10.1.4: Fórmulas

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Objetivos de aprendizaje

Evaluar una fórmula usando sustitución.
Reorganice las fórmulas para aislar variables específicas.

Introducción

Muchos problemas del mundo real tienen ecuaciones bien conocidas que describen las relaciones entre diferentes cantidades. Estas ecuaciones que establecen una regla para una relación se denominan fórmulas.

Es posible que hayas usado fórmulas para averiguar cosas como el área de un rectángulo:

\[\ area = length \cdot width \nonumber \]

o tal vez la velocidad de un objeto en movimiento

\[\ speed=distance\div time \nonumber \]

o para convertir de un sistema de medición a otro. La mayoría de las fórmulas incluyen más de una variable. A pesar de que tienen un nombre especial, las fórmulas se escriben y resuelven como cualquier otra ecuación.

Evaluación de fórmulas mediante sustitución

Hay muchas fórmulas que conocemos que se relacionan con las actividades de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, la fórmula$\ distance=rate\cdot time$. expresa una relación de uso frecuente en álgebra. Las fórmulas también se utilizan comúnmente para la medición en geometría. Por ejemplo, la fórmula para el área de un paralelogramo, una figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos, es la base por la altura, o$\ A=b h$.

Las fórmulas se escriben para que una variable ya esté aislada. Solo es necesario evaluar la expresión del otro lado para el valor (s) dado (s) para la variable.

Ejemplo

Juan manejó su automóvil durante 7 horas a 50 millas por hora. Usa la fórmula$\ d=r \cdot t$ donde$\ d=\text { distance }$,$\ r=\text { rate }$, y$\ t=\text { time }$ para encontrar la distancia que manejaba Juan.

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
d=r\ cdot t\\
d=50\ cdot 7\\
d=350
\ end {array}\)

Sustituir en los valores dados para la tasa (o velocidad) y el tiempo recorrido. Después computar.

Juan manejó su auto a una distancia de 350 millas.

El siguiente ejemplo ilustra una fórmula de geometría.

Ejemplo

Usando la fórmula$\ A=b h$, encuentra el área ($\ A$) de un paralelogramo con una base ($\ b$) de 3.5 pulgadas y una altura ($\ h$) de 7.2 pulgadas.

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
a=b\ cdot h\\
A=3.5\ cdot 7.2\\
A=25.20
\ end {array}\)

Sustituya las longitudes dadas en la fórmula para el área.

Multiplicar.

El área del paralelogramo es de 25.2 pulgadas cuadradas.

También puedes resolver para cualquiera de las variables en una fórmula usando las técnicas de álgebra que hayas aprendido.

Ejemplo

Encuentra la base ($\ b$) de un triángulo con un área ($\ A$) de 20 pies cuadrados y una altura ($\ h$) de 8 pies. Utilice la fórmula para el área de un triángulo,$\ A=\frac{1}{2} b h$.

Solución

$\ A=\frac{1}{2} b h$

Sustituir las longitudes dadas en la fórmula.

$\ 20=\frac{1}{2} b \cdot 8$

$\ 20=\frac{8}{2} b$

$\ 20=4 b$

$\ \frac{20}{4}=\frac{4 b}{4}$

$\ 5=b$

Resolver para$\ b$.

La base del triángulo mide 5 pies.

Ejemplo Avanzado

Para incitar a los clientes a invertir su dinero, muchos bancos ofrecerán cuentas que devengan intereses. Funcionan así: un cliente deposita una cierta cantidad de dinero (llamada Principal, o$\ p$), que luego crece lentamente según la tasa de interés ($\ R$, medida en porcentaje) y el tiempo ($\ T$, generalmente medido en meses) que el dinero permanece en la cuenta. El monto ganado a lo largo del tiempo se llama el interés ($\ I$), que luego se le da al cliente.

La forma más sencilla de calcular los intereses devengados en una cuenta es a través de la fórmula$\ I=P \cdot R \cdot T$.

Si un cliente deposita un principal de $2000 a una tasa mensual de 0.7%, ¿cuál es el monto total que tiene después de 24 meses?

