3.2.2: Multiplicar y dividir decimales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplica dos o más decimales.
• Multiplica un decimal por una potencia de 10.
• Dividir por un decimal.
• Divide un decimal por una potencia de 10.
• Resolver problemas de aplicación que requieran multiplicación o división decimal.

Introducción

Al igual que con los números enteros, a veces te encuentras con situaciones en las que necesitas multiplicar o dividir decimales. Y así como hay una forma correcta de multiplicar y dividir números enteros, así, también, hay una forma correcta de multiplicar y dividir decimales.

Imagina que una pareja cena en un asador japonés. El recibo de la comida es de $58.32 —que incluye un impuesto de $4.64. Para calcular la propina, pueden duplicar el impuesto. Entonces, si saben multiplicar $4.64 por 2, la pareja puede averiguar cuánto deben dejar para la propina.

Aquí hay otro problema. Andy acaba de vender su camioneta que promedió 20 millas por galón de gasolina. Compró una camioneta nueva y la llevó en un viaje de 614.25 millas. Usó 31.5 galones de gas para llegar tan lejos. ¿Andy obtuvo mejor kilometraje de gasolina con la nueva camioneta?

Ambos problemas pueden resolverse multiplicando o dividiendo decimales. Aquí te explicamos cómo hacerlo.

Multiplicar decimales

Multiplicar decimales es lo mismo que multiplicar números enteros excepto por la colocación del punto decimal en la respuesta. Al multiplicar decimales, el punto decimal se coloca en el producto para que el número de decimales en el producto sea la suma de las posiciones decimales en los factores.

Comparemos dos problemas de multiplicación que se parecen:\(\ 214 \cdot 36\) y\(\ 21.4 \cdot 3.6\).

\ (\\ begin {array} {r}
214\
\\ times\ quad 36\
\ hline 1284\\
6420\
\ hline\ mathbf {7, 7 0 4}
\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
21.4\
\ veces\ quad 3.6\
\ hline 1284\\
6420\\
\ hline\ mathbf {7 7. 0 4}
\ end {array}\)

Observe cómo los dígitos en las dos soluciones son exactamente los mismos: 7, 7, 0 y 4. La multiplicación no cambia en absoluto. La diferencia radica en la colocación del punto decimal en las respuestas finales:\(\ 214 \cdot 36=7,704\), y\(\ 21.4 \cdot 3.6=77.04\).

Para saber dónde poner el punto decimal en un problema de multiplicación decimal, cuente el número total de decimales en cada uno de los factores.

21.4 el primer factor tiene una posición decimal

3.6 el segundo factor tiene un decimal

77.04 el producto tendrá 1+1=2 decimales

Tenga en cuenta que los puntos decimales no tienen que estar alineados en cuanto a suma y resta.

Ejemplo

\(\ 3.04 \cdot 6.1=?\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 3.04\ \\ times\ quad 6.1\ \ hline 304\\ 18240\ \ hline 18544 \ end {array}\)	Configura el problema. Multiplicar 3.04 por 6.1. Agregar 304 y 18240.
	Contar el número total de decimales en los factores e insertar el punto decimal en el producto.
\ (\\ begin {array} {r} 3.04\ \\ times\ quad 6.1\ \ hline 304\\ 18240\ \ hline 18.544 \ end {array}\)	\(\ \leftarrow\)2 decimales en 3.04. \(\ \leftarrow\)1 decimal en 6.1. \(\ \leftarrow\)3 cifras decimales totales.

\(\ 3.04 \cdot 6.1=18.544\)

En ocasiones es posible que necesites insertar ceros delante del producto para que tengas el número correcto de decimales. Vea la respuesta final en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

0.037\ cdot 0.08=?

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 0.037\\ \ times\ quad 0.08\ \ hline 296 \ end {array}\)	Configura el problema. Multiplica 0.037 por 0.08. Contar el número total de decimales en los factores e insertar el punto decimal en el producto.
\ (\\ begin {array} {r} 0.037\\ \ times\ quad 0.08\ \ hline 0.00296 \ end {array}\)	3 decimales en 0.037. 2 decimales en 0.08. 5 decimales en el producto.
\(\ 0.037 \cdot 0.08=0.00296\)	Ten en cuenta que necesitabas sumar ceros antes de 296 para obtener los 5 decimales.

Si uno o más ceros aparecen a la derecha en el producto, no se dejan caer hasta después de insertar el punto decimal.

Ejemplo

\(\ 2.04 \cdot 1.95=?\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 2.04\ \\ times\ quad 1.95\ \ hline 1020\\ 18360\\ 20400\ \ hline 39780 \ end {array}\)	Configura el problema. Multiplicar 2.04 por 1.95. Agregar 1020,18360, y 20400.
\ (\\ begin {array} {r} 2.04\ \\ times\ quad 1.95\ \ hline 1020\\ 18360\\ 20400\ \ hline 3.9780 \ end {array}\)	\(\ \leftarrow\)2 decimales en 2.04 \(\ \leftarrow\)2 decimales 1.95 \(\ \leftarrow\)4 decimales.
\(\ 2.04 \cdot 1.95=3.978\)	La respuesta puede omitir el final final 0.

