9.3: Valor esperado
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En esta sección, aprenderás a:
- Encontrar el valor esperado de una distribución de probabilidad discreta
- Interpretar el valor esperado como un promedio a largo plazo
Una ganancia o pérdida esperada en un juego de azar se llama Valor Esperado. El concepto de valor esperado está estrechamente relacionado con un promedio ponderado. Considera las siguientes situaciones.
1. Supongamos que usted y su amigo juegan un juego que consiste en rodar un dado. Tu amigo te ofrece el siguiente trato: Si el dado muestra algún número del 1 al 5, te pagará el valor nominal del dado en dólares, es decir, si el dado muestra un 4, te pagará $4. Pero si el dado muestra un 6, tendrás que pagarle 18 dólares.
Antes de jugar el juego decides encontrar el valor esperado. Analizas de la siguiente manera.
Dado que un dado mostrará un número del 1 al 6, con una probabilidad igual de 1/6, tu probabilidad de ganar $1 es 1/6, ganar $2 es 1/6, y así sucesivamente hasta el valor nominal de 5. Pero si el dado muestra un 6, perderás 18 dólares. Escribes el valor esperado.
\[\mathrm{E}=\$ 1(1 / 6)+\$2(1 / 6)+\$ 3(1 / 6)+\$ 4(1 / 6)+\$ 5(1 / 6)-\$ 18(1 / 6)=-\$ .50 \nonumber \]
Esto significa que cada vez que juegues a este juego, puedes esperar perder 50 centavos. Es decir, si juegas a este juego 100 veces, teóricamente perderás 50 dólares. Obviamente, no es de tu interés jugar.
2. Supongamos que de los diez cuestionarios que realizó en un curso, en ocho cuestionarios anotó 80, y en dos anotó 90. Deseas encontrar el promedio de los diez cuestionarios.
El promedio es
\[\mathrm{A}=\frac{(80)(8)+(90)(2)}{10}=(80) \frac{8}{10}+(90) \frac{2}{10}=82 \nonumber \]
Cabe señalar que sería incorrecto tomar el promedio de 80 y 90 porque anotó 80 en ocho cuestionarios, y 90 en sólo dos de ellos. Por lo tanto, se toma un “promedio ponderado” de 80 y 90. Es decir, el promedio de 8 partes de 80 y 2 partes de 90, que es 82.
En la primera situación, para encontrar el valor esperado, multiplicamos cada pago por la probabilidad de su ocurrencia, para luego sumar los montos calculados para todos los casos posibles. En el segundo ejemplo, si consideramos que nuestro puntaje de prueba es un pago, hicimos lo mismo. Esto nos lleva a la siguiente definición.
Si un experimento tiene la siguiente distribución de probabilidad,
| Pago | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | ... | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | \(p(x_1)\) | \(p(x_2)\) | \(p(x_3)\) | ... | \(p(x_n)\) |
entonces el valor esperado del experimento es
\[\text { Expected Value }=x_{1} p\left(x_{1}\right)+x_{2} p\left(x_{2}\right)+x_{3} p\left(x_{3}\right)+\dots+x_{n} p\left(x_{n}\right) \nonumber \]
En una localidad, el 10% de las familias tienen tres hijos, el 60% de las familias tienen dos hijos, el 20% de las familias tienen un hijo y el 10% de las familias no tienen hijos. ¿Cuál es el número esperado de hijos para una familia?
Solución
Enlistamos la información en la siguiente tabla.
| Número de niños | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 0.10 | 0.60 | 0.20 | 0.10 |
Valor esperado =\(x_1p(x_1) + x_2p(x_2) + x_3p(x_3) + x_4p(x_4)\)
\(E = 3(.10) + 2(.60) + 1(.20) + 0(.10) = 1.7\)
Entonces, en promedio, hay 1.7 hijos a una familia.
Para vender una casa promedio, un corredor de bienes raíces gasta $1200 en gastos de publicidad. Si la casa se vende en tres meses, el corredor gana $8,000. De lo contrario, el corredor pierde el listado. Si hay un 40% de posibilidades de que la casa se venda en tres meses, ¿cuál es el pago esperado para el corredor de bienes raíces?
Solución
El corredor gana $8,000 con una probabilidad de .40, pero pierde 1200 dólares independientemente de que la casa se venda o no.
\[ E = (\$8000)(.40) - (\$1200) = \$2,000 \nonumber. \nonumber \]
Alternativamente, el bróker gana $ (8000 - 1200) con una probabilidad de .40, pero pierde 1200 dólares con una probabilidad de .60. Por lo tanto,
\[E = (\$6800)(.40) - (\$1200)(.60) = \$2,000 \nonumber. \nonumber \]
En una localidad, la asistencia a un partido de fútbol depende del clima. En un día soleado la asistencia es de 60,000, en un día frío la asistencia es de 40,000, y en un día tormentoso la asistencia es de 30,000. Si para la próxima temporada futbolística, el meteorolero ha pronosticado que el 30% de los días serán soleados, el 50% de los días serán fríos y el 20% los días serán tormentosos, ¿cuál es la asistencia esperada para un solo juego?
Solución
Usando la fórmula del valor esperado, obtenemos
\[ E = (60,000)(.30) + (40,000)(.50) + (30,000)(.20) = 44,000 \nonumber. \nonumber \]
Una lotería consiste en elegir 6 números de un total de 51 números. La persona que empareja los seis números gana 2 millones de dólares. Si el boleto de lotería cuesta $1, ¿cuál es el pago esperado?
Solución
Dado que hay\(51\mathrm{C}6 = 18,009,460\) combinaciones de seis números de un total de 51 números, la posibilidad de elegir el número ganador es 1 de 18,009,460.
Entonces el pago esperado es:\(\mathrm{E}=\left(\$ 2 \text { million } \right) \left(\frac{1}{18009460}\right)-\$ 1=-\$ 0.89\)
Esto significa que cada vez que una persona gasta $1 para comprar un boleto, puede esperar perder 89 centavos.