Solución

$\ I=P \cdot R \cdot T$	Sustituir en los valores dados para el Principal, la Tasa y el Tiempo.
\ (\\ begin {array} {l} I=$ 2000\ cdot 0.7\%\ cdot 24\\ I=$ 2000\ cdot 0.007\ cdot 24\\ I=336 \ end {array}\)	Reescribe 0.7% como el decimal 0.007, luego multiplica.
$\ 2000+336=2336$	Suma los intereses y el monto principal original para obtener el monto total en su cuenta.

Ella tiene $2336 después de 24 meses.

Resolver una fórmula para una variable especificada

Si fueras a usar la fórmula$\ A=\frac{1}{2} b h$ para encontrar numerosos valores de$\ b$, dado$\ A$ y$\ h$, sería más eficiente resolver la fórmula para$\ b$ primero. Dado que las fórmulas son ecuaciones, puedes resolver para una variable diferente del mismo modo que resuelves una ecuación. Esto se llama resolver la fórmula para$\ b$.

En el siguiente ejemplo, resolvemos la fórmula$\ d=r \cdot t$ para$\ t$. Esto sería útil si quisiéramos calcular la cantidad de tiempo que tardarán en completarse varios viajes en automóvil.

Ejemplo

Resuelve la ecuación$\ d=r \cdot t$ para$\ t$.

Solución

$\ d=r \cdot t$	Para resolver esta fórmula para$\ t$, aísle esta variable en un lado de la ecuación.
$\ \frac{1}{r} \cdot d=\frac{1}{r} \cdot r \cdot t$	Esto se puede hacer usando la propiedad de multiplicación de igualdad para multiplicar ambos lados por$\ \frac{1}{r}$.
$\ \frac{d}{r}=\frac{r \cdot t}{r}$	Multiplicar por$\ \frac{1}{r}$ es el equivalente a dividir por$\ r$ siempre y cuando$\ r \neq 0$.
$\ \frac{d}{r}=t \cdot \frac{r}{r}$	La cantidad$\ \frac{r}{r}=1$, entonces$\ t \cdot \frac{r}{r}=t$.
$\ \frac{d}{r}=t$

$\ t=\frac{d}{r}$

Tenga en cuenta que la respuesta$\ \frac{d}{r}=t$ es una respuesta correcta. Sin embargo, tradicionalmente escribimos la variable a la izquierda. Entonces, con igualdad, las expresiones se pueden cambiar a$\ t=\frac{d}{r}$.

Ejercicio

Resuelve la fórmula para el volumen de un sólido rectangular,$\ V=l w h$, para width ($\ w$).

$\ w=\frac{l h}{V}$
$\ w=\frac{V}{h l}$
$\ w=V h l$
$\ \frac{V}{w}=l h$

Responder

Incorrecto. Para aislar la variable$\ w$, deberías haber dividido ambos lados de la fórmula por$\ l h$ (o$\ hl$). La respuesta correcta es$\ w=\frac{V}{h l}$.
Correcto. Para aislar la variable$\ w$, solo necesitas dividir ambos lados de la fórmula por$\ l$ y$\ h$. El orden en que se escriben estas variables no afecta a su producto. Entonces,$\ w=\frac{V}{h l}$.
Incorrecto. Para aislar la variable$\ w$, deberías haber dividido ambos lados de la fórmula por$\ lh$ (o$\ hl$), no solo intercambiada$\ V$ y$\ w$ en la fórmula. La respuesta correcta es$\ w=\frac{V}{h l}$.
Incorrecto. Esta ecuación es cierta, pero no resuelve para w. Para aislar el$\ w$, hay que dividir ambos lados de la fórmula por$\ \text { lh }$ (o$\ h l$), no por$\ w$. La respuesta correcta es$\ w=\frac{V}{h l}$.

Pregunta Avanzada

Resolver la fórmula para el área de un trapecio,$\ A=\frac{1}{2} h\left(b_{1}+b_{2}\right)$ para$\ b_{1}$.

