5.1: Multiplicación usando uno y pocos

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 112517

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

En casi todos los problemas cuantitativos, el análisis simplifica cuando sigues el proverbial consejo de hacer primero lo primero. Primero aproxima y entienda el efecto más importante la gran parte luego afina tu análisis y comprensión. Este procedimiento de aproximación sucesiva o “sacar la gran parte” genera expresiones significativas, memorables y utilizables. Los siguientes ejemplos introducen la idea relacionada de expresiones de baja entropía (Sección 5.2) y analizan la multiplicación mental (Sección 5.1), la exponenciación (Sección 5.3), las ecuaciones cuadráticas (Sección 5.4) y una integral trigonométrica difícil (Sección 5.5).

Multiplicación usando uno y pocos

La primera ilustración es un método de multiplicación mental adecuado para estimaciones aproximadas al fondo del sobre. El cálculo particular es la capacidad de almacenamiento de un CD-ROM de datos. Un CD-ROM de datos tiene el mismo formato y capacidad de almacenamiento que un CD de música, cuya capacidad puede estimarse como producto de tres factores:

\[\underbrace{1 \mathrm{hr} \times \frac{3600 \mathrm{~s}}{1 \mathrm{hr}}}_{\text {playing time }} \times \underbrace{\frac{4.4 \times 10^{4} \text { samples }}{1 \mathrm{~s}}}_{\text {sample rate }} \times \underbrace{2 \text { channels } \times \frac{16 \text { bits }}{1 \text { sample }}}_{\text {sample size }} \label{5.1} \]

(En el factor de tamaño de muestra, los dos canales son para sonido estereofónico).

Múltiples problemas

Problema 5.1 Frecuencia de muestreo

Busque el teorema de muestreo Shannon—Nyquist [22] y explique por qué la frecuencia de muestreo (la velocidad a la que se mide la presión del sonido) es de aproximadamente 40 kHz.

Problema 5.2 Bits por muestra

Porque\(2^{16} ∼ 10^{5}\), una muestra de 16 bits elegida para el formato de CD requiere una precisión electrónica de aproximadamente 0.001%. ¿Por qué los diseñadores del formato CD no eligieron un tamaño de muestra mucho mayor, digamos 32 bits (por canal)?

Problema 5.3 Comprobación de unidades

Verifique que todas las unidades en la estimación se dividan excepto las unidades de bits deseadas.

Los cálculos posteriores utilizan estimaciones aproximadas como el tiempo de reproducción y descuidan factores importantes como los bits dedicados a la detección y corrección de errores. En esta y muchas otras estimaciones, la multiplicación con 3 decimales de precisión sería exagerada. Un análisis aproximado necesita un método aproximado de cálculo.

Pregunta

¿Cuál es la capacidad de datos dentro de un factor de 2?

Las unidades (¡la mayor parte!) son bits (Problema 5.3), y los tres factores numéricos contribuyen\(3600 \times 4.4 \times 10^{4} \times 32\). Para estimar el producto, divídalo en una gran parte y una corrección.

La gran parte: El factor más importante en un producto posterior del sobre generalmente proviene de los poderes de 10, así que evalúa primero esta gran parte:

3600 aporta tres poderes de 10,\(4.4 \times 10^{4}\) aporta cuatro y 32 aporta uno. Los ocho poderes de 10 producen un factor de 10.

La corrección: Después de sacar la gran parte, la parte restante es un factor de corrección de\(3.6 \times 4.4 \times 3.2\). Este producto también se simplifica al sacar su gran parte. Redondea cada factor al número más cercano entre tres opciones: 1, pocas o 10. El número inventado pocos se encuentra a medio camino entre 1 y 10: Es la media geométrica de 1 y 10, así\((few)^{2} = 10\) y pocos ≈ 3. En el producto\(3.6 \times 4.4 \times 3.2\), cada factor ronda a pocos, así\(3.6 \times 4.4 \times 3.2 ≈ (few)^{3}\) o aproximadamente 30.

Las unidades, las potencias de 10, y el factor de corrección se combinan para dar

\[\text{capacity} ∼ 10^{8} \times 30 bits = 3 \times 10^{9} bits. \label{5.2} \]

Esta estimación se encuentra dentro de un factor de 2 del producto exacto (Problema 5.4), que en sí mismo está cerca de la capacidad real de los\(5.6 \times 10^{9}\) bits.

Múltiples problemas

Problema 5.4 ¿Subestimar o sobreestimar?

¿\(3 \times 10^{9}\)Sobestima o subestima\(3600 \times 4.4 \times 10^{4} \times 32\)? Comprueba tu razonamiento calculando el producto exacto.

Problema 5.5 Más práctica

Utilice el método de multiplicación de uno o pocos para realizar mentalmente los siguientes cálculos; luego compare los productos aproximados y reales.

a\(161 \times 294 \times 280 \times 438\). El producto real es aproximadamente\(5.8 \times 10^{9}\).

b. Superficie de la Tierra\(A = 4\pi R^{2}\), donde el radio es\(R ∼ 6 \times 10^{6}\) m. La superficie real es aproximadamente\(5.1 \times 10^{14}m^{2}\).