12.2.1: Factorización de Trinomios
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- Trinomios factoriales con un coeficiente principal de 1.
- Trinomios factoriales con un factor común.
- Trinomios factoriales con un coeficiente principal distinto de 1.
Introducción
Un polinomio con tres términos se llama trinomio. Trinomios a menudo (¡pero no siempre!) tener la forma\(\ x^{2}+b x+c\). A primera vista, puede parecer difícil factorizar trinomios, pero puedes aprovechar algunos patrones matemáticos interesantes para factorizar incluso los trinomios de aspecto más difícil.
Entonces, ¿cómo se llega de\(\ 6 x^{2}+2 x-20\) a\(\ (2 x+4)(3 x-5)\)? Echemos un vistazo.
Factorización de Trinomios:\(\ x^{2}+b x+c\)
Los trinomios en la forma a menudo se\(\ x^{2}+b x+c\) pueden factorizar como el producto de dos binomios. Recuerde que un binomio es simplemente un polinomio de dos términos. Empecemos por revisar qué sucede cuando se multiplican dos binomios\(\ (x+5)\), como\(\ (x+2)\) y.
Multiplicar\(\ (x+2)(x+5)\).
Solución
| \(\ (x+2)(x+5)\) | Utilice el método FOIL para multiplicar binomios. |
| \(\ x^{2}+5 x+2 x+10\) | Después combine los términos similares\(\ 2x\) y\(\ 5x\). |
\(\ x^{2}+7 x+10\)
La factorización es la inversa de multiplicar. Entonces vayamos a la inversa y factorizamos el trinomio\(\ x^{2}+7 x+10\). Los términos individuales\(\ x^{2}\),\(\ 7 x\), y 10 no comparten factores comunes. Así que mira reescribir\(\ x^{2}+7 x+10\) como\(\ x^{2}+5 x+2 x+10\).
Y, puedes agrupar pares de factores:\(\ \left(x^{2}+5 x\right)+(2 x+10)\)
Factorizar cada par:\(\ x(x+5)+2(x+5)\)
Luego factorizar el factor común\(\ x+5\):\(\ (x+5)(x+2)\)
Aquí está el mismo problema hecho en forma de ejemplo:
Factor\(\ x^{2}+7 x+10\).
Solución
| \(\ x^{2}+5 x+2 x+10\) | Reescribir el término medio\(\ 7x\) como\(\ 5 x+2 x\). |
| \(\ x(\mathbf{x}+\mathbf{5})+2(\mathbf{x}+\mathbf{5})\) | Agrupar los pares y factorizar el factor común\(\ x\) del primer par y 2 del segundo par. |
| \(\ (\mathbf{x}+\mathbf{5})(x+2)\) | Factorizar el factor común\(\ (x+5)\). |
\(\ (x+5)(x+2)\)
¿Cómo sabes reescribir el término medio? Desafortunadamente, no puedes reescribirlo de cualquier manera. Si reescribes\(\ 7x\) como\(\ 6 x+x\), este método no funcionará. Afortunadamente, hay una regla para eso.
Para factorizar un trinomio en la forma\(\ x^{2}+b x+c\), encontrar dos enteros,\(\ r\) y\(\ s\), cuyo producto es y cuya suma es\(\ b\).
Reescribe el trinomio como\(\ x^{2}+r x+s x+c\) y luego usa agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio. Los factores resultantes serán\(\ (x+r)\) y\(\ (x+s)\).
Por ejemplo, para factorizar\(\ x^{2}+7 x+10\), estás buscando dos números cuya suma sea 7 (el coeficiente del término medio) y cuyo producto sea 10 (el último término).
Mira pares de factores de 10:1 y 10, 2 y 5. ¿Alguno de estos pares tiene una suma de 7? Sí, 2 y 5. Así podrás reescribir\(\ 7x\) como\(\ 2 x+5 x\), y continuar factorizando como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que también puede reescribir\(\ 7 x\) como\(\ 5 x+2 x\). Ambos funcionarán.
