5.2: Cambios fraccionarios y expresiones de baja entropía
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El uso del método de uno o pocos para la multiplicación mental es rápido. Por ejemplo, se convierte\(3.15 \times 7.21\) rápidamente\(\text{few} \times 101 ∼ 30\), que está dentro del 50% del producto exacto 22.7115. Para obtener una estimación más precisa, redondear 3.15 a 3 y 7.21 a 7. Su producto 21 está en error por sólo 8%. Para reducir aún más el error, uno podría\(3.15 × 7.21\) dividirse en una gran parte y una corrección aditiva. Esta descomposición produce
\[\begin{align*} 3.15 \times 7.21 &= (3 + 0.15)(7 + 0.21) \\[4pt] &= \underbrace{3 \times 7}_{\text{big part}} + \underbrace{0.15 \times 7 + 3 \times 0.21 + 0.15 \times 0.21}_{\text{additive correction}}. \end{align*} \nonumber \]
El enfoque es sólido, pero la aplicación literal de sacar la gran parte produce una corrección desordenada que es difícil de recordar y entender. Ligeramente modificado, sin embargo, sacar la parte grande proporciona una corrección limpia e intuitiva. Como salsa, el desarrollo de la corrección mejorada introduce dos ideas importantes de lucha en la calle: cambios fraccionarios (Sección 5.2.1) y expresiones de baja entropía (Sección 5.2.2). La corrección mejorada entonces, como el primero de muchos usos, nos ayudará a estimar la energía ahorrada por los límites de velocidad de la carretera (Sección 5.2.3).
Cambios fraccionarios
La alternativa higiénica a una corrección aditiva es dividir el producto en una gran parte y una corrección multiplicativa:
\[3.15 \times 7.21 = \underbrace{3 \times 7}_{\text{big part}} \times \underbrace{(1 + 0.05) \times (1 + 0.03)}_{\text{correction factor}}. \label{5.4} \]
El factor de corrección es el área de un rectángulo con ancho\(1 + 0.05\) y alto\(1 + 0.03\).
El rectángulo contiene un subrectángulo para cada término en la expansión de\((1 + 0.05) \times (1 + 0.03)\). Su área combinada de aproximadamente\(1 + 0.05 + 0.03\) representa un aumento fraccional del 8% sobre la gran parte. La gran parte es 21, y 8% de ella es 1.68, entonces\(3.15 \times 7.21 = 22.68\), que se encuentra dentro del 0.14% del producto exacto.
¿Puedes encontrar una imagen para el factor de corrección?
Problema 5.6 Imagen para el error fraccional
¿Cuál es la explicación pictórica del error fraccional de aproximadamente 0.15%?
Problema 5.7 Pruébalo tú mismo
Estime 245×42 redondeando cada factor a un múltiplo cercano de 10, y compare esta gran parte con el producto exacto. Luego dibuja un rectángulo para el factor de corrección, estima su área y corrige la parte grande.
Expresiones de baja entropía
La corrección a\(3.15 \times 7.21\) fue complicada como cambio absoluto o aditivo pero simple como cambio fraccional. Este contraste es general. Usando la corrección aditiva, un producto de dos factores se convierte en
\[(x + Δx)(y + Δy) = xy + \underbrace{xΔy + yΔx + ΔxΔy.}_{additive correction} \label{5.5} \]
Dibuja un rectángulo que represente la expansión
\[(x + Δx)(y + Δy) = xy + xΔy + yΔx + ΔxΔy.\label{5.6} \]
Cuando los cambios absolutos\(Δx\) y\(Δy\) son pequeños (\(x ≪ Δx\)y\(y ≪ Δy\)), la corrección se simplifica a\(xΔy + yΔx\), pero aun así es difícil de recordar porque tiene muchas alternativas plausibles pero incorrectas. Por ejemplo, podría contener plausiblemente términos como\(ΔxΔy, xΔx,\) o\(yΔy\). El alcance de las alternativas plausibles mide la brecha entre nuestra intuición y la realidad; cuanto mayor sea la brecha, más difícil debe trabajar el resultado correcto para llenarla, y más duro debemos trabajar para recordar el resultado correcto.