Multiplicar decimales

Para multiplicar decimales:

• Configura y multiplica los números como lo haces con números enteros.
• Contar el número total de decimales en ambos factores.
• Colocar el punto decimal en el producto para que el número de decimales en el producto sea la suma de los decimales en los factores.
• Mantenga todos los ceros en el producto cuando coloque el punto decimal. Puedes dejar caer los ceros a la derecha una vez que se haya colocado el punto decimal en el producto. Si el número de decimales es mayor que el número de dígitos en el producto, puede insertar ceros delante del producto.

Ejercicio

Multiplicar. \(\ 51.2 \cdot 3.08\)

1. 15769.6
2. 1576.96
3. 157.696
4. 15.7696

Contestar

1. Incorrecto. Presta atención a la colocación del punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.
2. Incorrecto. Presta atención a la colocación del punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.
3. Correcto. Para encontrar el producto, multiplicar\(\ 512 \cdot 308=157696\). Contar el número total de decimales en los factores, 3, y luego colocar un punto decimal en el producto para que el producto también tenga tres decimales. La respuesta es 157.696.
4. Incorrecto. Presta atención a la colocación del punto decimal. La respuesta correcta es 157.696.

Multiplicando por Decenas

Tómate un momento para multiplicar 4.469 por 10. Ahora hazlo\(\ 4.469 \cdot 100\). Por último, hazlo\(\ 4.469 \cdot 1,000\). ¿Notaste algún patrón en tus productos?

\ (\\ begin {array} {r}
4.469\
\\ times\ quad 10\
\ hline 44.690
\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
4.469\
\ veces\ quad 100\
\ hline 446.900
\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
4. 469\\
\ veces\ quad 1000\
\ hline 4469.000
\ end {array}\)

Observe que los productos siguen aumentando en un valor positorio a medida que aumenta el multiplicador (10, 100 y 1,000). De hecho, el punto decimal se mueve hacia la derecha por el mismo número de ceros en la potencia de diez multiplicadores.

\(\ 4.469 \cdot 10=44.69 \quad\quad 4.469 \cdot 100=446.9 \quad\quad 4.469 \cdot 1,000=4469\)

Puedes usar esta observación para ayudarte a multiplicar rápidamente cualquier decimal por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc.).

Ejemplo

\(\ 0.03 \cdot 100=?\)

Solución

\(\ 0.03 \cdot 100=?\)	100 tiene dos ceros.
\(\ 0.03 \cdot 100=3\)	Mueve el punto decimal dos lugares a la derecha para encontrar el producto.

\(\ 0.03 \cdot 100=3\)

Multiplicar un decimal por una potencia de diez

Para multiplicar un número decimal por una potencia de diez (como 10, 100, 1,000, etc.), cuente el número de ceros en la potencia de diez. Después mueve el punto decimal ese número de lugares hacia la derecha.

Por ejemplo,\(\ 0.054 \cdot 100=5.4\). El multiplicador 100 tiene dos ceros, por lo que mueve el punto decimal en 0.054 dos lugares a la derecha, para un producto de 5.4.

Dividiendo decimales

Para dividir decimales, volverás a aplicar los métodos que utilizas para dividir números enteros. Mira los dos problemas a continuación. ¿Cómo son similares los métodos?

\ (\\ begin {array} {r}
867\\\\
3\ longdiv {2601}\\\
-24\\\\\\ hline 20
\\\\\ hline 20\\\\\\
-18
\\\\ hline 21\\\\
-21
\\\ hline 0
\\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
8. 67\\\
3\ longdiv {26.01}\\
-24\\\\\\
\ hline 2\ 0\\\\
-1\\ 8\\\\
\ hline 21\\\
-21\\
\ hline 0\\
\ end {array}\)

Observe que la división ocurre de la misma manera, la única diferencia es la ubicación del punto decimal en el cociente.

Ejemplo

\(\ 18.32 \div 8=?\)

Solución

\(\ 8\longdiv{18.32}\)	Configura el problema.
\ (\\ begin {array} {r} 2.29\\\\ 8\ longdiv {18.32}\\ -16\\\\\\\ \ hline 23\\\\\ hline 23\\\\\\ \ hline 72\\\\ -72\\\ \ \ hline 0\\ \ end {array}\)	Dividir.
\ (\\ begin {array} {r} 2.29\\\ 8\ longdiv {18.32}\\ \ end {array}\)	Coloque el punto decimal en el cociente. Debe colocarse directamente por encima del punto decimal en el dividendo.