Vamos a factorizar el trinomio\(\ x^{2}+5 x+6\). En este polinomio, la\(\ b\) parte del término medio es 5 y el\(\ c\) término es 6. Un gráfico nos ayudará a organizar las posibilidades. A la izquierda, enumere todos los factores posibles del\(\ c\) término, 6; a la derecha encontrarás las sumas.
| Factores cuyo producto es 6 | Suma de los factores |
| \(\ 1 \cdot 6=6\) | \(\ 1+6=7\) |
| \(\ 2 \cdot 3=6\) | \(\ 2+3=5\) |
Solo hay dos combinaciones de factores posibles, 1 y 6, y 2 y 3. Eso se puede ver\(\ 2+3=5\). Entonces\(\ 2 x+3 x=5 x\), dándonos el término medio correcto.
Factor\(\ x^{2}+5 x+6\)
Solución
| \(\ x^{2}+2 x+3 x+6\) | Utilice los valores de la tabla anterior. Reemplazar\(\ 5x\) con\(\ 2 x+3 x\). |
| \(\ \left(x^{2}+2 x\right)+(3 x+6)\) | Agrupar los pares de términos. |
| \(\ x(x+2)+(3 x+6)\) | Factor\(\ x\) fuera del primer par de términos. |
| \(\ x(x+2)+3(x+2)\) | Factor 3 del segundo par de términos. |
| \(\ (x+2)(x+3)\) | Factorizar hacia fuera\(\ (x+2)\). |
\(\ (x+2)(x+3)\)
Tenga en cuenta que si escribió\(\ x^{2}+5 x+6\) como\(\ x^{2}+3 x+2 x+6\) y agrupó los pares como\(\ \left(x^{2}+3 x\right)+(2 x+6)\), luego\(\ x(x+3)+2(x+3)\) factorizado,, y\(\ x+3\) factorizado, la respuesta sería\(\ (x+3)(x+2)\). Dado que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no importa. Entonces esta respuesta también es correcta; son respuestas equivalentes.
Por último, echemos un vistazo al trinomio\(\ x^{2}+x-12\). En este trinomio, el\(\ c\) término es\(\ -12\). Así que mira todas las combinaciones de factores cuyo producto es\(\ -12\). Entonces mira cuál de estas combinaciones te dará el término medio correcto, donde\(\ b\) está 1.
| Factores cuyo producto es -12 | Suma de los factores |
| \(\ 1 \cdot-12=-12\) | \(\ 1+-12=-11\) |
| \(\ 2 \cdot-6=-12\) | \(\ 2+-6=-4\) |
| \(\ 3 \cdot-4=-12\) | \(\ 3+-4=-1\) |
| \(\ 4 \cdot-3=-12\) | \(\ 4+-3=1\) |
| \(\ 6 \cdot-2=-12\) | \(\ 6+-2=4\) |
| \(\ 12 \cdot-1=-12\) | \(\ 12+-1=11\) |
Sólo hay una combinación donde el producto es -12 y la suma es 1, y es cuando\(\ r=4\), y\(\ s=-3\). Usemos estos para factorizar nuestro trinomio original.
Factor\(\ x^{2}+x-12\).
Solución
| \(\ x^{2}+4 x+-3 x-12\) | Reescribe el trinomio usando los valores del gráfico anterior. Usar valores\(\ r=4\) y\(\ s=-3\). |
| \(\ \left(x^{2}+4 x\right)+(-3 x-12)\) | Pares de términos de grupo. |
| \(\ x(x+4)+(-3 x-12)\) | Factor\(\ x\) fuera del primer grupo. |
| \(\ x(x+4)-3(x+4)\) | Factor -3 del segundo grupo. |
| \(\ (x+4)(x-3)\) | Factorizar hacia fuera\(\ (x+4)\). |
\(\ (x+4)(x-3)\)
En el ejemplo anterior, también podrías reescribir\(\ x^{2}+x-12\) como\(\ x^{2}-3 x+4 x-12\) primero. Luego factorizar\(\ x(x-3)+4(x-3)\), y factorizar salir\(\ (x-3)\) consiguiendo\(\ (x-3)(x+4)\). Dado que la multiplicación es conmutativa, esta es la misma respuesta.
