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7.6: Combinaciones- Involucrar varios conjuntos

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    Objetivos de aprendizaje

    En esta sección aprenderás a

    1. contar el número de elementos seleccionados de más de un conjunto
    2. contar el número de elementos seleccionados cuando hay restricciones en las selecciones

    Hasta el momento hemos resuelto el problema básico de combinación de\(\mathrm{r}\) objetos elegidos entre n objetos diferentes. Ahora consideraremos ciertas variaciones de este problema.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuántos comités de cinco personas que constan de 2 hombres y 3 mujeres se pueden elegir de un total de 4 hombres y 4 mujeres?

    Solución

    Enumeramos 4 hombres y 4 mujeres de la siguiente manera:

    \[M_1M_2M_3M_4W_1W_2W_3W_4 \nonumber \]

    Ya que queremos comités de 5 personas que consten de 2 hombres y 3 mujeres, primero formaremos todos los comités posibles de dos hombres y todos los comités posibles de tres mujeres. Claramente hay 4C2 = 6 comités de dos hombres, y 4C3 = 4 comités de tres mujeres, los enumeramos de la siguiente manera:

    Comités 2-Man 3-Comités Mujer

    \ [\ begin {array} {l}
    \ mathrm {M} _ {1}\ mathrm {M} _ {2}\
    \ mathrm {M} _ {1}\ mathrm {M} _ {3}\
    \ mathrm {M} _ {1}\ mathrm {M} _ {4}\
    \ mathrm {M} _ {M} _ {2}\ mathrm {M} _ 3}\\
    \ mathrm {M} _ {2}\ mathrm {M} _ {4 }\\
    \ mathrm {M} _ {3}\ mathrm {M} _ _ {4}
    \ final {matriz}\ nonumber\]

    \ [\ begin {array} {l}
    \ mathrm {W} _ {1}\ mathrm {W} _ {2}\ mathrm {W} _ {3}\
    \ mathrm {W} _ {1}\ mathrm {W} _ {2}\ mathrm {W} _ {4}\
    \ mathrm {W} _ {1}\ mathrm {W} _ {3}\ mathrm {W} _ {4}\\
    \ mathrm {W} _ {2}\ mathrm {W} _ _ {3}\ mathrm {W} _ {4 }
    \ end {array}\ nonumber\]

    Por cada comité de 2 hombres hay cuatro comités de 3 mujeres que se pueden elegir para hacer un comité de 5 personas. Si elegimos\(M_1M_2\) como nuestro comité de 2 hombres, entonces podemos elegir cualquiera de\(W_1W_2W_3\),,\(W_1W_2W_4\)\(W_1W_3W_4\), o\(W_2W_3W_4\) como nuestros comités de 3 mujeres. Como resultado, obtenemos

    \[ \boxed{M_1M_2}W_1W_2W_3, \boxed{M_1M_2} W_1W_2W_4, \boxed{M_1M_2} W_1W_3W_4, \boxed{M_1M_2} W_2W_3W_4 \nonumber \]

    De igual manera, si elegimos\(M_1M_3\) como nuestro comité de 2 hombres, entonces, nuevamente, podemos elegir cualquiera de\(W_1W_2W_3\),\(W_1W_2W_4\),\(W_1W_3W_4\), o\(W_2W_3W_4\) como nuestros comités de 3 mujeres.

    \[\boxed{M_1M_3}W_1W_2W_3, \boxed{M_1M_3} W_1W_2W_4, \boxed{M_1M_3}W_1W_3W_4, \boxed{M_1M_3}W_2W_3W_4 \nonumber \]

    Y así sucesivamente.

    Ya que hay seis comités de 2 hombres, y por cada comité de 2 hombres hay cuatro comités de 3 mujeres, en total hay comités de\(6 \cdot 4 = 24\) cinco personas.

