16.1.1: Raíces

Objetivos de aprendizaje

• Encuentra las raíces cuadradas principales y sus opuestos.
• Aproximar raíces cuadradas y encontrar raíces exactas con una calculadora.

Introducción

Probablemente has tratado con las raíces de las plantas y los árboles cuando se trabaja en jardinería, pero ¿sabías que también hay raíces en las matemáticas?

Sí, las raíces sí existen en las matemáticas. La raíz más común es la raíz cuadrada. Echemos un vistazo a qué son las raíces, cómo se relacionan con los exponentes y cómo encuentras la raíz cuadrada de un número.

Cuadrados y Raíces

Para ayudar a entender las raíces cuadradas, revisemos algunos datos sobre los exponentes. Mira la tabla a continuación.

Exponente	Nombre	Forma expandida
\(\ 3^{2}\)	“Tres al cuadrado” “Tres al segundo poder”	\(\ 3 \cdot 3\)
\(\ 4^{5}\)	“Cuatro a la quinta potencia” “Cuatro a la quinta” “Cuatro levantados al poder de cinco”	\(\ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\)
\(\ x^{3}\)	“en\(\ x\) cubos” “\(\ x\)al tercer poder” “\(\ x\)a la tercera”	\(\ x \cdot x \cdot x\)
\(\ x^{n}\)	“\(\ x\)al poder\(\ n\) th” “\(\ x\)a la\(\ n\) th” “\(\ x\)al poder de\(\ n\)”	\(\ x \cdot x \cdot x_{\ldots} \cdot x\)n veces

Se puede pensar en los números exponenciales como “multiplicación repetida”.

Así como dividir es la inversa de multiplicar, la inversa de elevar un número a una potencia está tomando la raíz de un número. La raíz más común (y la que vas a estudiar aquí) se llama raíz cuadrada. Cuando intentas encontrar la raíz cuadrada de un número (digamos, 25), estás tratando de encontrar un número que pueda multiplicarse por sí mismo para crear ese número original. En el caso de 25, se puede encontrar eso\(\ 5 \cdot 5=25\), por lo que 5 debe ser la raíz cuadrada.

El símbolo de la raíz cuadrada se llama símbolo radical y se ve así:\(\ \sqrt{ \quad}\). La expresión\(\ \sqrt{25}\) se lee “la raíz cuadrada de veinticinco” o “veinticinco radicales”. El número que se escribe bajo el símbolo radical se llama radicando. Echa un vistazo a la siguiente tabla.

Radical	Nombre	Formulario simplificado
\(\ \sqrt{36}\)	“Raíz cuadrada de treinta y seis” “Radical treinta y seis”	\(\ \sqrt{36}=\sqrt{6 \cdot 6}=6\)
\(\ \sqrt{100}\)	“Raíz cuadrada de cien” “Radical cien”	\(\ \sqrt{100}=\sqrt{10 \cdot 10}=10\)
\(\ \sqrt{225}\)	“Raíz cuadrada de doscientos veinticinco” “Radical doscientos veinticinco”	\(\ \sqrt{225}=\sqrt{15 \cdot 15}=15\)

Mirar de\(\ \sqrt{25}\) nuevo. Puede darse cuenta de que hay otro valor que, al multiplicarse por sí mismo, también resulta en 25. Ese número es -5.

\ (\\ begin {array} {c}
5\ cdot 5=25\\
-5\ cdot-5=25
\ end {array}\)

Por definición, el símbolo de raíz cuadrada siempre significa encontrar la raíz positiva, llamada raíz principal. Entonces mientras\(\ 5 \cdot 5\) y\(\ -5 \cdot-5\) ambos iguales 25, solo 5 es la raíz principal. También debes saber que el cero es especial porque solo tiene una raíz cuadrada: sí mismo (desde\(\ 0 \cdot 0=0\)).