$\ b_{1}=\frac{1}{2}\left(A b_{2}\right)-h$
$\ b_{1}=\frac{h}{2 A}-b_{2}$
$\ b_{1}=\frac{2 A}{h}-b_{2}$
$\ b_{1}=\frac{1}{2} h\left(A+b_{2}\right)$

Responder

Incorrecto. Para aislar la variable$\ b_{1}$, comience multiplicando ambos lados de la ecuación por 2. Entonces divide por$\ h$. La nueva ecuación se ve así:$\ \frac{2 A}{h}=b_{1}+b_{2}$. La solución correcta es:$\ b_{1}=\frac{2 A}{h}-b_{2}$.
Incorrecto. Parece que multiplicaste y dividiste incorrectamente. Para eliminar la fracción del lado derecho, multiplique ambos lados de la ecuación por 2. Esto te da la nueva ecuación:$\ 2 A=h\left(b_{1}+b_{2}\right)$. Ahora divídalo para aislarlo$\ b_{1}+b_{2}$.$\ h$ La solución correcta es:$\ b_{1}=\frac{2 A}{h}-b_{2}$.
Correcto. Para aislar la variable$\ b_{1}$, multiplique ambos lados de la ecuación por 2, divídala por$\ h$, y luego resta$\ b_{2}$. Escrito en términos de$\ b_{1}$, la fórmula es$\ b_{1}=\frac{2 A}{h}-b_{2}$.
Incorrecto. Para aislar la variable$\ b_{1}$, comience multiplicando ambos lados de la ecuación por 2. Entonces divide por$\ h$. La nueva ecuación se ve así:$\ \frac{2 A}{h}=b_{1}+b_{2}$. La solución correcta es:$\ b_{1}=\frac{2 A}{h}-b_{2}$.

Resolver fórmulas complejas para una variable específica

Algunas fórmulas se pueden resolver para una variable diferente con un solo paso. Muchas otras son fórmulas de varios pasos, y éstas requerirán una serie de pasos. Puede sonar como una gran tarea, pero se puede hacer, paso a paso.

Por ejemplo, veamos la fórmula para el perímetro de un rectángulo,$\ p=2 l+2 w$. Esta fórmula es útil si se nos da el largo y ancho. Pero, ¿y si en su lugar se le da el perímetro y las longitudes de los lados? Si se le pide que calcule el ancho de varios rectángulos, podría ser más eficiente resolver primero la fórmula para$\ w$, el ancho.

Los pasos para reordenar una fórmula más compleja se muestran en el ejemplo.

Ejemplo

Expresar la fórmula para el perímetro de un rectángulo,$\ p=2 l+2 w$, en términos de la anchura,$\ w$.

Solución

\ (\\ begin {array} {r} p\\\\\\\\ =&2 l+2 w\\ \ -2l\\\\\ &\ -2l\\\\\\\\\\\ \ hline p-2l=& 2w \ end {array}\\)	Aislar el término que contiene la variable$\ w$,, restando el otro término en su expresión,$\ 2 l$, de ambos lados.
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {p-2 l} {2} =\ frac {2 w} {2}\ \ frac {p-2 l} {2} =w \ end {array}\)	A continuación, borre el coeficiente de$\ w$ dividiendo ambos lados de la ecuación por 2.
$\ w=\frac{p-2 l}{2}$	Se puede reescribir la ecuación para que la variable aislada quede en el lado izquierdo.

$\ w=\frac{p-2 l}{2}$

Veamos una fórmula más compleja que incluye paréntesis y fracciones, la fórmula para convertir de la escala de temperatura Fahrenheit a la escala Celsius.

Puede o no recordar la fórmula para convertir de la escala Celsius a la escala Fahrenheit. No obstante, se puede resolver la fórmula que sí conoce (o se le da) para que el otro encuentre esa fórmula.

Ejemplo

Resuelve la fórmula que se muestra a continuación para convertir de la escala Fahrenheit a la escala Celsius para F.

