10.1.3: Casos especiales y aplicaciones
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- Resuelve ecuaciones que tienen una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.
- Resolver problemas de aplicación usando una ecuación en una variable.
Introducción
Cuando sigues los pasos para resolver una ecuación, intentas aislar la variable. Tienes una solución cuando obtienes la ecuación\(\ x=\) algún valor. Hay ecuaciones, sin embargo, que no tienen solución, y otras ecuaciones que tienen un número infinito de soluciones. ¿Cómo funciona esto?
Resolver para\(\ x\):\(\ 12+2 x-8=7 x+5-5 x\)
Solución
| \(\ 12+2 x-8=7 x+5-5 x\) | Combina términos similares en ambos lados de la ecuación. |
| \ (\\ begin {array} {rr} 2 x+4= & 2 x+5\\ -2 x\\\\\\\\\\ & -2 x\\\\\\\\\\ \ hline 4= & 5 \ end {array}\\) |
Aísle el\(\ x\) término restando\(\ 2x\) de ambos lados. |
¡Esto no es una solución! No encontraste un valor para\(\ x\). Resolviendo por\(\ x\) la forma en que sabes cómo, llegas a la falsa declaración\(\ 4=5\). ¡Seguramente 4 no puede ser igual a 5!
Esto puede tener sentido cuando se considera la segunda línea de la solución donde se combinaron términos similares. Si multiplicas un número por 2 y agregas 4 nunca obtendrías la misma respuesta que cuando multiplicas ese mismo número por 2 y sumas 5. Dado que no hay valor de\(\ x\) eso jamás hará de esto una verdadera afirmación, la solución a la ecuación anterior es “ninguna solución”.
Tenga cuidado de no confundir la solución\(\ x=0\) con “ninguna solución”. La solución\(\ x=0\) significa que el valor 0 satisface la ecuación, por lo que hay una solución. “Sin solución” significa que no hay valor, ni siquiera 0, lo que satisfaría la ecuación.
También, tenga cuidado de no cometer el error de pensar que la ecuación\(\ 4=5\) significa que 4 y 5 son valores para\(\ x\) eso son soluciones. Si sustituyes estos valores en la ecuación original, verás que no satisfacen la ecuación. Esto se debe a que realmente no hay solución —no hay valores para\(\ x\) eso hará que la ecuación sea\(\ 12+2 x-8=7 x+5-5 x\) cierta.
Resolver para\(\ x\).
\(\ 3 x+8=3(x+2)\)
Solución
| \(\ 3 x+8=3(x+2)\) | Aplicar la propiedad distributiva para simplificar. |
| \ (\\ begin {array} {r} 3 x+8= & 3 x+6\\ \ -3 x\\\\\\\\\\\\ &\\\\ -3 x\\\\\\\\ \ hline 8= & 6 \ end {array}\\) |
Aísle el término variable. Ya que sabes que eso\(\ 8=6\) es falso, no hay solución. |
No hay solución.
Resolver para\(\ y\).
\(\ 8 y=2[3(y+4)+y]\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {l} 8 y=2 [3 (y+4) +y]\\ 8 y=2 [3 y+12+y]\\ 8 y=2 [4 y+12]\\ 8 y=8 y+24 \ end {array}\) |
Aplicar la propiedad distributiva para simplificar. Cuando se utilizan dos conjuntos de símbolos de agrupación, evalúe el conjunto interno y luego evalúe el conjunto externo. |
| \ (\\ begin {array} {r} 8 y=&8 y+24\\ -8 y\\\\ &-8 y\\\\\\\\\ \ hline 0=&0+24 \ end {array}\\) |
Aísle el término variable restando\(\ 8y\) de ambos lados de la ecuación. Ya que sabes que eso\(\ 0=24\) es falso, no hay solución. |
No hay solución.
Ecuaciones algebraicas con un número infinito de soluciones
Has visto que si una ecuación no tiene solución, terminas con una declaración falsa en lugar de un valor para\(\ x\). Probablemente puedas adivinar que podría haber una manera en la que podrías terminar con una declaración verdadera en lugar de un valor para\(\ x\).
Resolver para\(\ x\).
