,000 \nonumber \]
Dado que los intereses se pagan dos veces al año, el interés se compone dos veces al año y\(nt\) = 2 (10) =20
\ [\ begin {array} {l}
P_ {1} (1.9898) =\ $1,000\\
P_ {1} =\ $502.56
\ end {array}\ nonumber\]
Dejaremos P 2 = el valor actual de los pagos semestrales de $30 es
\ [\ begin {alineado}
\ mathrm {P} _ {2} (1+.07/2) ^ {20} &=\ frac {\ $30\ left [(1+.07/2) ^ {20} -1\ derecha]} {(.07/2)}\
\ mathrm {P} _ {2} (1.9898) &=848.39\
\ mathrm {P} _ {2} &=\ $426.37
\ end {alineado}\ nonumber\]
El valor actual de la suma global $1,000 = $502.56
El valor actual de los pagos semestrales de $30 = $426.37
El valor justo de mercado del bono es P = P 1+ P 2 = $502.56 + $426.37 = $928.93
Tenga en cuenta que debido a que la tasa de interés de mercado del 7% es mayor que la tasa de interés implícita del bono del 6% implícita por los pagos semestrales, el bono se vende con descuento; su el valor justo de mercado de $928.93 es menor que su valor nominal de $1000.
Un estado emite un bono de 15 años de $1000 que paga 25 dólares cada seis meses. Si la tasa de interés actual del mercado es del 4%, ¿cuál es el valor justo de mercado del bono?
Solución
El certificado de fianza promete dos cosas: una cantidad de $1,000 a pagar en 15 años, y pagos semestrales de 25 dólares por 15 años. Para encontrar el valor justo de mercado del bono, encontramos el valor actual del valor nominal de $1,000 que debemos recibir en 15 años y agregarlo al valor actual de los pagos semestrales de $25 para los 15 años. En este ejemplo,\(nt = 2(15)=30\).
Dejaremos que P 1 = el valor presente de la suma global $1,000
\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {P} _ {1} (1+.04/2) ^ {30} =\ $1,000\
\ mathrm {P} _ {1} =\ $552.07
\ end {array}\ nonumber\]
Dejaremos P 2 = el valor actual de los pagos semestrales de $25 es
\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {P} _ {2} (1+.04/2) ^ {30} =\ frac {\ $25\ left [(1+.04/2) ^ {30} -1\ derecha]} {(.04/2)}\
\ mathrm {P} _ {2} (1.18114) =\ $1014.20\
\ mathrm {P} _ {2} =\ $559.90
\ end {array}\ nonumber\]
El valor actual de la suma global $1,000 = $552.07
El valor actual de los pagos semestrales de $30 = $559.90
Por lo tanto, el valor justo de mercado del bono es
\[P=P_{1} + P_{2}=\$ 552.07+\$ 559.90=\$ 1111.97\nonumber \]
Debido a que la tasa de interés de mercado del 4% es inferior a la tasa de interés del 5% implícita en los pagos semestrales, el bono se vende a una prima: el valor justo de mercado de $1,111.97 es mayor que el valor nominal de $1,000.
Para resumir:
Encuentra el valor actual del monto nominal\(\mathrm{A}\) que se paga en la fecha de vencimiento:
\[\mathbf{A}=\mathbf{P}_{1}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}} ; \text { solve to find } \mathrm{P}_{1} \nonumber \]
Encuentra el valor actual de los pagos semestrales de $\(m\) a lo largo de la vigencia del bono:
\[\mathbf{P}_{2}(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}=\frac{\mathbf{m}\left[(\mathbf{1}+\mathbf{r} / \mathbf{n})^{\mathbf{n} \mathbf{t}}-\mathbf{1}\right]}{\mathbf{r} / \mathbf{n}} \quad ; \text { solve to find } \mathbf{P}_{2} \nonumber \]
El valor razonable de mercado (o valor presente o precio o valor corriente) del bono es la suma de los valores actuales calculados anteriormente:
\[\mathrm{P}=\mathbf{P}_{1}+\mathbf{P}_{2} \nonumber \]
CRONOGRAMA DE AMORTIZACIÓN PARA UN PRÉSTAMO
Un cronograma de amortización es una tabla que enumera todos los pagos de un préstamo, los divide en la porción dedicada a los intereses y la porción que se aplica para reembolsar el principal, y calcula el saldo pendiente del préstamo después de realizar cada pago.
Se toma prestado un monto de $500 por 6 meses a una tasa del 12%. Realizar un cronograma de amortización que muestre el pago mensual, los intereses mensuales sobre el saldo pendiente, la parte del pago que contribuye a reducir la deuda y el saldo pendiente.
Solución
El lector puede verificar que el pago mensual es de $86.27.
El primer mes, el saldo pendiente es de $500, y por lo tanto, el interés mensual sobre el saldo pendiente es
(saldo pendiente) (la tasa de interés mensual) = ($500) (.12/12) = $5
Esto significa que, el primer mes, del pago de $86.27, $5 va hacia el interés y el restante $81.27 hacia el saldo dejando un nuevo saldo de $500 - $81.27 = $418.73.
De igual manera, el segundo mes, el saldo pendiente es de $418.73, y el interés mensual sobre el saldo pendiente es ($418.73) (.12/12) = $4.19. Nuevamente, del pago de $86.27, $4.19 va hacia los intereses y los $82.08 restantes hacia el saldo dejando un nuevo saldo de $418.73 - $82.08 = 336.65 dólares. El proceso continúa en la siguiente tabla.
| Nº de pago | Pago | Interés | Pago de Deuda | Saldo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $86.27 | $5 | $81.27 | $418.73 |
| 2 | $86.27 | $4.19 | $82.08 | 336.65 |
| 3 | $86.27 | 3,37$ | $82.90 | $253.75 |
| 4 | $86.27 | $2.54 | $83.73 | 170.02 |
| 5 | $86.27 | $1.70 | $84.57 | $85.45 |
| 6 | $86.27 | $0.85 | $85.42 | $0.03 |
Tenga en cuenta que el último saldo de 3 centavos se debe a un error en el redondeo.
Un cronograma de amortización suele ser largo y tedioso de calcular a mano. Por ejemplo, un cronograma de amortización para un préstamo hipotecario a 30 años con pagos mensuales tendría (12) (30) =360 filas de cálculos en la tabla de cronogramas de amortización. Un préstamo para automóvil con 5 años de pagos mensuales tendría 12 (5) =60 filas de cálculos en la tabla de cronogramas de amortización. Sin embargo, sería sencillo usar una aplicación de hoja de cálculo en una computadora para hacer estos cálculos repetitivos ingresando y copiando fórmulas para los cálculos en las celdas.
La mayoría de las otras aplicaciones en el conjunto de problemas de esta sección son razonablemente sencillas y se pueden resolver tomando un poco de cuidado extra al interpretarlas. Y recuerda, a menudo hay más de una forma de resolver un problema.