6.6: Clasificación de los problemas financieros

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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, revisarás los conceptos del capítulo 6 para:

Reexaminar los tipos de problemas financieros y clasificarlos.
Reexaminar las palabras de vocabulario utilizadas en la descripción de los cálculos financieros

Nos gustaría recordarle al lector que la parte más difícil de resolver un problema financiero es determinar la categoría en la que cae. Por lo que en esta sección, enfatizaremos la clasificación de los problemas en lugar de encontrar la solución real.

Sugerimos que el alumno lea cuidadosamente cada problema y busque la palabra o palabras que puedan dar pistas sobre el tipo de problema que se presenta. Por ejemplo, los estudiantes a menudo no logran distinguir un problema de suma global de una anualidad. Dado que los pagos se realizan cada periodo, un problema de anualidad contiene palabras como cada, cada, por etc. También hay que tener en cuenta que en el caso de una suma global, sólo se realiza un único depósito, mientras que en una anualidad se realizan numerosos depósitos a intervalos de tiempo iguales espaciados. Para ayudar a interpretar el vocabulario utilizado en los problemas, incluimos un glosario al final de esta sección.

Los estudiantes suelen confundir el valor presente con el valor futuro. Por ejemplo, si un automóvil cuesta $15,000, entonces este es su valor actual. Seguramente, no se puede convencer al distribuidor para que acepte $15,000 en algún tiempo futuro, digamos, en cinco años. Recordemos cómo encontramos el pago a plazos para ese auto. Supusimos que dos personas, el señor Cash y el Sr. Crédito, estaban comprando dos autos idénticos, ambos con un costo de $15, 000 cada uno. Para resolver el argumento de que ambas personas deben pagar exactamente la misma cantidad, colocamos el efectivo del Sr. Cash de $15,000 en el banco como una suma global y los pagos mensuales de Mr. Credit de x dólares cada uno como anualidad. Entonces nos aseguramos de que los valores futuros de estas dos cuentas sean iguales. Como recuerdas, a una tasa de interés del 9%

el valor futuro de la suma global del Sr. Cash era$\$ 15,000(1+.09 / 12)^{60}$, y

el valor futuro de la anualidad del señor Credit era$\frac{x\left[(1+.09 / 12)^{60}-1\right]}{.09 / 12}$.

Para resolver el problema, establecemos las dos expresiones iguales y resolvemos para$m$.

El valor actual de una anualidad se encuentra exactamente de la misma manera. Por ejemplo, supongamos que al señor Credit le dicen que puede comprar un auto en particular por 311.38 dólares mensuales durante cinco años, y Mr. Cash quiere saber cuánto necesita pagar. Estamos encontrando el valor presente de la anualidad de $311.38 mensuales, que es lo mismo que encontrar el precio del auto. Esta vez nuestra cantidad desconocida es el precio del auto. Ahora supongamos que el precio del auto es$\mathrm{P}$, entonces

el valor futuro de la suma global del Sr. Cash es$\mathrm{P}(1+.09 / 12)^{60}$, y

el valor futuro de la anualidad de Mr. Credit es$\frac{\$ 311.38\left[(1+.09 / 12)^{60}-1\right]}{.09 / 12}$.

Estableciéndolos iguales obtenemos,

\ [\ begin {array} {l}
P (1+.09/12) ^ {60} =\ frac {\ $311.38\ left [(1+.09/12) ^ {60} -1\ derecha]} {.09/12}\
P (1.5657) =(\ $311.38) (75.4241)\
P (1.5657) =\ $23.485.57\\
P=\ $15,000.04
\ end {array}\ nonumber\]

Clasificación de problemas y ecuaciones para soluciones

Ahora enumeramos seis problemas que forman una base para todos los problemas financieros.
Además, clasificamos estos problemas y damos una ecuación para la solución.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Si se invierten $2,000 al 7% compuesto trimestralmente, ¿cuál será el monto final en 5 años?

Clasificación: Valor futuro (acumulado) de una suma global o FV de una suma global.

Ecuación:\[\mathrm{FV}=\mathrm{A}=\$ 2000(1+.07 / 4)^{20} \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{2}$

¿Cuánto se debe invertir al 8% compuesto anual, para que el monto final sea de $5,000 en cinco años?

Clasificación: Valor presente de una suma global o PV de una suma global.

Ecuación:\[\mathrm{PV}(1+.08)^{5}=\$ 5,000 \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Si cada mes se invierten $200 al 8.5% compuesto mensual, ¿cuál será el monto final en 4 años?

Clasificación: Valor futuro (acumulado) de una anualidad o FV de una anualidad.

