11.1.2: Simplificar mediante el uso del producto, el cociente y las reglas de potencia

Objetivos de aprendizaje

• Usa la regla del producto para multiplicar expresiones exponenciales con bases similares.
• Usa la regla del poder para elevar poderes a poderes.
• Usa la regla del cociente para dividir expresiones exponenciales con bases similares.
• Simplifique las expresiones usando una combinación de las propiedades.

Introducción

La notación exponencial se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas de manera más eficiente. Hay momentos en los que es más fácil dejar las expresiones en notación exponencial al multiplicar o dividir. Echemos un vistazo a las reglas que te permitirán hacer esto.

La regla del producto para exponentes

Recordemos que los exponentes son una forma de representar la multiplicación repetida. Por ejemplo, la notación$\ 5^{4}$ puede expandirse y escribirse como$\ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$, o 625. Y no se olvide, el exponente sólo aplica al número inmediatamente a su izquierda, a menos que haya paréntesis.

¿Qué pasa si multiplicas dos números en forma exponencial con la misma base? Considera la expresión$\ \left(2^{3}\right)\left(2^{4}\right)$. Ampliando cada exponente, esto se puede reescribir como$\ (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ o$\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. En forma exponencial, escribirías el producto como$\ 2^{7}$. Aviso, 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4.

¿Y qué pasa$\ \left(x^{2}\right)\left(x^{6}\right)$? Esto se puede escribir como$\ (x \cdot x)(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)=x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \text { or } x^{8}$. Y, una vez más, 8 es la suma de los dos exponentes originales.

La regla del producto para exponentes

Para cualquier número$\ x$ y cualquier número entero$\ a$ y$\ b$,$\ \left(x^{a}\right)\left(x^{b}\right)=x^{a+b}$.

Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, basta con sumar los exponentes.

Ejemplo

Simplificar. $\ \left(a^{3}\right)\left(a^{7}\right)$

Solución

$\ \left(a^{3}\right)\left(a^{7}\right)$	La base de ambos exponentes es$\ a$, por lo que se aplica la regla del producto.
$\ a^{3+7}$	Agrega los exponentes con una base común.

$\ \left(a^{3}\right)\left(a^{7}\right)=a^{10}$

Al multiplicar términos más complicados, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar las variables.

Ejemplo

Simplificar. $\ 5 a^{4} \cdot 7 a^{6}$

Solución

$\ 35 \cdot a^{4} \cdot a^{6}$	Multiplicar los coeficientes.
$\ 35 \cdot a^{4+6}$	La base de ambos exponentes es$\ a$, por lo que se aplica la regla del producto. Sumar los exponentes.
$\ 35 \cdot a^{10}$	Agrega los exponentes con una base común.

$\ 5 a^{4} \cdot 7 a^{6}=35 a^{10}$

Ejercicio

Simplifica la expresión, manteniendo la respuesta en notación exponencial.

$\ \left(4 x^{5}\right)\left(2 x^{8}\right)$

1. $\ 8 x^{5} \cdot x^{8}$
2. $\ 6 x^{13}$
3. $\ 8 x^{13}$
4. $\ 8 x^{40}$

Contestar

1. Incorrecto. $\ 8 x^{5} \cdot x^{8}$es equivalente a$\ \left(4 x^{5}\right)\left(2 x^{8}\right)$, pero todavía no está en la forma más simple. Simplifique$\ x^{5} \cdot x^{8}$ usando la Regla del Producto para agregar exponentes. La respuesta correcta es$\ 8 x^{13}$.
2. Incorrecto. $\ 6 x^{13}$no es equivalente a$\ \left(4 x^{5}\right)\left(2 x^{8}\right)$. En esta respuesta incorrecta, se sumaron los exponentes correctos, pero también se sumaron los coeficientes. Debieron haberse multiplicado. La respuesta correcta es$\ 8 x^{13}$.
3. Correcto. $\ 8 x^{13}$es equivalente a$\ \left(4 x^{5}\right)\left(2 x^{8}\right)$. Multiplica los coeficientes$\ (4 \cdot 2)$ y aplica la Regla de Producto para sumar los exponentes de las variables (en este caso$\ x$) que son las mismas.
4. Incorrecto. $\ 8 x^{40}$no es equivalente a$\ \left(4 x^{5}\right)\left(2 x^{8}\right)$. No multipliques los coeficientes y los exponentes. Recuerda, usando la Regla del Producto agrega los exponentes cuando las bases son las mismas. La respuesta correcta es$\ 8 x^{13}$.