Consejos de factorización
Factorizar trinomios es cuestión de práctica y paciencia. A veces, ¡las combinaciones de números apropiadas simplemente saldrán y parecerán tan obvias! Otras veces, a pesar de intentar muchas posibilidades, las combinaciones correctas son difíciles de encontrar. Y, hay momentos en los que no se puede factorizar el trinomio.
Si bien no hay una manera infalible de encontrar la combinación correcta en la primera suposición, hay algunos consejos que pueden facilitar el camino.
Al factorizar un trinomio en la forma\(\ x^{2}+b x+c\), considere los siguientes consejos.
Mira primero el\(\ c\) término.
- Si el\(\ c\) término es un número positivo, entonces los factores de ambos\(\ c\) serán positivos o ambos serán negativos. En otras palabras,\(\ r\) y\(\ s\) tendrá el mismo signo.
- Si el\(\ c\) término es un número negativo, entonces un factor de\(\ c\) será positivo, y un factor de\(\ c\) será negativo. Cualquiera\(\ r\) o\(\ s\) será negativo, pero no ambos.
Mira el\(\ b\) término segundo.
- Si el\(\ c\) término es positivo y el término es positivo, entonces ambos\(\ r\) y\(\ s\) son positivos.
- Si el\(\ c\) término es positivo y el\(\ b\) término es negativo, entonces ambos\(\ r\) y\(\ s\) son negativos.
- Si el\(\ c\) término es negativo y el\(\ b\) término es positivo, entonces el factor que es positivo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si\(\ |r|>|s|\), entonces\(\ r\) es positivo y\(\ s\) es negativo.
- Si el\(\ c\) término es negativo y el\(\ b\) término es negativo, entonces el factor que es negativo tendrá el mayor valor absoluto. Es decir, si\(\ |r|>|s|\), entonces\(\ r\) es negativo y\(\ s\) es positivo.
Después de haber factorizado una serie de trinomios en la forma\(\ x^{2}+b x+c\), puede notar que los números para los que se identifica\(\ r\) y\(\ s\) terminan siendo incluidos en la forma factorizada del trinomio. Echa un vistazo a la siguiente tabla, que revisa los tres problemas que has visto hasta ahora.
| Trinomio | \(\ x^{2}+\mathbf{7 x}+\mathbf{1 0}\) | \(\ x^{2}+\mathbf{5 x}+\mathbf{6}\) | \(\ x^{2}+\mathbf{x}-\mathbf{1 2}\) |
| \(\ \boldsymbol{r}\)y\(\ \boldsymbol{s}\) valores | \(\ r=+5, s=+2\) | \(\ r=+2, s=+3\) | \(\ r=+4, s=-3\) |
| Forma factorizada | \(\ (x+5)(x+2)\) | \(\ (x+2)(x+3)\) | \(\ (x+4)(x-3)\) |
Observe que en cada uno de estos ejemplos, los\(\ s\) valores\(\ r\) y se repiten en la forma factorizada del trinomio.
Entonces, ¿qué significa esto? Significa que en trinomios de la forma\(\ x^{2}+b x+c\) (donde el coeficiente delante de\(\ x^{2}\) es 1), si puedes identificar los\(\ s\) valores correctos\(\ r\) y, efectivamente puedes saltarte los pasos de agrupación e ir directamente a la forma factorizada. Es posible que desee seguir con el método de agrupación hasta que se sienta cómodo factorizando, pero este es un atajo aseado para conocer!
Jess está tratando de usar el método de agrupación para factorizar el trinomio\(\ v^{2}-10 v+21\). ¿Cómo debería reescribir el\(\ b\) término central,\(\ -10 v\)?