Ecuación:\[\mathrm{FV}=\mathrm{A}=\frac{\$ 200\left[(1+.085 / 12)^{48}-1\right]}{.085 / 12} \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{4}$

¿Cuánto se debe invertir cada mes al 9% para que se acumule a $8,000 en tres años?

Clasificación: Pago de fondo de hundimiento

Ecuación:\[\frac{m\left[(1+.09 / 12)^{36}-1\right]}{.09 / 12}=\$ 8,000 \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Keith ha ganado una lotería pagándole $2,000 mensuales durante los próximos 10 años. Prefiero tener la suma completa ahora. Si la tasa de interés es de 7.6%, ¿cuánto debería recibir?

Clasificación: Valor Presente de una Anualidad o PV de una anualidad.

Ecuación:\[\mathrm{PV}(1+.076 / 12)^{120}=\frac{\$ 2000\left[(1+.076 / 12)^{120}-1\right]}{.076 / 12} \nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{6}$

El señor A acaba de donar 25.000 dólares a su alma mater. Al señor B le gustaría donar una cantidad equivalente, pero le gustaría pagar por pagos mensuales en un periodo de cinco años. Si la tasa de interés es de 8.2%, ¿determinar el tamaño del pago mensual?

Clasificación: Pago a Plazos.

Ecuación:\[\frac{m\left[(1+.082 / 12)^{60}-1\right]}{.082 / 12}=\$ 25,000(1+.082 / 12)^{60} \nonumber \]

GLOSARIO: VOCABULARIO Y SÍMBOLOS UTILIZADOS EN LOS CÁLCULOS FINANCIEROS

Como hemos visto en estos ejemplos, es importante leer atentamente los problemas para identificar correctamente la situación. Es fundamental entender el vocabulario para problemas financieros. Muchas de las palabras de vocabulario utilizadas se enumeran en el glosario a continuación para una fácil referencia.

$t$	Término	Periodo de tiempo para un préstamo o inversión. En este libro$t$ está representado en años y debe convertirse en años cuando se declara en meses u otras unidades.
$\mathrm{P}$	Principal	Principal es la cantidad de dinero prestado en un préstamo. Si se invierte una suma de dinero por un periodo de tiempo, la suma invertida al inicio es el Principal.
$\mathrm{P}$	Valor Presente	Valor del dinero al inicio del periodo de tiempo.
$\mathrm{A}$	Valor Acumulado Valor futuro	Valor del dinero al final del periodo de tiempo
$D$	Descuento	En los préstamos que involucran interés simple, se produce un descuento si el interés se deduce del monto del préstamo al inicio del período del préstamo, en lugar de ser reembolsado al final del período del préstamo.
$m$	Pago Periódico	El monto de un pago periódico constante que ocurre a intervalos regulares durante el período de tiempo considerado (ejemplos: pagos periódicos realizados para reembolsar un préstamo, pagos periódicos regulares a una cuenta bancaria como ahorro, pago periódico regular a una persona jubilada como anualidad,)
$n$	Número de periodos de pago y períodos compuestos por año	En este libro, cuando consideremos pagos periódicos, siempre tendremos que el periodo compuesto sea el mismo que el periodo de pago. En general los periodos de capitalización y pago no tienen por qué ser los mismos, pero los cálculos son más complicados si son diferentes. Si los periodos difieren, las fórmulas para los cálculos se pueden encontrar en libros de texto de finanzas o en diversos recursos en línea. Los cálculos se pueden hacer fácilmente usando tecnología como una calculadora financiera en línea, o funciones financieras en una hoja de cálculo, o una calculadora de bolsillo financiero.
$nt$	Número de periodos	$nt$= (número de periodos por año)$\times$ (número de años) $nt$da el número total de periodos de pago y compuestos En algunas situaciones calcularemos$nt$ como la multiplicación mostrada anteriormente. En otras situaciones el problema puede manifestarse$nt$, como un problema que describe una inversión de 18 meses de duración compuesta mensualmente. En este ejemplo:$nt$ = 18 meses y$n$ = 12; entonces$t$ = 1.5 años pero no$t$ se afirma explícitamente en el problema. Las calculadoras TI-84+ integradas en el solucionador TVM utilizan$N = nt$.
$r$	Tasa de interés anual Tasa nominal	La tasa de interés anual declarada. Esto se expresa como un porcentaje pero convertido a forma decimal cuando se utilizan fórmulas de cálculo financiero. Si una cuenta bancaria paga 3% intereses compuestos trimestralmente, entonces 3% es la tasa nominal, y se incluye en las fórmulas financieras como$r$ = 0.03
$r/n$	Tasa de interés por periodo compuesto	Si una cuenta bancaria paga 3% de interés compuesto trimestralmente, entonces$r/n$ = 0.03/4 = 0. 075, correspondiente a una tasa de 0.75% por trimestre. Algunos libros de matemáticas finitas usan el símbolo$i$ para representar$r/n$

