11.2.2: Sumando y restando polinomios
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- Encuentra lo contrario de un polinomio.
- Restar polinomios.
Introducción
Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy diferente de la suma y resta que haces todos los días. Lo principal a recordar es buscar y combinar términos similares.
Adición de polinomios
Puede agregar dos (o más) polinomios a medida que haya agregado expresiones algebraicas. Puedes eliminar los paréntesis y combinar términos similares.
Agregar. \(\ (3 b+5)+(2 b+4)\)
Solución
| \(\ (3 b+2 b)+(5+4)\) | Reagruparse usando la propiedad conmutativa de adición y la propiedad asociativa de adición. |
| \(\ 5 b+9\) | Combina términos similares. |
\(\ (3 b+5)+(2 b+4)=5 b+9\)
Un jardín rectangular tiene un lado con una longitud de\(\ x+7\) y otro con un largo\(\ 2 x+3\). Encuentra el perímetro del jardín.
Solución
| \(\ (x+7)+(2 x+3)+(x+7)+(2 x+3)\) | El perímetro de un rectángulo es la suma de sus longitudes laterales. |
| \(\ (x+2 x+x+2 x)+(7+3+7+3)\) | Reagruparse por términos similares usando propiedades conmutativas y asociativas. |
| \(\ 6 x+20\) | Agregar términos similares. |
El perímetro es\(\ 6 x+20\).
El procedimiento es el mismo cuando se agregan polinomios que contienen coeficientes negativos o restas:
Agregar.
\(\ \left(-5 x^{2}-10 x+2\right)+\left(3 x^{2}+7 x-4\right)\)
Solución
| \(\ -5 x^{2}+(-10 x)+2+3 x^{2}+7 x+(-4)\) | Reescribir la resta como suma de lo contrario. |
| \(\ \left(-5 x^{2}+3 x^{2}\right)+(-10 x+7 x)+(2-4)\) | Reagruparse usando propiedades conmutativas y asociativas. |
| \(\ -2 x^{2}+(-3 x)+(-2)\) | Combina términos similares. |
\(\ \left(-5 x^{2}-10 x+2\right)+\left(3 x^{2}+7 x-4\right)=-2 x^{2}-3 x-2\)
Los ejemplos anteriores muestran la adición de polinomios horizontalmente, leyendo de izquierda a derecha a lo largo de la misma línea. A algunas personas les gusta organizar su trabajo verticalmente en cambio, porque les resulta más fácil asegurarse de que están combinando términos similares. El siguiente ejemplo muestra este método “vertical” de agregar polinomios:
Agregar.
\(\ \left(3 x^{2}+2 x-7\right)+\left(7 x^{2}-4 x+8\right)\).
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} 3 x^ {2} +2 x-7\\ +\ quad 7 x^ {2} -4 x+8 \ end {array}\) |
Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear términos similares. |
| \ (\\ begin {array} {r} 3 x^ {2} +2 x-7\\ +\ quad 7 x^ {2} -4 x+8\ \ hline 10 x^ {2} -2 x+1 \ end {array}\) |
Combina términos similares, prestando mucha atención a las señales. |
\(\ \left(3 x^{2}+2 x-7\right)+\left(7 x^{2}-4 x+8\right)=10 x^{2}-2 x+1\)
A veces en una disposición vertical, puedes alinear cada término debajo de un término similar, como en el ejemplo anterior. Pero a veces no es tan ordenado. Cuando no hay un término similar coincidente para cada término, habrá lugares vacíos en la disposición vertical.
Agregar.
\(\ \left(4 x^{3}+5 x^{2}-6 x+2\right)+\left(-4 x^{2}+10\right)\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} 4 x^ {3} +5 x^ {2} -6 x\\ +2\\\ +\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ -4 x^ {2} +10\\ \ hline \ end {array}\) |
Escribe un polinomio debajo del otro, alineando como términos verticalmente. Deje un espacio en blanco por encima o por debajo de cada término sin un término similar coincidente. |
| \ (\\ begin {array} {r} 4 x^ {3} +5 x^ {2}\\ -6 x\\ +2\\\\ +\ quad\ -4 x^ {2}\\\\\\\\\\\ + 10\\ \ hline 4 x^ {3} +\\ x^ {2}\\ -6 x\\ +12 \ fin de matriz}\) |
Combina términos similares, prestando mucha atención a las señales. |
\(\ \left(4 x^{3}+5 x^{2}-6 x+2\right)+\left(-4 x^{2}+10\right)=4 x^{3}+x^{2}-6 x+12\)
Encuentra la suma.