Tales brechas son objeto de mecánica estadística y teoría de la información [20, 21], que definen la brecha como el logaritmo del número de alternativas plausibles y llaman a la cantidad logarítmica la entropía. El logaritmo no altera el punto esencial de que las expresiones difieren en el número de alternativas plausibles y que las expresiones de alta entropía [28] —unas con muchas alternativas plausibles— son difíciles de recordar y entender.
En contraste, una expresión de baja entropía permite pocas alternativas plausibles, y provoca: “¡Sí! ¡¿Cómo podría ser de otra manera?!” Gran parte del progreso matemático y científico consiste en encontrar formas de pensar que conviertan las expresiones de alta entropía en expresiones fáciles de entender y de baja entropía.
¿Qué es una expresión de baja entropía para la corrección del producto\(xy\)?
Una corrección multiplicativa, al ser adimensional, tiene automáticamente una entropía menor que la corrección aditiva: El conjunto de expresiones plausibles adimensionales es mucho menor que el conjunto completo de expresiones plausibles.
La corrección multiplicativa es\((x + Δx)(y + Δy)/xy\). Tal y como está escrito, esta proporción contiene entropía gratuita. Construye dos sumas dimensionadas\(x+Δx\) y\(y+Δy\), las multiplica, y finalmente divide el producto por\(xy\). Si bien el resultado es adimensional, se vuelve así sólo en el último paso. Un método más limpio es agrupar factores relacionados haciendo cantidades adimensionales de inmediato:
\[\begin{align} \frac{(x + Δx)(y + Δy)}{xy} &= \dfrac{x + Δx)}{x} \dfrac{(y+Δy)}{y} \\[4pt] &= (1 + \dfrac{Δx}{x}) (1 + \dfrac{Δy}{y}). \label{5.7} \end{align} \]
El lado derecho se construye solo a partir de la cantidad adimensional fundamental 1 y a partir de proporciones adimensionales significativas:\((Δx)/x\) es el cambio fraccionario en x, y\((Δy)/y\) es el cambio fraccional en\(y\).
La entropía gratuita provino de mezclar\(x + Δx, y + Δy, x,\) y\(y\) willy nilly, y se eliminó reagrupando o desmezclando. Unmixing es difícil con los sistemas físicos. Intenta, por ejemplo, quitar una gota de colorante alimentario mezclado en un vaso de agua. El problema es que un vaso de agua contiene aproximadamente\(10^{25}\) moléculas. Afortunadamente, la mayoría de las expresiones matemáticas tienen menos constituyentes. A menudo podemos reagrupar y desmezclar las piezas mezcladas y así reducir la entropía de la expresión.
Dibuja un rectángulo que represente el factor de corrección de baja entropía
\[\left(1 + \frac{Δx}{x}\right) \left(1 + \frac{Δy}{y}\right).\label{5.8} \]
Un factor de corrección de baja entropía produce un cambio fraccional de baja entropía:
\[\begin{align} \frac{Δ(xy)}{xy} &= \left(1 + \dfrac{Δx}{x}\right) \left(1 + \dfrac{Δy}{y}\right) - 1 \\[4pt] &= \dfrac{Δx}{x}+ \dfrac{Δy}{y} + \dfrac{Δx}{x}\dfrac{Δy}{y}, \label{5.9} \end{align} \]
donde\(Δ(xy)/xy\) es el cambio fraccionario de\(xy\) a\((x + Δx)(y + Δy)\). El término más a la derecha es el producto de dos fracciones pequeñas, por lo que es pequeño en comparación con los dos términos anteriores. Sin este pequeño término cuadrático,
\[\frac{Δ(xy)}{xy} ≈ \frac{Δx}{x} + \frac{Δy}{y}. \label{5.10} \]
¡Pequeños cambios fraccionarios simplemente agregue!
