11.1.3: Productos y Cocientes Elevados a Poderes

Objetivos de aprendizaje

• Elevar un producto a una potencia.
• Elevar un cociente a una potencia.
• Simplifique las expresiones usando una combinación de las propiedades.

Introducción

Las reglas de los exponentes son muy útiles a la hora de simplificar y evaluar expresiones. Al multiplicar, dividir o elevar una potencia a una potencia, usar las reglas para exponentes ayuda a que el proceso sea más eficiente. Ahora veamos las reglas para llevar un producto o un cociente a una potencia.

Un producto elevado a una potencia

Una vez entendidas las reglas de los exponentes, puedes comenzar a resolver expresiones más complicadas con mayor facilidad. Recordemos que cuando tomas una potencia a una potencia, multiplicas los exponentes,\(\ \left(x^{a}\right)^{b}=x^{a \cdot b}\).

¿Qué sucede cuando elevas una expresión entera dentro de paréntesis a un poder? Puedes usar las técnicas que ya conoces para simplificar esta expresión.

\(\ (2 a)^{4}=(2 a)(2 a)(2 a)(2 a)=(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)(a \cdot a \cdot a \cdot a)=\left(2^{4}\right)\left(a^{4}\right)=16 a^{4}\)

Observe que el exponente se aplica a cada factor de\(\ 2a\). Entonces, podemos eliminar los pasos medios.

\ (\\ begin {array} {l}
(2 a) ^ {4} &=\ left (2^ {4}\ right)\ left (a^ {4}\ right)\ text {, aplicando el} 4\ text {a cada factor,} 2\ text {y} a\\
&=16 a^ {4}
\ end {array}\)

El producto de dos o más números elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia.

Un producto elevado a una potencia

Para cualquier número distinto de cero\(\ a\) y\(\ b\) y cualquier entero\(\ x\),\(\ (a b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}\)

¡Precaución! No intentes aplicar esta regla a las sumas. Piensa en la expresión\(\ (2+3)^{2}\). ¿\(\ (2+3)^{2}\)Igual\(\ 2^{2}+3^{2}\)? No, no lo hace. \(\ (2+3)^{2}=5^{2}=25\)y\(\ 2^{2}+3^{2}=4+9=13\). Entonces, solo puedes usar esta regla cuando los números dentro de los paréntesis se están multiplicando (o dividiendo, como veremos a continuación).

Ejemplo

Simplificar. \(\ (2 y z)^{6}\)

Solución

\(\ 2^{6} y^{6} z^{6}\)

Aplicar el exponente a cada número del producto.

\(\ (2 y z)^{6}=64 y^{6} z^{6}\)

Si la variable tiene un exponente con ella, use la Regla de Poder: multiplique los exponentes.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \left(-7 a^{4} b\right)^{2}\)

Solución

\(\ (-7)^{2}\left(a^{4}\right)^{2}(b)^{2}\)	Aplicar el exponente 2 a cada factor dentro de los paréntesis.
\(\ 49 a^{4 \cdot 2} b^{2}\)	Cuadrando el coeficiente y use la Regla de Poder para cuadrar\(\ \left(a^{4}\right)^{2}\).
\(\ 49 a^{8} b^{2}\)	Simplificar.

\(\ \left(-7 a^{4} b\right)^{2}=49 a^{8} b^{2}\)

Ejercicio

Simplifica la expresión. \(\ \left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{4}\)

1. \(\ x^{4} y^{4}\)
2. \(\ -81 x y^{8}\)
3. \(\ 81 x^{12} y^{8}\)
4. \(\ 81 x^{7} y^{6}\)

Responder

1. Incorrecto. Recuerda aplicar el exponente a todos los términos dentro de los paréntesis, incluyendo el coeficiente. \(\ \left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{4}=(-3)^{4}\left(x^{3}\right)^{4}\left(y^{2}\right)^{4}\); la respuesta correcta es\(\ 81 x^{12} y^{8}\).
2. Incorrecto. Recuerda aplicar el exponente a todos los términos dentro de los paréntesis, incluyendo la variable\(\ x\). \(\ \left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{4}=(-3)^{4}\left(x^{3}\right)^{4}\left(y^{2}\right)^{4}\); la respuesta correcta es\(\ 81 x^{12} y^{8}\).
3. Correcto. \(\ \left(3 x^{3} y^{2}\right)^{4}=(-3)^{4}\left(x^{3}\right)^{4}\left(y^{2}\right)^{4}=81 x^{12} y^{8}\).
4. Incorrecto. Recuerda multiplicar exponentes (no sumarlos) cuando estés elevando una potencia a una potencia. En este caso,\(\ \left(-3 x^{3} y^{2}\right)^{4}=(-3)^{4}\left(x^{3}\right)^{4}\left(y^{2}\right)^{4}=(-3)^{4} \cdot x^{3 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4}\). La respuesta correcta es\(\ 81 x^{12} y^{8}\).