$\ C=(F-32) \cdot \frac{5}{9}$

Solución

$\ C=(F-32) \cdot \frac{5}{9}$	Para aislar la variable F, lo mejor sería borrar primero la fracción que involucra a F.
\ (\\ begin {array} {c} \ left (\ frac {9} {5}\ right) C =( F-32)\ left (\ frac {5} {9}\ right)\ left (\ frac {9} {5}\ right)\ \ frac {9} {5} C=F-32 \ end {array}\)	Multiplique ambos lados de la ecuación por$\ \frac{9}{5}$.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {9} {5} C+32=F-32+32\ \ frac {9} {5} C+32=F \ end {array}\)	Agrega 32 a ambos lados.

$\ F=\frac{9}{5} C+32$

Ejemplo Avanzado

Exprese la fórmula para el área superficial de un cilindro$\ S=2 \pi r h+2 \pi r^{2}$,, en términos de la altura,$\ h$.

Solución

$\ S=2 \pi r h+2 \pi r^{2}$

\ (\\\ begin {array} {r}
S\\\\\\\\\\\ =&2\ pi r h+2\ pi r^ {2}
\\\ -2\ pi r^ {2}\\\\\ &\ -2\ pi r^ {2}
\\\ hline S-2\ pi r^ {2} =&2\ pi r h\\\\\\\\
\ fin {matriz}\)

Aislar el término que contiene la variable$\ h$,, restando$\ 2 \pi r^{2}$ de ambos lados.

$\ \frac{S-2 \pi r^{2}}{2 \pi r}=\frac{2 \pi r h}{2 \pi r}$

A continuación, aísle la variable$\ h$ dividiendo ambos lados de la ecuación por$\ 2 \pi r$.

$\ \frac{S-2 \pi r^{2}}{2 \pi r}=h$

Se puede reescribir la ecuación para que la variable aislada quede en el lado izquierdo.

$\ h=\frac{S-2 \pi r^{2}}{2 \pi r}$

Resumen

Las fórmulas son un tipo de ecuación. Por lo general, contienen múltiples variables, describen relaciones importantes y proporcionan una forma rápida de calcular las cantidades que se necesitan con frecuencia. Aunque están escritos para encontrar el valor de una variable en particular, las fórmulas se pueden resolver para otras variables en la fórmula siguiendo reglas algebraicas estándar.

\(\ d=r \cdot t\)	Para resolver esta fórmula para\(\ t\), aísle esta variable en un lado de la ecuación.
\(\ \frac{1}{r} \cdot d=\frac{1}{r} \cdot r \cdot t\)	Esto se puede hacer usando la propiedad de multiplicación de igualdad para multiplicar ambos lados por\(\ \frac{1}{r}\).
\(\ \frac{d}{r}=\frac{r \cdot t}{r}\)	Multiplicar por\(\ \frac{1}{r}\) es el equivalente a dividir por\(\ r\) siempre y cuando\(\ r \neq 0\).
\(\ \frac{d}{r}=t \cdot \frac{r}{r}\)	La cantidad\(\ \frac{r}{r}=1\), entonces\(\ t \cdot \frac{r}{r}=t\).
\(\ \frac{d}{r}=t\)

\(\ I=P \cdot R \cdot T\)	Sustituir en los valores dados para el Principal, la Tasa y el Tiempo.
\ (\\ begin {array} {l} I=$ 2000\ cdot 0.7\%\ cdot 24\\ I=$ 2000\ cdot 0.007\ cdot 24\\ I=336 \ end {array}\)	Reescribe 0.7% como el decimal 0.007, luego multiplica.
\(\ 2000+336=2336\)	Suma los intereses y el monto principal original para obtener el monto total en su cuenta.

\(\ C=(F-32) \cdot \frac{5}{9}\)	Para aislar la variable F, lo mejor sería borrar primero la fracción que involucra a F.
\ (\\ begin {array} {c} \ left (\ frac {9} {5}\ right) C =( F-32)\ left (\ frac {5} {9}\ right)\ left (\ frac {9} {5}\ right)\ \ frac {9} {5} C=F-32 \ end {array}\)	Multiplique ambos lados de la ecuación por\(\ \frac{9}{5}\).
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {9} {5} C+32=F-32+32\ \ frac {9} {5} C+32=F \ end {array}\)	Agrega 32 a ambos lados.