\(\ 5 x+3-4 x=3+x\)
Solución
| \(\ 5 x+3-4 x=3+x\) | Combina términos similares en ambos lados de la ecuación. |
| \ (\\ begin {array} {r} x+3=&3+x\\ -x\\\\\\\\\ &-x\\\ hline 3=&3\\\\\\\ \ final {array}\\\\ hline 3=&3\\\\\ \\ final {matriz}\\) |
Aísle el\(\ x\) término restando\(\ x\) de ambos lados. |
Se llega a la verdadera declaración “\(\ 3=3\).” Cuando terminas con una afirmación verdadera como esta, significa que la solución a la ecuación es “todos los números reales”. Intenta sustituirlo\(\ x=0\) en la ecuación original, ¡obtendrás una declaración verdadera! ¡\(\ x=-\frac{3}{4}\)Pruébalo, y también comprobará!
Esta ecuación pasa a tener un número infinito de soluciones. Cualquier valor para\(\ x\) eso que se te ocurra hará que esta ecuación sea cierta. Cuando piensas en el contexto del problema, esto tiene sentido: la ecuación\(\ x+3=3+x\) significa “algún número más 3 es igual a 3 más ese mismo número”. Sabemos que esto siempre es cierto, ¡es la propiedad conmutativa de la adición!
Resolver para\(\ x\).
\(\ 5(x-7)+42=3 x+7+2 x\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {l} 5 (x-7) +42 &=3 x+7+2 x\\ 5 x-35+42 &=5 x+7 \ end {array}\) |
Aplicar la propiedad distributiva y combinar términos similares para simplificar. |
| \ (\\ begin {array} {r} 5 x+7= & 5 x+7\\ \ -5 x\\\\\\\\ quad &\ -5 x\\\\\\\\ \ hline 7= & 7 \ end {array}\\) |
Aísle el\(\ x\) término restando\(\ 5x\) de ambos lados. Obtienes la verdadera afirmación\(\ 7=7\), así sabes que\(\ x\) pueden ser todos números reales. |
\(\ x=\text { all real numbers }\)
Al resolver una ecuación, multiplicar ambos lados de la ecuación por cero no es una buena opción. Multiplicar ambos lados de una ecuación por 0 siempre resultará en una ecuación de\(\ 0=0\), pero una ecuación de\(\ 0=0\) no te ayuda a saber cuál es la solución a la ecuación original.
Resolver para\(\ x\).
\(\ x=x+2\)
Solución
| Multiplica ambos lados por cero. | |
| \ (\\ comenzar {alineado} x &=x+2\\ 0 (x) &=0 (x+2)\\ 0 &=0 \ end {alineado}\) |
Si bien es cierto que\(\ 0=0\), y puede que se sienta tentado a concluir que eso\(\ x\) es cierto para todos los números reales, ese no es el caso. |
|
Comprobar: \ (\\ begin {array} {l} |
Por ejemplo, comprobar y ver si\(\ x=3\) va a resolver la ecuación. Claramente 3 nunca equivale a 5, así que no\(\ x=3\) es una solución. La ecuación no tiene soluciones. No fue útil haber multiplicado ambos lados de la ecuación por cero. |
|
Mejor método: \ (\\ begin {array} {r} |
Hubiera sido mejor haber comenzado restando\(\ x\) de ambos lados, resultando en\(\ 0=2\), resultando en una falsa declaración diciéndonos que no hay soluciones. |
No hay solución.
Al resolver la ecuación algebraica\(\ 2(x-5)=2 x+10\), terminas con\(\ -10=10\). ¿Qué significa esto?
- \(\ x=-10\)y\(\ 10\)
- No hay solución a la ecuación.
- Debió haber cometido un error al resolver la ecuación.
- \(\ x=\)todos los números reales
- Contestar
-
- Incorrecto. Cualquier solución a una ecuación debe satisfacer la ecuación. Si sustitues -10 en la ecuación original, se obtiene\(\ -30=-10\). Si sustitues 10 por\(\ x\) en la ecuación original, obtienes\(\ 10=30\). La respuesta correcta es: No hay solución a la ecuación.
- Correcto. Siempre que termines con una declaración falsa como\(\ -10=10\), significa que no hay solución a la ecuación.