Un cociente elevado a un poder

Ahora veamos qué pasa si elevas un cociente a una potencia. Supongamos que tiene\(\ \frac{3}{4}\) y elevarlo al 3er poder.

\(\ \left(\frac{3}{4}\right)^{3}=\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4}=\frac{3^{3}}{4^{3}}\)

Se puede ver que elevar el cociente a la potencia de 3 también se puede escribir como el numerador (3) a la potencia de 3, y el denominador (4) a la potencia de 3.

Del mismo modo, si estás usando variables, el cociente elevado a una potencia es igual al numerador elevado a la potencia sobre el denominador elevado a poder.

\(\ \left(\frac{a}{b}\right)^{4}=\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{a \cdot a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b \cdot b}=\frac{a^{4}}{b^{4}}\)

Cuando se eleva un cociente a una potencia, se puede aplicar la potencia al numerador y denominador individualmente, como se muestra a continuación.

\(\ \left(\frac{a}{b}\right)^{4}=\frac{a^{4}}{b^{4}}\)

Un cociente elevado a un poder

Para cualquier número\(\ a\), cualquier número distinto de cero\(\ b\), y cualquier entero\(\ x\),\(\ \left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}\).

Ejemplo

Simplificar. \(\ \left(\frac{2 x y}{x}\right)^{3}\)

Solución

\(\ \frac{2^{3} x^{3} y^{3}}{x^{3}}\)	Aplicar la potencia a cada factor individualmente.
\(\ 2^{3} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{1}\)	Separar en factores numéricos y variables.
\(\ 8 \cdot x^{(3-3)} \cdot y^{3}\)	Simplifica tomando 2 a la tercera potencia y aplicando la Regla de Cociente para exponentes: restar los exponentes de las variables coincidentes.
\(\ 8 x^{0} y^{3}\)	Simplificar. Recuerda eso\(\ x^{0}=1\).

\(\ \left(\frac{2 x y}{x}\right)^{3}=8 y^{3}\)

Ejercicio

Simplifica la expresión. \(\ \frac{(a b c)^{2}}{(a b)^{2}}\)

1. 1
2. \(\ c^{2}\)
3. \(\ (a b c)^{2}(a b)^{-2}\)
4. \(\ \frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{2} b^{2}}\)

Responder

1. Incorrecto. Seguir el orden de las operaciones. Aplica primero el exponente a cada variable del producto, y luego usa la Regla de Cociente: restar los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es\(\ c^{2}\).
2. Correcto. Aplica el exponente a cada variable del producto y luego usa la Regla de Cociente: restar los exponentes en términos que tengan la misma base.
3. Incorrecto. Si bien\(\ (a b c)^{2}(a b)^{-2}\) es equivalente a\(\ \frac{(a b c)^{2}}{(a b)^{2}}\), no está en la forma más simple. Aplica el exponente a cada variable del producto y luego usa la Regla de Cociente: restar los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es\(\ c^{2}\).
4. Incorrecto. Esta es una expresión equivalente pero no en la forma más simple. Usa la Regla del Cociente: restar los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es\(\ c^{2}\).

Simplificar y evaluar expresiones con exponentes

Ahora veamos algunas expresiones más complejas y veamos cómo todas las reglas pueden ayudar a facilitar el trabajo con exponentes. Si bien estas expresiones pueden parecer complicadas al principio, ¡solo sigue las reglas de los exponentes para simplificarlas!