- \(\ +7 v+3 v\)
- \(\ -7 v-3 v\)
- \(\ -7 v+3 v\)
- \(\ +7 v-3 v\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Debido a que el\(\ c\) término es positivo y el\(\ b\) término es negativo, ambos términos deben ser negativos. (Observe que usando los enteros 7 y 3,\(\ 7+3=+10\), por lo que esto proporcionaría el término\(\ 10 v\) en lugar de\(\ -10 v\).) La respuesta correcta es\(\ -7 v-3 v\).
- Correcto. Debido a que el\(\ c\) término es positivo y el\(\ b\) término es negativo, ambos términos deben ser negativos. Check: usando los enteros -7 y -3,\(\ -7+-3=-10\) y\(\ -7 \cdot-3=21\), así esto proporciona ambos términos\(\ -10 v\) y 21 correctamente.
- Incorrecto. Debido a que el\(\ c\) término es positivo y el\(\ b\) término es negativo, ambos términos deben ser negativos. (Observe que usando los enteros -7 y 3,\(\ -7+3=-4\) y\(\ -7 \cdot 3=-21\), así esto proporcionaría\(\ -4 v\) en lugar de\(\ -10 v\) y -21 en lugar de 21.) La respuesta correcta es\(\ -7 v-3 v\).
- Incorrecto. Debido a que el\(\ c\) término es positivo y el\(\ b\) término es negativo, ambos términos deben ser negativos. (Observe que usando los enteros 7 y -3,\(\ 7+-3=4\) y\(\ 7 \cdot-3=-21\), así esto proporcionaría el término\(\ 4 v\) en lugar de\(\ -10 v\) y -21 en lugar de 21.) La respuesta correcta es\(\ -7 v-3 v\).
Identificar factores comunes
No todos los trinomios parecen\(\ x^{2}+5 x+6\), donde el coeficiente frente al\(\ x^{2}\) término es 1. En estos casos, tu primer paso debería ser buscar factores comunes para los tres términos.
| Trinomio | Factor común de desactivación | Factorizado |
| \(\ 2 x^{2}+10 x+12\) | \(\ 2\left(x^{2}+5 x+6\right)\) | \(\ 2(x+2)(x+3)\) |
| \(\ -5 a^{2}-15 a-10\) | \(\ -5\left(a^{2}+3 a+2\right)\) | \(\ -5(a+2)(a+1)\) |
| \(\ c^{3}-8 c^{2}+15 c\) | \(\ c\left(c^{2}-8 c+15\right)\) | \(\ c(c-5)(c-3)\) |
| \(\ y^{4}-9 y^{3}-10 y^{2}\) | \(\ y^{2}\left(y^{2}-9 y-10\right)\) | \(\ y^{2}(y-10)(y+1)\) |
Observe que una vez que haya identificado y sacado el factor común, puede factorizar el trinomio restante como de costumbre. Este proceso se muestra a continuación.
Factor\(\ 3 x^{3}-3 x^{2}-90 x\).
Solución
| \(\ 3\left(x^{3}-x^{2}-30 x\right)\) | Dado que 3 es un factor común para los tres términos, factorizar el 3. |
| \(\ 3 x\left(x^{2}-x-30\right)\) |
\(\ x\)es también un factor común. Factorizar hacia fuera\(\ x\). Ahora puedes factorizar el trinomio\(\ x^{2}-x-30\). Encontrar\(\ r\) y\(\ s\), identificar dos números cuyo producto sea -30 y cuya suma sea -1. |
| \(\ 3 x\left(x^{2}-6 x+5 x-30\right)\) | El par de factores es -6 y 5. Así que reemplace\(\ -x\) con\(\ -6 x+5 x\). |
| \(\ 3 x\left[\left(x^{2}-6 x\right)+(5 x-30)\right]\) | Utilice la agrupación para considerar los términos en pares. |
| \(\ 3 x[(x(x-6)+5(x-6)]\) | Factor\(\ x\) del primer grupo y factor 5 del segundo grupo. |
| \(\ 3 x(x-6)(x+5)\) | Después factorizar\(\ x-6\). |
\(\ 3 x(x-6)(x+5)\)
Factorización de Trinomios:\(\ a x^{2}+b x+c\)
La forma general de trinomios con un coeficiente principal de a es\(\ a x^{2}+b x+c\). A veces el factor de\(\ a\) puede ser factorizado como viste anteriormente; esto sucede cuando a se puede factorizar de los tres términos. El trinomio restante que aún necesita factorización será entonces más sencillo, siendo el término principal solo un\(\ x^{2}\) término, en lugar de un\(\ a x^{2}\) término.