$r_{EFF}$	Tasa Efectiva Tasa de interés anual efectiva Rendimiento porcentual anual APY Tasa porcentual anual APR	La tasa efectiva es la tasa de interés compuesta anualmente que daría la misma tasa de interés que la tasa compuesta establecida para la inversión. La tasa efectiva proporciona una manera uniforme para que los inversionistas o prestatarios comparen diferentes tipos de interés con diferentes períodos de capitalización.
$I$	Interés	Dinero pagado por un prestatario por el uso de dinero prestado como préstamo. Dinero ganado a lo largo del tiempo al depositar dinero en una cuenta de ahorros, certificado de depósito o cuenta del mercado monetario. Cuando una persona deposita dinero en una cuenta bancaria, la persona que deposita los fondos esencialmente presta temporalmente el dinero al banco y el banco paga intereses al depositante.
	Fondo de Hundimiento	Un fondo creado mediante la realización de pagos durante un periodo de tiempo en una cuenta de ahorro o inversión con el fin de ahorrar para financiar una compra futura. Las empresas utilizan fondos de hundimiento para ahorrar para una futura compra de equipos al final del período de ahorro al realizar pagos periódicos a plazos en un fondo de hundimiento.
	Anualidad	Una anualidad es un flujo de pagos periódicos. En este libro se refiere a un flujo de pagos periódicos constantes que se realizan al final de cada periodo compuesto por una cantidad específica de tiempo. En uso común el término anualidad se refiere generalmente a un flujo constante de pagos periódicos que recibe una persona como ingresos de jubilación, como por ejemplo de una pensión. Los pagos de anualidades en general podrán realizarse al término de cada periodo de pago (anualidad ordinaria) o al inicio de cada periodo (anualidad vencida). No es necesario que los periodos compuestos y los periodos de pago sean iguales, pero en este libro de texto solo consideramos situaciones en las que estos periodos son iguales.
	Suma global	Una sola suma de dinero pagada o depositada a la vez, en lugar de ser repartida a lo largo del tiempo. Un ejemplo son las ganancias de lotería si el destinatario elige recibir un solo pago único de “suma global”, en lugar de pagos periódicos durante un período de tiempo o como. El uso de la palabra suma global indica que se trata de una transacción única y no es un flujo de pagos periódicos.
	Préstamo	Una cantidad de dinero que se toma prestada con el entendimiento de que el prestatario necesita reembolsar el préstamo al prestamista en el futuro al término de un periodo de tiempo que se denomina plazo del préstamo. El reembolso se realiza con mayor frecuencia a través de pagos periódicos hasta que el préstamo se haya reembolsado completamente a lo largo del plazo del préstamo. No obstante también hay préstamos que pueden ser reembolsado como una sola suma al término del plazo del préstamo, con intereses pagados ya sea periódicamente a lo largo del plazo o en una suma global al término del préstamo o como descuento al inicio del préstamo.