- Incorrecto. Una declaración falsa como esta parece un error y siempre es bueno verificar la respuesta. En este caso, sin embargo, no hay un error en el álgebra. La respuesta correcta es: No hay solución a la ecuación.
- Incorrecto. Si sustituyes algunos números reales en la ecuación, verás que no satisfacen la ecuación. La respuesta correcta es: No hay solución a la ecuación.
Cuántas soluciones hay para la ecuación:
\(\ 2\left[\frac{1}{4}(4 y-8)+3 y\right]+7=3(y+1)+5 y\)
- Hay una solución.
- Hay dos soluciones.
- Hay un número infinito de soluciones.
- No hay soluciones.
- Contestar
-
- Incorrecto. Intenta sustituir cualquier valor en por\(\ y\) en esta ecuación y piensa en lo que encuentres. La respuesta correcta es: Hay un número infinito de soluciones a la ecuación.
- Incorrecto. Intenta sustituir dos valores cualesquiera en por\(\ y\) en esta ecuación y piensa en lo que encuentres. Al tratar con conjuntos de paréntesis, asegúrese de evaluar primero los paréntesis internos y luego pasar al conjunto externo. La respuesta correcta es: Hay un número infinito de soluciones a la ecuación.
- Correcto. Cuando evalúas las expresiones a ambos lados del signo igual, obtienes\(\ 8 y+3=8 y+3\). Si tuvieras que mover las variables hacia el lado izquierdo y las constantes hacia la derecha, terminarías con\(\ 0=0\). Ya que tienes una declaración verdadera, la ecuación es verdadera para todos los valores de\(\ y\)
- Incorrecto. Recordemos que afirmaciones como\(\ 3=5\) son indicativas de una ecuación que no tiene soluciones. La respuesta correcta es: Hay un número infinito de soluciones a la ecuación.
Problemas de aplicación
El poder del álgebra es cómo puede ayudarte a modelar situaciones reales con el fin de responder preguntas sobre ellas. Esto requiere que seas capaz de traducir los problemas del mundo real al lenguaje del álgebra, y luego ser capaz de interpretar los resultados correctamente. Empecemos explorando un simple problema de palabras que utiliza álgebra para su solución.
El papá de Amanda tiene el doble de edad que ella hoy. La suma de sus edades es de 66 años. Usa una ecuación algebraica para encontrar las edades de Amanda y su papá.
Una forma de resolver este problema es usar prueba y error: puedes elegir algunos números para la edad de Amanda, calcular la edad de su padre (que es el doble de la edad de Amanda) y luego combinarlos para ver si funcionan en la ecuación. Por ejemplo, si Amanda tiene 20 años, entonces su padre tendría 40 porque él tiene el doble de edad que ella, pero entonces su edad combinada es de 60, no 66. ¿Y si ella tiene 12? ¿15? ¿20? Como puedes ver, ¡elegir números aleatorios es una estrategia muy ineficiente!
Se puede representar esta situación algebraicamente, lo que proporciona otra forma de encontrar la respuesta.
El papá de Amanda tiene el doble de edad que ella hoy. La suma de sus edades es de 66 años. Encuentra las edades de Amanda y su papá.
Solución
| Tenemos que encontrar la edad de Amanda y la edad de su padre. | ¿Cuál es el problema que se pregunta? |
|
\ (\\ begin {aligned} |
Asignar una variable a lo desconocido. La edad del padre es dos veces la de Amanda. |
| \(\ x+2 x=66\) | La edad de Amanda sumada a la edad de su padre es igual a 66. |
| \ (\\ comenzar {alineado} x+2 x &=66\\ \ frac {3 x} {3} &=\ frac {66} {3}\\ x &=22 \ end {alineado}\) |
Resolver la ecuación para la variable. |
| \ (\\ comenzar {alineado} \ texto {edad de Amanda} &=22\\ \ texto {Edad del padre} &=2 x=2 (22) =44 \ end {alineado}\) |
Usa la edad de Amanda para encontrar la edad de su padre. |
|
La edad del padre de Amanda es el doble de edad de Amanda y su suma es de 66. Las soluciones tienen sentido. |
¿Tienen sentido las respuestas? |
Amanda tiene 22 años, y su padre tiene 44 años.