\(\ \left(4 a^{2}+5 a+7\right)+(8 a+2)\)
- \(\ 9 a^{2}+8 a+9\)
- \(\ 16 a^{2}+10 a\)
- \(\ 12 a^{2}+5 a+9\)
- \(\ 4 a^{2}+13 a+9\)
- Contestar
-
- Incorrecto. \(\ 4 a^{2}\)y\(\ 5a\) no se pueden combinar porque no son como términos. Reagruparse por términos similares para obtener\(\ 4 a^{2}+(5 a+8 a)+(7+2)\). La respuesta correcta es\(\ 4 a^{2}+13 a+9\).
- Incorrecto. Primero debes reagruparte por términos similares antes de agregar coeficientes. Reagrupamiento da\(\ 4 a^{2}+(5 a+8 a)+(7+2)\). La respuesta correcta es\(\ 4 a^{2}+13 a+9\).
- Incorrecto. No se puede combinar\(\ 4 a^{2}\) y\(\ 8a\) porque no son como términos. Reagruparse por términos similares para obtener\(\ 4 a^{2}+(5 a+8 a)+(7+2)\). La respuesta correcta es\(\ 4 a^{2}+13 a+9\).
- Correcto. Reagruparse por términos similares para obtener\(\ 4 a^{2}+(5 a+8 a)+(7+2)\), que es\(\ 4 a^{2}+13 a+9\).
Encontrar lo opuesto de un polinomio
Cuando restes polinomios, sumarás lo contrario, como lo has hecho con números reales. Entonces, ¿cómo encuentra lo contrario de un polinomio? Recordemos que lo opuesto de 3 es -3, y lo opuesto de -3 es 3. Así como lo contrario de un número se encuentra multiplicando el número por -1, podemos encontrar lo contrario de un polinomio multiplicándolo por -1.
Encuentra lo contrario de\(\ 9 x^{2}+10 x+5\).
Solución
| \(\ (-1)\left(9 x^{2}+10 x+5\right)\) | Encuentra lo contrario multiplicando por -1 |
| \(\ (-1) 9 x^{2}+(-1) 10 x+(-1) 5\) | Distribuir -1 a cada término en el polinomio. |
| \(\ -9 x^{2}+(-10 x)+(-5)\) | Multiplique cada coeficiente por -1. |
| Lo contrario de\(\ 9 x^{2}+10 x+5\) es\(\ -9 x^{2}-10 x-5\). | Reescribir la suma de un término negativo como resta. |
Tenga cuidado cuando ya haya valores negativos o sustracciones en el polinomio.
Encuentra lo contrario de\(\ 3 p^{2}-5 p+7\).
Solución
| \(\ (-1)\left(3 p^{2}-5 p+7\right)\) | Encuentra lo contrario multiplicando por -1. |
| \(\ (-1)\left[3 p^{2}+(-5) p+7\right]\) | Cambia la resta a sumar lo contrario. |
| \(\ (-1) 3 p^{2}+(-1)(-5) p+(-1) 7\) | Distribuye -1 a cada término en el polinomio y multiplica cada coeficiente por -1. |
| \(\ -3 p^{2}+5 p+(-7)\) | Reescribir la suma de un término negativo como resta. |
Lo contrario de\(\ 3 p^{2}-5 p+7 \text { is }-3 p^{2}+5 p-7\).
Observe que al encontrar lo contrario de un polinomio, cambia el signo de cada término en el polinomio.
Encuentra lo contrario del polinomio.
\(\ 8 a^{3}-3 a-2\).
- \(\ -8 a^{3}-3 a-2\)
- \(\ 8 a^{3}+3 a-2\)
- \(\ 8 a^{3}+3 a+2\)
- \(\ -8 a^{3}+3 a+2\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Cada término debe tener el signo cambiado. La respuesta correcta es\(\ -8 a^{3}+3 a+2\).
- Incorrecto. Cada término debe tener el signo cambiado. La respuesta correcta es\(\ -8 a^{3}+3 a+2\).
- Incorrecto. Cada término debe tener el signo cambiado. La respuesta correcta es\(\ -8 a^{3}+3 a+2\).
- Correcto. Cada término debe tener el signo cambiado, así que la respuesta es\(\ -8 a^{3}+3 a+2\).