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\(t\)	Término	Periodo de tiempo para un préstamo o inversión. En este libro\(t\) está representado en años y debe convertirse en años cuando se declara en meses u otras unidades.
\(\mathrm{P}\)	Principal	Principal es la cantidad de dinero prestado en un préstamo. Si se invierte una suma de dinero por un periodo de tiempo, la suma invertida al inicio es el Principal.
\(\mathrm{P}\)	Valor Presente	Valor del dinero al inicio del periodo de tiempo.
\(\mathrm{A}\)	Valor Acumulado Valor futuro	Valor del dinero al final del periodo de tiempo
\(D\)	Descuento	En los préstamos que involucran interés simple, se produce un descuento si el interés se deduce del monto del préstamo al inicio del período del préstamo, en lugar de ser reembolsado al final del período del préstamo.
\(m\)	Pago Periódico	El monto de un pago periódico constante que ocurre a intervalos regulares durante el período de tiempo considerado (ejemplos: pagos periódicos realizados para reembolsar un préstamo, pagos periódicos regulares a una cuenta bancaria como ahorro, pago periódico regular a una persona jubilada como anualidad,)
\(n\)	Número de periodos de pago y períodos compuestos por año	En este libro, cuando consideremos pagos periódicos, siempre tendremos que el periodo compuesto sea el mismo que el periodo de pago. En general los periodos de capitalización y pago no tienen por qué ser los mismos, pero los cálculos son más complicados si son diferentes. Si los periodos difieren, las fórmulas para los cálculos se pueden encontrar en libros de texto de finanzas o en diversos recursos en línea. Los cálculos se pueden hacer fácilmente usando tecnología como una calculadora financiera en línea, o funciones financieras en una hoja de cálculo, o una calculadora de bolsillo financiero.
\(nt\)	Número de periodos	\(nt\)= (número de periodos por año)\(\times\) (número de años) \(nt\)da el número total de periodos de pago y compuestos En algunas situaciones calcularemos\(nt\) como la multiplicación mostrada anteriormente. En otras situaciones el problema puede manifestarse\(nt\), como un problema que describe una inversión de 18 meses de duración compuesta mensualmente. En este ejemplo:\(nt\) = 18 meses y\(n\) = 12; entonces\(t\) = 1.5 años pero no\(t\) se afirma explícitamente en el problema. Las calculadoras TI-84+ integradas en el solucionador TVM utilizan\(N = nt\).
\(r\)	Tasa de interés anual Tasa nominal	La tasa de interés anual declarada. Esto se expresa como un porcentaje pero convertido a forma decimal cuando se utilizan fórmulas de cálculo financiero. Si una cuenta bancaria paga 3% intereses compuestos trimestralmente, entonces 3% es la tasa nominal, y se incluye en las fórmulas financieras como\(r\) = 0.03
\(r/n\)	Tasa de interés por periodo compuesto	Si una cuenta bancaria paga 3% de interés compuesto trimestralmente, entonces\(r/n\) = 0.03/4 = 0. 075, correspondiente a una tasa de 0.75% por trimestre. Algunos libros de matemáticas finitas usan el símbolo\(i\) para representar\(r/n\)

\(r_{EFF}\)	Tasa Efectiva Tasa de interés anual efectiva Rendimiento porcentual anual APY Tasa porcentual anual APR	La tasa efectiva es la tasa de interés compuesta anualmente que daría la misma tasa de interés que la tasa compuesta establecida para la inversión. La tasa efectiva proporciona una manera uniforme para que los inversionistas o prestatarios comparen diferentes tipos de interés con diferentes períodos de capitalización.
\(I\)	Interés	Dinero pagado por un prestatario por el uso de dinero prestado como préstamo. Dinero ganado a lo largo del tiempo al depositar dinero en una cuenta de ahorros, certificado de depósito o cuenta del mercado monetario. Cuando una persona deposita dinero en una cuenta bancaria, la persona que deposita los fondos esencialmente presta temporalmente el dinero al banco y el banco paga intereses al depositante.
	Fondo de Hundimiento	Un fondo creado mediante la realización de pagos durante un periodo de tiempo en una cuenta de ahorro o inversión con el fin de ahorrar para financiar una compra futura. Las empresas utilizan fondos de hundimiento para ahorrar para una futura compra de equipos al final del período de ahorro al realizar pagos periódicos a plazos en un fondo de hundimiento.
	Anualidad	Una anualidad es un flujo de pagos periódicos. En este libro se refiere a un flujo de pagos periódicos constantes que se realizan al final de cada periodo compuesto por una cantidad específica de tiempo. En uso común el término anualidad se refiere generalmente a un flujo constante de pagos periódicos que recibe una persona como ingresos de jubilación, como por ejemplo de una pensión. Los pagos de anualidades en general podrán realizarse al término de cada periodo de pago (anualidad ordinaria) o al inicio de cada periodo (anualidad vencida). No es necesario que los periodos compuestos y los periodos de pago sean iguales, pero en este libro de texto solo consideramos situaciones en las que estos periodos son iguales.
	Suma global	Una sola suma de dinero pagada o depositada a la vez, en lugar de ser repartida a lo largo del tiempo. Un ejemplo son las ganancias de lotería si el destinatario elige recibir un solo pago único de “suma global”, en lugar de pagos periódicos durante un período de tiempo o como. El uso de la palabra suma global indica que se trata de una transacción única y no es un flujo de pagos periódicos.
	Préstamo	Una cantidad de dinero que se toma prestada con el entendimiento de que el prestatario necesita reembolsar el préstamo al prestamista en el futuro al término de un periodo de tiempo que se denomina plazo del préstamo. El reembolso se realiza con mayor frecuencia a través de pagos periódicos hasta que el préstamo se haya reembolsado completamente a lo largo del plazo del préstamo. No obstante también hay préstamos que pueden ser reembolsado como una sola suma al término del plazo del préstamo, con intereses pagados ya sea periódicamente a lo largo del plazo o en una suma global al término del préstamo o como descuento al inicio del préstamo.