Probemos un nuevo problema. Considere que la tarifa de alquiler de una máquina de jardinería incluye una tarifa única más una tarifa por hora. Podría usar álgebra para crear una expresión que le ayude a determinar el costo total para una variedad de situaciones de alquiler. Una ecuación que contenga esta expresión sería útil para tratar de mantenerse dentro de un presupuesto de gastos fijo.
Un paisajista quiere rentar una amoladora de tocón de árbol para preparar un área para un jardín. La compañía de alquiler cobra una tarifa única de alquiler de $26 más $48 por cada hora que se renta la máquina.
Escriba una expresión para el costo de alquiler por cualquier número de horas.
Solución
| El problema pide una expresión algebraica para el costo de alquiler de la amoladora de tocón por cualquier número de horas. Una expresión tendrá términos, uno de los cuales contendrá una variable, pero no contendrá un signo igual. | ¿Cuál es el problema que se pregunta? |
|
Mira los valores en el problema: \ (\\ begin {array} {l} |
¿Qué información es importante para encontrar una respuesta? |
|
Piensa en lo que esto significa, y trata de identificar un patrón. Renta de 1 hora:\(\ $ 26+$ 48\) Renta de 2 horas:\(\ $ 26+$ 48+$ 48\) Renta de 3 horas:\(\ $ 26+$ 48+$ 48+$ 48\) Observe que el número de “+48" en el problema es el mismo que el número de horas que se está rentando la máquina. Dado que la multiplicación es suma repetida, también podrías representarla así: Renta de 1 hora:\(\ $ 26+$ 48\ (1)\) Renta de 2 horas:\(\ $ 26+$ 48\ (2)\) Renta de 3 horas:\(\ $ 26+$ 48\ (3)\) |
|
| Ahora usemos una variable,\(\ h\), para representar el número de horas que se alquila la máquina. | ¿Cuál es la variable? |
| Renta por\(\ h\) horas:\(\ 26+48 h\) | ¿Qué expresión modela esta situación? |
| La tarifa total de alquiler se determina multiplicando el número de horas por\(\ $48\) y sumando\(\ $26\) |
El costo de alquiler por\(\ h\) horas es\(\ 26+48 h\).
Utilizando la información proporcionada en el problema, pudiste crear una expresión general para esta relación. ¡Esto significa que puedes encontrar el costo de alquiler de la máquina por cualquier cantidad de horas!
Usemos esta nueva expresión para resolver otro problema.
Un paisajista quiere rentar una amoladora de tocón de árbol para preparar un área para un jardín. La compañía de alquiler cobra una tarifa única de alquiler de $26 más $48 por cada hora que se renta la máquina.
¿Cuál es el número máximo de horas que el paisajista puede rentar la amoladora de tocón de árbol, si no puede gastar más de 290 dólares?
(La máquina no se puede rentar por parte de una hora.)
Solución
| \(\ 26+48 h\), donde\(\ h=\) el número de horas. | ¿Qué expresión modela esta situación? |
|
\(\ 26+48 h\), donde\(\ h=\) el número de horas. \(\ 26+48 h=290\) |
Escribe una ecuación que te ayude a averiguar cuándo el gasto es igual a $290. |
|
\ (\\ begin {array} {r} \(\ h=5.5 \text { hours }\) |
Resuelve la ecuación. |
| \ (\\ begin {array} {r} \ text {Hace} 26+48 (5.5) =290? \\ 26+264=290\\ 290=290 \ end {array}\) |
Consulta la solución. |
| Eso lo encontraste\(\ h=5.5\). Dado que la máquina no se puede rentar por parte de una hora, el paisajista solo puede rentar la máquina por 5 horas y le sobrará algo de dinero. | Interpretar la respuesta. |
El paisajista puede rentar la máquina por 5 horas.
A menudo es útil seguir una lista de pasos para organizar y resolver problemas de aplicación.
Sigue estos pasos para traducir situaciones problemáticas en ecuaciones algebraicas que puedas resolver.
- Lee y entiende el problema.
- Determinar las constantes y variables en el problema.
- Escribe una ecuación para representar el problema.
- Resuelve la ecuación.
- Comprueba tu respuesta.