Restar polinomios
Así como restar números reales es lo mismo que sumar lo contrario, puedes restar polinomios sumando lo contrario del segundo polinomio. Veamos un ejemplo:
Restar. \(\ \left(15 x^{2}+12 x+20\right)-\left(9 x^{2}+10 x+5\right)\)
Solución
| \(\ \left(15 x^{2}+12 x+20\right)+\left(-9 x^{2}-10 x-5\right)\) | Cambia la resta a sumar lo contrario. ¡Ten cuidado de cambiar el signo de cada término! |
| \(\ \left(15 x^{2}+-9 x^{2}\right)+(12 x-10 x)+(20-5)\) | Reagruparse para que coincidan con términos similares. |
| \(\ 6 x^{2}+2 x+15\) | Combina términos similares. |
\(\ \left(15 x^{2}+12 x+20\right)-\left(9 x^{2}+10 x+5\right)=6 x^{2}+2 x+15\)
Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la pista de las señales. Tenga cuidado de transferirlos correctamente, especialmente al restar un término negativo.
Restar. \(\ \left(14 x^{3}+3 x^{2}-5 x+14\right)-\left(7 x^{3}+5 x^{2}-8 x+10\right)\)
Solución
| \(\ \left(14 x^{3}+3 x^{2}-5 x+14\right)+\left(-7 x^{3}-5 x^{2}+8 x-10\right)\) | Reescribir como agregar lo contrario. |
| \(\ 14 x^{3}+3 x^{2}+(-5) x+14+(-7) x^{3}+(-5) x^{2}+8 x+(-10)\) | Es posible que desee reescribir todas las restaciones como agregar lo contrario. |
| \(\ 14 x^{3}+(-7) x^{3}+3 x^{2}+(-5) x^{2}+(-5) x+8 x+14+(-10)\) | Reagruparse para armar términos similares. |
| \(\ 7 x^{3}+(-2) x^{2}+3 x+4\) | Combina términos similares. |
\(\ \left(14 x^{3}+3 x^{2}-5 x+14\right)-\left(7 x^{3}+5 x^{2}-8 x+10\right)=7 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\)
Problemas complejos, como el anterior, pueden resolverse más fácilmente usando el enfoque vertical (que se muestra a continuación). Sin embargo, elija combinar polinomios depende de usted; el punto clave es identificar términos similares, y poder organizarlos con precisión.
\(\ \left(14 x^{3}+3 x^{2}-5 x+14\right)-\left(7 x^{3}+5 x^{2}-8 x+10\right)\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} 14 x^ {3} +3 x^ {2} -5 x+14\\\\ -\ izquierda (7 x^ {3} +5 x^ {2} -8 x+10\ derecha)\ \ hline \ end {array}\) |
Reorganizar utilizando el enfoque vertical. |
| \ (\\ comenzar {matriz} {r} 14 x^ {3} +3 x^ {2} -5 x+14\\ -7 x^ {3} -5 x^ {2} +8 x-10\ \ hline 7 x^ {3} -2 x^ {2} +3 x+\\ 4 \ final {matriz}\) |
Cambia la resta a sumar los opuestos, y combina términos similares. |
\(\ \left(14 x^{3}+3 x^{2}-5 x+14\right)-\left(7 x^{3}+5 x^{2}-8 x+10\right)=7 x^{3}-2 x^{2}+3 x+4\)
Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica facilitan sumar y restar polinomios.
Resta. \(\ \left(4 a^{3}-5 a+7\right)-\left(8 a^{3}-3 a-2\right)\)
- \(\ -4 a^{3}-8 a+5\)
- \(\ -\left(-4 a^{3}\right)+3 a+9\)
- \(\ -4 a^{3}-2 a+9\)
- \(\ -4 a^{3}+2 a+5\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Cada término en el segundo polinomio debe restarse del primer polinomio:\(\ 4 a^{3}-5 a+7-8 a^{3}+3 a+2\). La respuesta correcta es\(\ -4 a^{3}-2 a+9\).
- Incorrecto. El restado\(\ 5a\) en el primer polinomio aún debe restarse:\(\ 4 a^{3}-5 a+7-8 a^{3}+3 a+2\). La respuesta correcta es\(\ -4 a^{3}-2 a+9\).
- Correcto. \(\ 4 a^{3}-5 a+7-8 a^{3}+3 a+2=-4 a^{3}-2 a+9\).
- Incorrecto. Cada término en el segundo polinomio debe restarse del primer polinomio:\(\ 4 a^{3}-5 a+7-8 a^{3}+3 a+2\). La respuesta correcta es\(\ -4 a^{3}-2 a+9\).
Resumen
Al sumar o restar polinomios, use las propiedades conmutativas y asociativas para reagrupar los términos en un polinomio en grupos de términos similares. Cambiar la resta, incluyendo la resta del segundo polinomio, a la suma de lo contrario. Al encontrar lo contrario de un polinomio, asegúrese de cambiar el signo de cada término. Entonces puedes combinar los términos similares.