La regla de poder para los exponentes

Vamos a simplificar$\ \left(5^{2}\right)^{4}$. En este caso, la base es$\ 5^{2}$ y el exponente es 4, por lo que multiplicas$\ 5^{2}$ cuatro veces:$\ \left(5^{2}\right)^{4}=5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2}=5^{8}$ (Usando la Regla del Producto, agrega los exponentes).

$\ \left(5^{2}\right)^{4}$es un poder de un poder. Es la cuarta potencia de 5 a la segunda potencia. Y vimos arriba que la respuesta es$\ 5^{8}$. Observe que el nuevo exponente es el mismo que el producto de los exponentes originales:$\ 2 \cdot 4=8$.

Entonces,$\ \left(5^{2}\right)^{4}=5^{2 \cdot 4}=5^{8}$ (que equivale a 390, 625, si haces la multiplicación).

De igual manera,$\ \left(x^{4}\right)^{3}=x^{4 \cdot 3}=x^{12}$.

Esto lleva a otra regla para los exponentes: la Regla de Poder para Exponentes. Para simplificar una potencia de una potencia, multiplicas los exponentes, manteniendo la base igual. Por ejemplo,$\ \left(2^{3}\right)^{5}=2^{15}$.

La regla de poder para los exponentes

Para cualquier número positivo$\ x$ y enteros$\ a$ y$\ b$:

$\ \left(x^{a}\right)^{b}=x^{a \cdot b}$

Ejemplo

Simplificar. $\ 6\left(c^{4}\right)^{2}$

Solución

$\ 6\left(c^{4}\right)^{2}$

Ya que estás elevando una potencia a una potencia, aplica la Regla de Poder y multiplica exponentes para simplificar. El coeficiente permanece sin cambios porque está fuera de los paréntesis.

$\ 6\left(c^{4}\right)^{2}=6 c^{8}$

Ejemplo

Simplificar. $\ a^{2}\left(a^{5}\right)^{3}$

Solución

$\ a^{2} a^{5 \cdot 3}$	$\ a^{5}$Elevar al poder de 3 multiplicando los exponentes juntos (la Regla de Poder).
\ (\\ begin {array} {l} a^ {2} a^ {15}\\ a^ {2+15} \ end {array}\)	Dado que los exponentes comparten la misma base$\ a$,, se pueden combinar (la Regla del Producto).

$\ a^{2}\left(a^{5}\right)^{3}=a^{17}$

Ejercicio

Simplificar:$\ -a\left(a^{2}\right)^{4}$

1. $\ -a \cdot a^{8}$
2. $\ a^{7}$
3. $\ -a^{7}$
4. $\ -a^{9}$

Contestar

1. Incorrecto. Esta expresión aún no se ha simplificado. Recordemos que también se$\ -a$ puede escribir$\ -a^{1}$. $\ a^{8}$Multiplicar$\ -a^{1}$ por para llegar a la respuesta correcta. La respuesta correcta es$\ -a^{9}$.
2. Incorrecto. No sumar los exponentes de 2 y 4 juntos. La Regla del Poder establece que para un poder de un poder, se multiplican los exponentes. La respuesta correcta es$\ -a^{9}$.
3. Incorrecto. No sumar los exponentes de 2 y 4 juntos. La Regla del Poder establece que para un poder de un poder, se multiplican los exponentes. La respuesta correcta es$\ -a^{9}$.
4. Correcto. Usando la Regla de Poder,$\ -a\left(a^{2}\right)^{4}=-a \cdot a^{2 \cdot 4}=-a^{1} a^{8}=-a^{1+8}=-a^{9}$.

La regla del cociente para los exponentes

Veamos los términos divisorios que contienen expresiones exponenciales. ¿Qué pasa si divides dos números en forma exponencial con la misma base? Considera la siguiente expresión.

$\ \frac{4^{5}}{4^{2}}$

Se puede reescribir la expresión como:$\ \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$. Entonces puedes cancelar los factores comunes de 4 en el numerador y denominador:$\ \frac{\not4\cdot\not4\cdot4\cdot4\cdot4}{\not4\cdot\not4}=\frac{4\cdot4\cdot4}{1}$.