    En esencia, estamos aplicando el axioma de multiplicación a las diferentes combinaciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Un club de secundaria consta de 4 estudiantes de primer año, 5 estudiantes de segundo año, 5 juniors y 6 seniors. ¿Cuántas formas se puede elegir un comité de 4 personas que incluya

    1. ¿Un alumno de cada clase?
    2. ¿Todos los juniors?
    3. ¿Dos estudiantes de primer año y 2 adultos mayores?
    4. ¿Sin estudiantes de primer año?
    5. ¿Al menos tres adultos mayores?

    Solución

    a. Aplicando el axioma de multiplicación a las combinaciones involucradas, obtenemos

    (4C1) (5C1) (5C1) (6C1) = 600

    b. Estamos eligiendo a los 4 miembros de los 5 juniors, y ninguno de los demás.

    5C4 = 5

    c. 4C2\(\cdot\) 6C2 = 90

    d. Como no queremos estudiantes de primer año en la comisión, tenemos que elegir a todos los miembros de entre los 16 restantes. Eso es

    16C4 = 1820

    e. de las 4 personas que integran el comité, queremos al menos tres adultos mayores. Esto se puede hacer de dos maneras. Podríamos tener tres adultos mayores, y uno no senior, o los cuatro adultos mayores.

    (6C3) (14C1) + 6C4 = 295

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    ¿Cuántas secuencias de palabras de cinco letras que constan de 2 vocales y 3 consonantes se pueden formar a partir de las letras de la palabra INTRODUIR?

    Solución

    Primero seleccionamos un grupo de cinco letras que consta de 2 vocales y 3 consonantes.
    Como hay 4 vocales y 5 consonantes, tenemos

    (4C2) (5C3)

    Ya que nuestra siguiente tarea es hacer secuencias de palabras a partir de estas letras, ¡las multiplicamos por 5!.

    (4C2) (5C3) (5! ) = 7200.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Una baraja estándar de naipes tiene 52 cartas que constan de 4 palos cada uno con 13 cartas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede sacar una mano de 5 cartas compuesta por cuatro cartas de un palo y una de otra?

    Solución

    Haremos el problema siguiendo los siguientes pasos.
    Paso 1. Selecciona un traje.
    Paso 2. Selecciona cuatro tarjetas de este palo.
    Paso 3. Selecciona otro traje.
    Paso 4. Selecciona una tarjeta de ese palo.

    Aplicando el axioma de multiplicación, tenemos

    Formas de seleccionar el primer traje Formas de seleccionar 4 tarjetas de este traje Formas de seleccionar el siguiente palo Formas de seleccionar una tarjeta de ese palo
    4C1 13C4 3C1 13C1

    (4C1) (13C4) (3C1) (13C1) = 111,540.

    UNA BARAJA ESTÁNDAR DE 52 NAIPES

    Al igual que en el ejemplo anterior, muchos ejemplos y problemas de tareas en este libro se refieren a una baraja estándar de 52 naipes. Antes de terminar esta sección, nos tomamos un minuto para describir una baraja estándar de naipes, ya que algunos lectores pueden no estar familiarizados con esto.

    Una baraja estándar de 52 naipes tiene 4 palos con 13 cartas en cada palo.

    7.6DeckCards.png

    Cada traje está asociado con un color, ya sea negro (espadas, palos) o rojo (diamantes, corazones)

    Cada palo contiene 13 denominaciones (o valores) para tarjetas:

    nueve números 2, 3, 4,..., 10 y Jack (J), Reina (Q), Rey (K), As (A).

    A los Jack, la Reina y el Rey se les llama “cartas faciales” porque tienen fotos en ellas. Por lo tanto, una baraja estándar tiene 12 cartas de cara: (3 valores JQK) x (4 palos ♦♥♠ ♣)

    Podemos visualizar las 52 tarjetas por la siguiente pantalla

    Traje Color Valores (Denominaciones)
    ♦ Diamantes Rojo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
    ♥ Corazones Rojo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
    ♠ Picas Negro 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
    ♣ Clubes Negro 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

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