Si conoces la raíz cuadrada principal, también puedes encontrar su opuesto. (Recordemos que cualquier número más su opuesto será igual a 0. Entonces, por ejemplo,\(\ a+(-a)=0\).) En la siguiente tabla, observe que si bien\(\ \sqrt{x}\) dará la raíz principal,\(\ \sqrt{-x}\) dará su opuesto. Por ejemplo,\(\ \sqrt{36}\) es igual a la raíz cuadrada principal, 6, e\(\ -\sqrt{36}\) igual a su opuesta, -6.

Radical	Raíz Principal	Radical Opuesto	Raíz opuesta
\(\ \sqrt{36}\)	\(\ \sqrt{6 \cdot 6}=6\)	\(\ -\sqrt{36}\)	\(\ -\sqrt{6 \cdot 6}=-6\)
\(\ \sqrt{100}\)	\(\ \sqrt{10 \cdot 10}=10\)	\(\ -\sqrt{100}\)	\(\ -\sqrt{10 \cdot 10}=-10\)
\(\ \sqrt{225}\)	\(\ \sqrt{15 \cdot 15}=15\)	\(\ -\sqrt{225}\)	\(\ -\sqrt{15 \cdot 15}=-15\)

Ahí lo tienes: poner un signo negativo frente a un radical tiene el efecto de convertir la raíz principal en su opuesta (la raíz cuadrada negativa del radicando).

Entonces ahora has revisado exponentes, y te han introducido las raíces cuadradas. ¿Cómo te ayuda saber sobre uno a entender al otro?

Los exponentes y las raíces están conectados porque las raíces se pueden expresar como exponentes fraccionarios. Por ahora, veamos la conexión entre el exponente “\(\ \frac{1}{2}\)” y las raíces cuadradas; aprenderás sobre otros exponentes fraccionarios y otras raíces más adelante. La raíz cuadrada de un número se puede mostrar usando el símbolo radical o elevando el número a la\(\ \frac{1}{2}\) potencia. Esto se ilustra en la siguiente tabla.

Forma de exponente	Forma Raíz	Raíz de un cuadrado	Simplificado
\(\ 25^{\frac{1}{2}}\)	\(\ \sqrt{25}\)	\(\ \sqrt{5^{2}}\)	\(\ 5\)
\(\ 16^{\frac{1}{2}}\)	\(\ \sqrt{16}\)	\(\ \sqrt{4^{2}}\)	\(\ 4\)
\(\ 100^{\frac{1}{2}}\)	\(\ \sqrt{100}\)	\(\ \sqrt{10^{2}}\)	\(\ 10\)

El cuadrado de 4 es 16 porque 4 veces 4 es igual a 16. Recuerda de tu trabajo con exponentes que esto también se puede escribir como\(\ 4^{2}=16\).

Pensando de esta manera, se puede identificar que la raíz cuadrada de 9 es 3 porque\(\ 3 \cdot 3=9\). De igual manera, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque\(\ 5 \cdot 5=25\), y la raíz cuadrada de\(\ x^{2}\) es\(\ x\) desde\(\ x \cdot x=x^{2}\). Por ejemplo,\(\ \sqrt{7^{2}}=7\). (A menudo verás este tipo de notación, donde tomas la raíz cuadrada de un número cuadrado, cuando simplificas, multiplicas y divides radicales).

Simplificando las raíces cuadradas

Las raíces cuadradas y los exponentes están conectados. Téngalo en mente a medida que empiece a simplificar algunas raíces cuadradas.

Este primer ejemplo, “Simplificar”\(\ \sqrt{144}\), se puede leer “Simplificar la raíz cuadrada de 144”. Piensa en un número que, al multiplicarse por sí mismo, tiene un producto de 144.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{144}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {144}\\ \ sqrt {12\ cdot 12} \ end {array}\)	Determinar qué número multiplicado por sí mismo tiene un producto de 144.
\(\ 12\)	La raíz cuadrada de 144 es 12.