Finalmente, esta expresión puede ser reescrita$\ 4^{3}$ usando notación exponencial. Observe que el exponente, 3, es la diferencia entre los dos exponentes en la expresión original, 5 y 2.

Entonces,$\ \frac{4^{5}}{4^{2}}=4^{5-2}=4^{3}$.

Ten cuidado de restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

$\ \frac{x^7}{x^9}=\frac{\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x}{\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot\not x\cdot x\cdot x}=\frac{1}{x\cdot x}=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$

o

$\ \frac{x^{7}}{x^{9}}=x^{7-9}=x^{-2}$

Entonces, para dividir dos términos exponenciales con la misma base, restar los exponentes.

La regla del cociente para los exponentes

Para cualquier número distinto de cero$\ x$ y cualquier número entero$\ a$ y$\ b$:$\ \frac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$

Observe eso$\ \frac{4^{2}}{4^{2}}=4^{0}$. Y eso lo sabemos$\ \frac{4^{2}}{4^{2}}=\frac{16}{16}=1$. Entonces esto puede ayudar a explicar por qué$\ 4^{0}=1$.

Ejemplo

Evaluar. $\ \frac{4^{9}}{4^{4}}$

Solución

$\ 4^{9-4}$

Estos dos exponentes tienen la misma base, 4. De acuerdo con la Regla del Cociente, se puede restar el poder en el denominador del poder en el numerador.

$\ \frac{4^{9}}{4^{4}}=4^{5}$

Al dividir términos que también contengan coeficientes, divida los coeficientes y luego divida las potencias variables con la misma base restando los exponentes.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{12 x^{4}}{2 x}$

Solución

$\ \left(\frac{12}{2}\right)\left(\frac{x^{4}}{x}\right)$	Separar en factores numéricos y variables.
$\ 6 \cdot x^{4-1}$	Dado que las bases de los exponentes son las mismas, se puede aplicar la Regla del Cociente. Dividir los coeficientes y restar los exponentes de las variables coincidentes.

$\ \frac{12 x^{4}}{2^{x}}=6 x^{3}$

Aplicando las Reglas

Todas estas reglas de exponentes, la Regla de Producto, la Regla de Poder y la Regla de Cociente, son útiles a la hora de evaluar expresiones con bases comunes.

Ejemplo

Evaluar$\ \frac{24 x^{8}}{2 x^{5}}$ cuándo$\ x=4$.

Solución

$\ \left(\frac{24}{2}\right)\left(\frac{x^{8}}{x^{5}}\right)$	Separar en factores numéricos y variables.
$\ 12 \cdot x^{8-5}$	Dividir los coeficientes y restar los exponentes de las variables.
$\ 12 x^{3}$	Simplificar.
$\ \text { (12) }\left(4^{3}\right)=12 \cdot 64$	Sustituir el valor 4 por la variable$\ x$.

$\ \frac{24 x^{8}}{2 x^{5}}=768$

Por lo general, es más fácil simplificar la expresión antes de sustituir cualquier valor por tus variables, pero obtendrás la misma respuesta de cualquier manera.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{a^{2}\left(a^{5}\right)^{3}}{8 a^{8}}$

Solución

$\ \frac{a^{2} \cdot a^{5 \cdot 3}}{8 a^{8}}$	Utilice el orden de operaciones con PEMDAS: E: Evaluar exponentes. Utilice la regla de poder para simplificar$\ \left(a^{5}\right)^{3}$
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {a^ {2} a^ {15}} {8 a^ {8}} \\ frac {a^ {2+15}} {8 a^ {8}}\ \ frac {a^ {17}} {8 a^ {8}}\ \ frac {a^ {17-8}} {8} \ fin matriz}\)	M: Multiplicar, usando la Regla del Producto ya que las bases son las mismas. D: Dividir usando la Regla del Cociente.

$\ \frac{a^{2}\left(a^{5}\right)^{3}}{8 a^{8}}=\frac{a^{9}}{8}$

Resumen

Hay reglas que ayudan a multiplicar y dividir expresiones exponenciales con la misma base. Para multiplicar dos términos exponenciales con una misma base, sumar sus exponentes. Para elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. Para dividir dos términos exponenciales con la misma base, restar los exponentes.