Ejemplo

Simplificar. \(\ \left(4 x^{3}\right)^{5} \cdot\left(2 x^{2}\right)^{-4}\)

Solución

\(\ \frac{\left(4 x^{3}\right)^{5}}{\left(2 x^{2}\right)^{4}}\)	Recordemos que con exponentes negativos, puedes usar el recíproco, y moverlo al denominador con un exponente positivo.
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {4^ {5}\ izquierda (x^ {3\ cdot 5}\ derecha)} {2^ {4}\ izquierda (x^ {2\ cdot 4}\ derecha)}\ \ frac {1,024 x^ {15}} {16 x^ {8}} \ end {array}\)	Separar en factores numéricos y variables y aplicar el exponente a cada término.
\(\ 64 x^{15-8}\)	Divide 1,024 por 16 y resta exponentes usando la Regla de Cocientes.

\(\ 64 x^{7}\)

Al usar las reglas de los exponentes, ahora tienes una expresión equivalente,\(\ 64 x^{7}\), que es mucho más fácil de trabajar que\(\ \left(4 x^{3}\right)^{5} \cdot\left(2 x^{2}\right)^{-4}\).

Las reglas de los exponentes también son útiles a la hora de evaluar expresiones para un cierto valor de una variable.

Ejemplo

Evaluar\(\ \frac{24 x^{8} y^{2}}{\left(2 x^{3} y\right)^{2}}\) cuándo\(\ x=4\) y\(\ y=-2\).

Solución

\(\ \frac{24 x^{8} y^{2}}{2^{2} x^{3 \cdot 2} y^{2}}\)	En el denominador, observe que un producto está siendo elevado a una potencia. Usa las reglas de exponentes para simplificar el denominador.
\(\ \frac{24 x^{8} y^{2}}{4 x^{6} y^{2}}\)	Simplificar\(\ 2^{2}\) y multiplicar los exponentes de\(\ x\).
\(\ \left(\frac{24}{4}\right)\left(\frac{x^{8}}{x^{6}}\right)\left(\frac{y^{2}}{y^{2}}\right)\)	Separar en factores numéricos y variables.
\(\ 6\left(x^{8-6}\right)\left(y^{2-2}\right)\)	Dividir coeficientes, usa la Regla de Cocientes para dividir las variables: restar los exponentes.
\(\ 6 x^{2} y^{0}=6 x^{2}\)	Simplificar. Recuerda que\(\ y^{0}\) es 1.
\(\ \text { (6) }\left(4^{2}\right)=6 \cdot 16\)	Sustituir el valor 4 por la variable\(\ x\).

\(\ \frac{24 x^{8} y^{2}}{\left(2 x^{3} y\right)^{2}}=96\)cuándo\(\ x=4\) y\(\ y=-2\)

Observe que podría haber trabajado este problema sustituyendo 4 por x y 2 por y en la expresión original. Aún obtendrías la respuesta de 96, pero el cómputo sería mucho más complejo. Observe que ni siquiera necesitó usar el valor de\(\ y\) para evaluar la expresión anterior.

Ejercicio

Simplificar. \(\ \left(3 a^{2} b^{3}\right)^{2}(-5 a b)\)

1. \(\ \left(9 a^{4} b^{6}\right)(-5 a b)\)
2. \(\ -15 a^{5} b^{7}\)
3. \(\ -45 a^{5} b^{6}\)
4. \(\ -45 a^{5} b^{7}\)

Responder

1. Incorrecto. El primer término se ha elevado a una potencia, pero se puede simplificar aún más. Los dos factores no se han multiplicado juntos. La respuesta correcta es\(\ -45 a^{5} b^{7}\).
2. Incorrecto. El coeficiente del primer término también debe elevarse a una potencia. La respuesta correcta es\(\ -45 a^{5} b^{7}\).
3. Incorrecto. Cuando tomas una potencia de una potencia, los exponentes se multiplican. La respuesta correcta es\(\ -45 a^{5} b^{7}\).
4. Correcto. En tu respuesta, cada variable aparece sólo una vez, los coeficientes se han multiplicado, y no hay poderes de poderes. \(\ \left(3 a^{2} b^{3}\right)^{2}(-5 a b)=\left(3^{2} a^{2 \cdot 2} b^{3 \cdot 2}\right)(-5 a b)=\left(9 a^{4} b^{6}\right)(-5 a b)\), lo que simplifica a\(\ -45 a^{5} b^{7}\).

Resumen

Hay muchas reglas para usar cuando se trabaja con expresiones exponenciales. Se pueden utilizar estas reglas, así como la definición de exponentes, para simplificar expresiones complejas. Simplificar una expresión antes de evaluar la expresión a menudo puede facilitar el cálculo.