- Escribe una oración que responda a la pregunta en el problema de la aplicación.
Intentemos aplicar los pasos de resolución de problemas con algunos ejemplos nuevos.
Gina ha encontrado un gran precio en las toallas de papel. Ella quiere abastecerse de estos para su negocio de limpieza. Las toallas de papel cuestan $1.25 por paquete. Si tiene 60 dólares para gastar, ¿cuántos paquetes de toallas de papel puede comprar? Escribe una ecuación que Gina podría usar para resolver este problema y mostrar la solución.
Solución
| El problema pregunta cuántos paquetes de toallas de papel Gina puede adquirir. | ¿Cuál es el problema que te pregunta? |
|
Las toallas de papel cuestan $1.25 por paquete. Gina tiene $60 para gastar en toallas de papel. |
¿Cuáles son las constantes? |
| Deje que\(\ p=\) el número de paquetes de toallas de papel. | ¿Cuál es la variable? |
| \(\ 1.25 p=60\) | ¿Qué ecuación representa esta situación? |
| \ (\\ comenzar {alineado} \ frac {1.25 p} {1.25} &=\ frac {60} {1.25}\ p &=48 \ end {alineado}\) |
Resolver para\(\ p\). Divide ambos lados de la ecuación por 1.25. |
|
\(\ 60 \div 1.25=6,000 \div 125\) \ (\\ begin {array} {r} \ (\\ begin {array} {r} |
|
| \ (\\ comienza {alineado} \ texto {Hace} 1.25 p &=60? \\ 1.25 (48) &=60\\ 60 &=60 \ final {alineado}\) |
Consulta tu solución. Sustituye 48 pulg por\(\ p\) en tu ecuación. |
Gina puede adquirir 48 paquetes de toallas de papel.
Levón y María estaban comprando velas para decorar mesas en un restaurante. Levon compró 5 paquetes de velas más 3 velas individuales. María compró 11 velas individuales más 4 paquetes de velas. Cada paquete de velas contiene el mismo número de velas. Después de terminar de comprar, María y Levón se dieron cuenta de que cada uno había comprado el mismo número exacto de velas. ¿Cuántas velas hay en un paquete?
Solución
| El problema pregunta cuántas velas están contenidas en un paquete. | ¿Cuál es el problema que te pregunta? |
| Levon compró 5 paquetes y 3 velas individuales. | ¿Cuáles son las constantes? |
| María compró 4 paquetes y 11 velas individuales. | |
| Deje\(\ c=\) el número de velas en un paquete. | ¿Cuál es la variable? |
| \ (\\ begin {array} {r} 5 c+3\\ 4 c+11\\ 5 c+3=4 c+11 \ end {array}\) |
¿Qué expresión representa el número de velas que Levon compró? ¿Qué expresión representa el número de velas que María compró? ¿Qué ecuación representa la situación? María y Levón compraron la misma cantidad de velas. |
|
\ (\\\ begin {array} {r} |
Resolver para\(\ c\). Restar\(\ 4c\) de ambos lados. Restar 3 de ambos lados. |
| \ (\\ begin {array} {r} 5 c+3=4 c+11\\ 5 (8) +3=4 (8) +11\\ 40+3=32+11\ 43=43 \ end {array}\) |
Consulta tu solución. Sustituir 8 para\(\ c\) en la ecuación original. |
Hay 8 velas en un paquete de velas.
Se está cobrando el dinero de dos máquinas expendedoras. Una máquina contiene billetes de 30 dólares y un montón de monedas de diez centavos. La otra máquina contiene billetes de 38 dólares y un montón de nickels. El número de monedas en ambas máquinas es igual, y la cantidad de dinero que las máquinas recolectaron también es igual. ¿Cuántas monedas hay en cada máquina?