Esta regla de cambio fraccional es mucho más simple que la regla aproximada correspondiente que es el cambio absoluto\(xΔy + yΔx\). La simplicidad indica baja entropía; en efecto, la única alternativa plausible a la regla propuesta es la posibilidad de que los cambios fraccionarios se multipliquen. Y esta conjetura no es probable: Cuando\(Δy = 0\), predice que\(Δ(xy) = 0\) no importa el valor de\(Δx\) (esta predicción se explora también en Problema 5.12).
Problema 5.10 Expansión térmica
Si, debido a la expansión térmica, una lámina metálica se expande en cada dimensión un 4%, ¿qué sucede con su área?
Problema 5.11 Subida de precios con descuento
Imagínese que la inflación, o ley de derechos de autor, aumenta el precio de un libro en un 10% en comparación con el año pasado. Afortunadamente, como comprador frecuente de libros, comienzas a obtener un descuento de tienda del 15%. ¿Cuál es el cambio de precio neto que ves?
Cuadrado
Al analizar los mundos ingeniería y natural, una operación común es cuadrar un caso especial de multiplicación. Las longitudes cuadradas son áreas y las velocidades cuadradas son proporcionales al arrastre en la mayoría de los objetos (Sección 2.4):
\[F_{d} ∼ ρv^{2}A, \label{5.11} \]
donde\(v\) es la velocidad del objeto, A es su área de sección transversal y ρ es la densidad del fluido. Como consecuencia, conducir a velocidades de carretera por una distancia\(d\) consume una energía
\[E = F_{d}d ∼ ρAv^{2}d. \nonumber \]
Por lo tanto, el consumo de energía se puede reducir conduciendo más despacio. Esta posibilidad se hizo importante para los países occidentales en la década de 1970 cuando los precios del petróleo subieron rápidamente (ver [7] para un análisis). Como resultado, Estados Unidos instituyó un límite de velocidad en carretera de 55 mph (90 km/h).
¿En qué fracción cae el consumo de gasolina por conducir 55 mph en lugar de 65 mph?
Solución
Un límite de velocidad inferior reduce el consumo de gasolina al reducir la fuerza de arrastre\(ρAv^{2}\) y al reducir la distancia de conducción\(d\): Las personas miden y regulan su desplazamiento más por tiempo que por distancia. Pero encontrar un nuevo hogar o trabajo es un proceso lento. Por lo tanto, analice primero las cosas primero asuma para este análisis inicial que la distancia de conducción d permanece fija (luego intente Problema 5.14).
Con esa suposición, E es proporcional a\(v^{2}\), y
\[\frac{ΔE}{E} = 2 x \frac{Δv}{v}. \label{5.12} \]
Pasar de 65 mph a 55 mph es aproximadamente una caída del 15%\(v\), por lo que el consumo de energía cae aproximadamente 30%. La conducción en carretera utiliza una fracción significativa del petróleo que consumen los vehículos automotores, que en Estados Unidos consumen una fracción significativa de todo el petróleo consumido. Así, la caída del 30% redujo sustancialmente el consumo total de petróleo en Estados Unidos.
Problema 5.12 Un error tentador
Si A y\(x\) están relacionados por\(A = x^{2}\), una conjetura tentadora es que
\[\frac{ΔA}{A} ≈ (\frac{Δx}{x})^{2}. \label{5.13} \]
Desmentir esta conjetura usando casos fáciles (Capítulo 2).
Problema 5.13 Estimaciones numéricas
Utilice cambios fraccionarios para estimar\(6.3^{3}\). ¿Qué tan precisa es la estimación?
Problema 5.14 Límite de tiempo en los desplazamientos
Suponga que el tiempo de conducción, en lugar de la distancia, se mantiene fijo ya que las velocidades de conducción en carretera caen 15% ¿Cuál es el cambio fraccional resultante en la gasolina consumida por la conducción en carretera?
Problema 5.15 Energía eólica
La potencia generada por una turbina eólica ideal es proporcional a\(v^{3}\) (¿por qué?). Si las velocidades del viento aumentan en un mero 10%, ¿cuál es el efecto sobre la potencia generada? La búsqueda de vientos rápidos es una de las razones por las que los aerogeneradores se colocan en acantilados o colinas o en el mar.