\(\ 18.32 \div 8=2.29\)

Pero ¿qué pasa con un caso en el que estás dividiendo por un decimal, como en el problema de abajo?

\(\ 0.3\longdiv{260.1}\)

En casos como este, puedes usar potencias de 10 para ayudar a crear un problema más fácil de resolver. En este caso, se puede multiplicar el divisor, 0.3, por 10 para mover el punto decimal 1 lugar a la derecha. Si multiplicas el divisor por 10, entonces también tienes que multiplicar el dividendo por 10 para mantener igual el cociente. El nuevo problema, con su solución, se muestra a continuación.

Ejemplo

\(\ 260.1 \div 0.3=?\)

Solución

\(\ 0.3\longdiv{260.1}\)	Configura el problema.
\(\ 3.\longdiv{2601.}\)	Multiplique el divisor y el dividendo por 10 para crear un divisor de número entero.
\ (\\ comenzar {array} {r} 867\\\\ 3\ longdiv {2601}\\\ -24\\\\\\ hline 20 \\\\\ hline 20\\\\\\ -18\\ \\\ hline 21\\\ -21\\ \ hline0\ \ end {array}\)	Dividir.

\(\ 260.1 \div 0.3=867\)

A menudo, el dividendo seguirá siendo decimal después de multiplicarse por una potencia de 10. En este caso, la colocación del punto decimal debe alinearse con el punto decimal en el dividendo.

Ejemplo

\(\ 15.275 \div 3.25=?\)

Solución

\(\ 3.25\longdiv{15.275}\)	Configura el problema.
\(\ 325.\longdiv{1527.5}\)	Multiplique el divisor y el dividendo por 100 para crear un divisor de número entero.
\ (\\ begin {array} {r} 4.7\\\ 325. \ longdiv {1527.5}\\ -1300\\\\\\ \ hline 2275\\\ -2275\\ \ hline 0\ \ end {array}\)	Dividir. 325 entra en 1527 cuatro veces, por lo que el número 4 se coloca por encima del dígito 7. El punto decimal en el cociente se coloca directamente por encima del punto decimal en el dividendo.

\(\ 15.275 \div 3.25=4.7\)

Dividiendo decimales

Dividir decimales por números enteros

Divide como lo harías con números enteros. Después coloca el punto decimal en el cociente directamente por encima del punto decimal en el dividendo.

Dividir por decimales

Para dividir por un decimal, multiplica el divisor por una potencia de diez para hacer del divisor un número entero. Después multiplicar el dividendo por el mismo poder de diez. Se puede pensar en esto como mover el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares hacia la derecha a medida que mueve el punto decimal en el divisor.

Luego coloque el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal en el dividendo. Por último, divide como lo harías con números enteros.

Ejercicio

Dividir:\(\ 25.095 \div 0.5\).

1. 5,019
2. 501.9
3. 50.19
4. 0.5019

Contestar

1. Incorrecto. Multiplique tanto el divisor como el dividendo por 10 (esto cambiará 0.5 en un número entero), y luego dividirlo. Luego coloque el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal en el dividendo. La respuesta correcta es 50.19.
2. Incorrecto. Multiplique tanto el divisor como el dividendo por 10 (esto cambiará 0.5 en un número entero), y luego dividirlo. Luego coloque el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal en el dividendo. La respuesta correcta es 50.19.
3. Correcto. Este problema se puede configurar como\(\ 250.95 \div 5\); el cociente es 50.19.
4. Incorrecto. Recuerda que cuando divides, no cuentas el número total de decimales en el divisor y el dividendo. Cambia el divisor a un número entero, luego mueve el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares y divide. Por último, coloque el punto decimal en el cociente directamente sobre el punto decimal en el dividendo. La respuesta correcta es 50.19.

Dividiendo por decenas

Recordemos que cuando multiplicas un decimal por una potencia de diez (10, 100, 1,000, etc.), la colocación del punto decimal en el producto se moverá hacia la derecha según el número de ceros en la potencia de diez. Por ejemplo,\(\ 4.12 \cdot 10=41.2\).

La multiplicación y la división son operaciones inversas, por lo que puede esperar que si divide un decimal por una potencia de diez, el punto decimal en el cociente también corresponderá al número de ceros en la potencia de diez. La diferencia es que el punto decimal se mueve hacia la derecha cuando multiplicas; se mueve hacia la izquierda cuando divides.