No obstante, si los coeficientes de los tres términos de un trinomio no tienen un factor común, entonces necesitarás factorizar el trinomio con un coeficiente de algo que no sea 1.
Para factorizar un trinomio en la forma\(\ a x^{2}+b x+c\), encontrar dos enteros,\(\ r\) y\(\ s\), cuya suma es\(\ b\) y cuyo producto es\(\ ac\). Reescribe el trinomio como\(\ a x^{2}+r x+s x+c\) y luego usa agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
Esto es casi lo mismo que factorizar trinomios en la forma\(\ x^{2}+b x+c\), como en esta forma\(\ a=1\). Ahora buscas dos factores cuyo producto es\(\ a \cdot c\), y cuya suma es\(\ b\).
Veamos cómo funciona esta estrategia factorizando\(\ 6 z^{2}+11 z+4\).
En este trinomio,\(\ a=6\),\(\ b=11\), y\(\ c=4\). Según la estrategia, es necesario encontrar dos factores,\(\ r\) y\(\ s\), cuya suma es\(\ b(11)\) y cuyo producto es\(\ a c(\text { or } 6 \cdot 4=24)\). Se puede hacer un gráfico para organizar las posibles combinaciones de factores. (Observe que este gráfico sólo tiene números positivos. Dado que\(\ a c\) es positivo y\(\ b\) es positivo, puedes estar seguro de que los dos factores que estás buscando también son números positivos.)
| Factores cuyo producto es 24 | Suma de los factores |
| \(\ 1 \cdot 24=24\) | \(\ 1+24=25\) |
| \(\ 2 \cdot 12=24\) | \(\ 2+12=14\) |
| \(\ 3 \cdot 8=24\) | \(\ 3+8=11\) |
| \(\ 4 \cdot 6=24\) | \(\ 4+6=10\) |
Sólo hay una combinación donde el producto es 24 y la suma es 11, y es cuando\(\ r=3\) y\(\ s=8\). Usemos estos valores para factorizar el trinomio original.
Factor\(\ 6 z^{2}+11 z+4\).
Solución
| \(\ 6 z^{2}+3 z+8 z+4\) | Reescribir el término medio,\(\ 11z\), como\(\ 3 z+8 z\) (de la tabla anterior.) |
| \(\ \left(6 z^{2}+3 z\right)+(8 z+4)\) | Pares grupales. Utilice la agrupación para considerar los términos en pares. |
| \(\ 3 z(2 z+1)+4(2 z+1)\) | Factor\(\ 3 z\) fuera del primer grupo y 4 del segundo grupo. |
| \(\ (2 z+1)(3 z+4)\) | Factorizar hacia fuera\(\ (2 z+1)\). |
\(\ (2 z+1)(3 z+4)\)
Antes de ir más lejos, vale la pena mencionar que no todos los trinomios se pueden factorizar usando pares enteros. Tomemos el trinomio\(\ 2 z^{2}+35 z+7\), por ejemplo. ¿Se te ocurren dos enteros cuya suma es\(\ b(35)\) y cuyo producto es\(\ a c(2 \cdot 7=14)\)? ¡No hay ninguno! Este tipo de trinomio, que no se puede factorizar usando números enteros, se llama trinomio primo.
Factor\(\ 3 x^{2}+x-2\).
- \(\ (3 x+2)(x-1)\)
- \(\ (3 x-2)(x+1)\)
- \(\ (3 x+1)(x-2)\)
- \(\ (3 x-1)(x+2)\)
- Contestar
-
- Incorrecto. \(\ (3 x+2)(x-1)\)tiene un producto de\(\ 3 x^{2}-x-2\); busque dos números cuyo producto sea -6 y cuya suma sea +1. Entonces usa esos números para factorizar por agrupación. La respuesta correcta es\(\ (3 x-2)(x+1)\).