Solución
| El problema pregunta cuántas monedas hay en cada máquina. | ¿Cuál es el problema que te pregunta? |
| Una máquina tiene billetes de 30 dólares y un montón de monedas de diez centavos. | ¿Cuáles son las constantes y cuáles son las incógnitas? |
| Otra máquina tiene billetes de 38 dólares y un montón de níqueles, el mismo número de monedas que la primera máquina. | |
| Deje que\(\ c=\) el número de monedas en cada máquina. | ¿Cuál es la variable? |
| \(\ 30+0.10 c\) | ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero en la primera máquina? |
| \(\ 38+0.05 c\) | ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero en la segunda máquina? |
| \(\ 30+0.10 c=38+0.05 c\) |
¿Qué ecuación representa la situación? La cantidad de dinero en ambas máquinas es la misma. |
| \ (\\\ begin {array} {rr} 30+0.10 c= & 38+0.05 c \\\\ -0.05 c\ \\\\ &\ -0.05 c\\\\ hline 30+0.05 c= & 38 \\\\\\\\\\\\\\ -30\\\\\\\ \\\\\\\\\\\ hline 0.05 c= & 8 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ c=&160\\\\\\\\\\\\\\\\\ end {array}\\\\\\\\ \ hline 0.05 c= & 160\\\\ |
Resolver para\(\ c\). |
| \ (\\ begin {array} {l} 30+0.10 c &=38+0.05 c\\ 30+0.10 (160) &=38+0.05 (160)\\ 30+16\ quad &=38+8\\ 46 &=46 \ end {array}\) |
Consulta tu solución. Sustituir 160 para\(\ c\) en la ecuación original. |
Hay 160 monedas en cada máquina.
Albert y Bryn están comprando dulces en la tienda de la esquina. Albert compra 5 bolsas y 3 piezas individuales; Bryn compra 3 bolsas y luego come 2 piezas de caramelo de una de las bolsas. Cada bolsa tiene el mismo número de piezas de caramelo.
Después de que Bryn se coma las 2 piezas, tiene exactamente la mitad del número de dulces que Albert. ¿Cuántas piezas de caramelo hay en cada bolsa?
Escoge la ecuación que podría ser utilizada para resolver el problema anterior. Utilice la variable\(\ b\) para representar el número de piezas de caramelo en una bolsa.
- \(\ 5 b+3=\frac{1}{2}(3 b+2)\)
- \(\ 5 b+3=3 b+2\)
- \(\ \frac{1}{2}(5 b+3)=3 b-2\)
- \(\ \frac{1}{2}(3 b+3)=5 b-2\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Para\(\ 5 b+3=\frac{1}{2}(3 b+2)\) que la ecuación sea correcta, la situación tendría que ser “Albert tenía 5 bolsas y 3 piezas, y Bryn tenía 3 bolsas y 2 piezas. Albert tenía la mitad que Bryn”. La respuesta correcta es:\(\ \frac{1}{2}(5 b+3)=3 b-2\).
- Incorrecto. Para\(\ 5 b+3=3 b+2\) que la ecuación sea correcta, la situación tendría que ser “Albert tenía 5 bolsas y 3 piezas, y Bryn tenía 3 bolsas y 2 piezas. Tenían la misma cantidad”. La respuesta correcta es:\(\ \frac{1}{2}(5 b+3)=3 b-2\).
- Correcto. La cantidad de dulces que tiene Albert puede ser representada por\(\ 5 b+3\), y la cantidad de dulces que tiene Bryn puede ser representada por\(\ 3 b-2\). Como Bryn tiene la mitad de lo que Albert, la ecuación final es\(\ \frac{1}{2}(5 b+3)=3 b-2\).
- Incorrecto. Para\(\ \frac{1}{2}(3 b+3)=5 b-2\) que la ecuación sea correcta, la situación tendría que ser “Albert tenía 3 bolsas y 3 piezas, y Bryn tenía 5 bolsas y luego comió 2 piezas. Bryn tenía la mitad que Albert”. La respuesta correcta es\(\ \frac{1}{2}(5 b+3)=3 b-2\).
Resumen
Algunas ecuaciones se consideran casos especiales. Se trata de ecuaciones que no tienen solución y ecuaciones cuya solución es el conjunto de todos los números reales. Cuando usas los pasos para resolver una ecuación, y obtienes una declaración falsa en lugar de un valor para la variable, no hay solución. Cuando usas los pasos para resolver una ecuación, has evitado multiplicar ambos lados de la ecuación por cero, y obtienes una declaración verdadera en lugar de un valor para la variable, la solución son todos números reales. El álgebra es una poderosa herramienta para modelar y resolver problemas del mundo real.