\ (\\\ begin {array} {r}
.4469\\\\
10\ longdiv {4.4690}\\
-4\ 0\\\\\\
\\\ hline 46\\\\\
\\\ hline 69\
\\\\\ hline 69\\\\\\
-60
\\\\\ hline
90\\\
\ hline 0\
\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
.04469\\\\
100\ longdiv {4.46900}\\
-4\ 00\\\\\\\ hline 469\
\\\\\\
-400\\\\\ hline 690\\\
\\ hline
690\\\\\
-600\\\
\ hline 900\\
-900\\
\ hline 0
\ end {array}\)\ (\\ begin {array} {r}
.004469\\\
1000\ longdiv {4.469000}\\
-4\ 000\\\\\ hline 4690\\\\
\\\ hline 4690\\\\\\\\
-4000\\\\\
\ hline 6900\\\\\
-6000\\\\
\ hline 9000\\\\
-9000\\
\ hline 0\
\ end {array}\)

En los ejemplos anteriores, observe que cada cociente aún contiene los dígitos 4469, pero a medida que se agrega otro 0 al final de cada potencia de diez en el divisor, el punto decimal se mueve un lugar adicional hacia la izquierda en el cociente.

Dividiendo por poderes de diez

Para dividir un decimal por una potencia de diez (10, 100, 1,000, ect.), cuente el número de ceros en el divisor. Después mueve el punto decimal en el dividendo ese número de decimales a la izquierda; este será tu cociente.

Ejemplo

\(\ 31.05 \div 10=?\)

Solución

\(\ 31.05 \div 10=?\)	10 tiene uno cero.
\(\ 31.05 \div 10=3.105\)	Mueve el punto decimal un lugar a la izquierda en el dividendo; este es el cociente.

\(\ 31.05 \div 10=3.105\)

Ejercicio

Dividir. \(\ 0.045 \div 100\)

1. 0.00045
2. 0.045
3. 4.5
4. 4,500

Contestar

1. Correcto. Hay dos ceros en el divisor, 100, así que para encontrar el cociente, toma el dividendo, 0.045, y mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda. El cociente es 0.00045.
2. Incorrecto. 0.045 es el dividendo en el problema; no puede ser el cociente a menos que el divisor sea 1. La respuesta correcta es 0.00045.
3. Incorrecto. 4.5 sería la respuesta correcta si multiplicas 0.045 por 100, no lo dividiste por 100. La respuesta correcta es 0.00045.
4. Incorrecto. 4,500 sería la respuesta correcta si multiplicas 0.045 por 100,000, no lo dividiste por 100. La respuesta correcta es 0.00045.

Resolver problemas multiplicando o dividiendo decimales

Ahora volvamos a los dos problemas desde el inicio de esta sección. Ya sabes cómo multiplicar y dividir con decimales. Pongamos a prueba ese conocimiento.

Ejemplo

Una pareja cena en un asador japonés. La factura de la comida asciende a 58.32 dólares, lo que incluye un impuesto de $4.64. Para calcular la propina, pueden duplicar el impuesto. ¿Cuánto propina debe dejar la pareja?

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 4.64\ \\ times\ quad 2\ \ hline \ end {array}\)	Configura un problema de multiplicación.
\ (\\ begin {array} {r} 4.64\\ \ times\ quad 2\ \ hline 928 \ end {array}\)	Multiplica 4.64 por 2.
\ (\\ begin {array} {r} 4.64\\ \ times\ quad 2\ \ hline 9.28 \ end {array}\)	Contar el número de decimales en los dos factores, y colocar el punto decimal en consecuencia.

La pareja debe dejar una propina de $9.28.

Ejemplo

Andy acaba de vender su camioneta que promedió 20 millas por galón de gasolina. Compró una camioneta nueva y la llevó en un viaje de 614.25 millas. Usó 31.5 galones de gas para el viaje. ¿Andy obtuvo mejor kilometraje de gasolina con la nueva camioneta?

Solución

\(\ 31.5\longdiv{614.25}\)	Establecer un problema de división.
\(\ 315.\longdiv{6142.5}\)	Hacer del divisor un número entero multiplicando por 10; hacer lo mismo con el dividendo.
\ (\\ begin {array} {r} 19.5\\\ 315. \ longdiv {6142.5}\\\ -315\\\\\\ \ hline 2992\\\\\\ -2835\\\\\ \ hline 1575\\\\ -1575\\\ \ hline 0\\\ \ end { matriz}\)	Dividir. Inserte un punto decimal en el cociente para que quede directamente por encima del punto decimal en el dividendo.

Andy obtiene 19.5 millas por galón ahora. Solía obtener 20 millas por galón. No consigue mejor kilometraje de gasolina con la nueva camioneta.

Resumen

Aprender a multiplicar y dividir con decimales es una habilidad importante. En ambos casos, trabajas con los decimales como has trabajado con números enteros, pero tienes que averiguar a dónde va el punto decimal. Al multiplicar decimales, el número de decimales en el producto es la suma de los decimales en los factores. Al dividir por decimales, mueva el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares hacia la derecha a medida que mueve el punto decimal en el divisor. Después coloca el punto decimal en el cociente por encima del punto decimal en el dividendo.