- Correcto. El producto de\(\ (3 x-2)(x+1)\) es\(\ 3 x^{2}+x-2\).
- Incorrecto. El producto de\(\ (3 x+1)(x-2)\) es\(\ 3 x^{2}-5 x-2\); busque dos números cuyo producto sea -6 y cuya suma sea +1. Entonces usa esos números para factorizar por agrupación. La respuesta correcta es\(\ (3 x-2)(x+1)\).
- Incorrecto. El producto de\(\ (3 x-1)(x+2)\) es\(\ 3 x^{2}+5 x-2\); busque dos números cuyo producto sea -6 y cuya suma sea +1. Entonces usa esos números para factorizar por agrupación. La respuesta correcta es\(\ (3 x-2)(x+1)\).
Términos Negativos
En algunas situaciones,\(\ a\) es negativo, como en\(\ -4 h^{2}+11 h+3\). A menudo tiene sentido factorizar -1 como primer paso en la factorización, ya que hacerlo cambiará el signo\(\ a x^{2}\) de negativo a positivo, haciendo que el trinomio restante sea más fácil de factorizar.
Factor\(\ -4 h^{2}+11 h+3\)
Solución
| \(\ -1\left(4 h^{2}-11 h-3\right)\) |
Factor -1 fuera del trinomio. Observe que los signos de los tres términos han cambiado. Para factorizar el trinomio, es necesario averiguar cómo reescribir\(\ -11 h\). El producto de\(\ r s=4 \cdot-3=-12\) y la suma de\(\ r s=-11\). |
||||||||
| \(\ -1\left(4 h^{2}-12 h+1 h-3\right)\) |
Reescribir el término medio\(\ -11h\) como\(\ -12 h+1 h\). |
||||||||
| \(\ -1\left[\left(4 h^{2}-12 h\right)+(1 h-3)\right]\) | Términos de grupo. | ||||||||
| \(\ -1[4 h(h-3)+1(h-3)]\) | Factor\(\ 4h\) de salida desde el primer par. El segundo grupo no se puede factorizar más, pero puedes escribirlo como\(\ +1(h-3)\) desde entonces\(\ +1(h-3)=(h-3)\). Esto ayuda a factorizar en el siguiente paso. | ||||||||
| \(\ -1[(h-3)(4 h+1)]\) | Factorizar un factor común de\(\ (h-3)\). Observe que se queda con\(\ (h-3)(4 h+1)\); el\(\ +1\) viene del término\(\ +1(h-3)\) en el paso anterior. |
\(\ -1(h-3)(4 h+1)\)
Tenga en cuenta que la respuesta anterior también se puede escribir como\(\ (-h+3)(4 h+1)\) o\(\ (h-3)(-4 h-1)\) si\(\ -1\) multiplicas por uno de los otros factores.
Resumen
Los trinomios en la forma se\(\ x^{2}+b x+c\) pueden factorizar encontrando dos enteros,\(\ r\) y\(\ s\), cuya suma es\(\ b\) y cuyo producto es\(\ c\). Reescribe el trinomio como\(\ x^{2}+r x+s x+c\) y luego usa agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
Cuando un trinomio está en forma de\(\ a x^{2}+b x+c\), donde\(\ a\) es un coeficiente distinto de 1, busque primero los factores comunes para los tres términos. Primero factorizar el factor común, luego factorizar el trinomio más simple restante. Si el trinomio restante sigue siendo de la forma\(\ a x^{2}+b x+c\), encuentra dos enteros,\(\ r\) y\(\ s\), cuya suma es\(\ b\) y cuyo producto es\(\ ac\). Luego reescribe el trinomio como\(\ a x^{2}+r x+s x+c\) y usa agrupación y la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.
Cuando\(\ a x^{2}\) es negativo, se puede factorizar -1 de todo el trinomio antes de continuar.