\(\ \sqrt{144}=12\)

Ejemplo

Simplificar. \(\ -\sqrt{81}\)

Solución

\(\ -\sqrt{81}\)	El símbolo radical actúa como un signo de agrupación.
\(\ -\sqrt{9 \cdot 9}\)	El negativo al frente significa tomar lo contrario del valor después de simplificar el radical.
\(\ -(9)\)	La raíz cuadrada de 81 es 9. Después, toma lo contrario de 9.

\(\ -\sqrt{81}=-9\)

No obstante, si el signo negativo está bajo el radical como en\(\ \sqrt{-49}\), no hay forma de simplificarlo usando números reales. Eso se debe a que no hay número que pudieras multiplicar por sí mismo para obtener -49. Recuerde, un número negativo multiplicado por un número negativo resulta en un número positivo:\(\ -7 \cdot-7=49\).

Si es difícil encontrar la raíz cuadrada por ensayo y error, puede usar lo que sabe sobre la factorización para ayudarle a determinar la raíz principal.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{144}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {144}\ \ sqrt {2\ cdot72}\\ \ sqrt {2\ cdot2\ cdot36}\\ \ sqrt {2\ cdot2\ cdot2\ cdot18}\\\ sqrt {2\ cdot2\ cdot2\ cdot2\ cdot2\ cdot9}\ \ sqrt {2\ cdot2\ cdot2\ cdot2\ cdot3\ cdot3} \ end {array}\)	Determinar los factores primos de 144.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {(2\ cdot 2\ cdot 3) (2\ cdot 2\ cdot 3)}\\ \ sqrt {12\ cdot 12}\\ \ sqrt {12^ {2}} \ end {array}\)	Reagrupar estos factores en dos grupos idénticos. Recordemos que la raíz cuadrada de un número cuadrado es el número en sí. Aquí,\(\ \sqrt{12^{2}}=12\).

\(\ \sqrt{144}=12\)

Observe algo que sucedió en el paso final de este ejemplo: la expresión\(\ \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\) fue reescrita como\(\ \sqrt{12 \cdot 12}\), y luego\(\ \sqrt{12^{2}}\). Divides los factores en agrupaciones idénticas, los multiplicas y llegas a un número cuadrado.

Muchas veces, sin embargo, es más fácil identificar pares de factores después de haber pasado por el proceso de factorizar el radical original. Por ejemplo, mira de\(\ \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\) nuevo. ¿Cuántos pares de\(\ (2 \cdot 2)\) ves? ¿Y qué pasa\(\ (3 \cdot 3)\)? Si de alguna manera pudieras identificar números cuadrados más pequeños debajo del radical en lugar de recombinar todos los factores (como lo hiciste cuando lo encontraste\(\ \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}=\sqrt{12 \cdot 12})\)), podrías simplificar los radicales más rápidamente.

Aquí es donde ayuda pensar en las raíces como exponentes fraccionarios. Recuerda el Producto Elevado a una Regla de Poder de cuando estudiaste exponentes. Esta regla establece que el producto de dos o más números distintos de cero elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia. En términos matemáticos, está escrito\(\ (a b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}\). Entonces, por ejemplo, puedes usar la regla para reescribir\(\ (3 x)^{2}\) como\(\ 3^{2} \cdot x^{2}=9 \cdot x^{2}=9 x^{2}\).

Ahora en lugar de usar el exponente 2, usemos el exponente\(\ \frac{1}{2}\). El exponente se distribuye de la misma manera.

\(\ (3 x)^{\frac{1}{2}}=(3)^{\frac{1}{2}} \cdot(x)^{\frac{1}{2}}\)

Y como sabes que elevar un número al\(\ \frac{1}{2}\) poder es lo mismo que tomar la raíz cuadrada de ese número, también puedes escribirlo de esta manera.

\(\ \sqrt{3 x}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{x}\)

Se puede pensar en cualquier número debajo de un radical como el producto de factores separados, cada uno debajo de su propio radical. El uso de esta idea te ayuda a identificar números cuadrados más pequeños, lo que a menudo te permite simplificar los radicales más rápidamente.

Un producto elevado a una regla de poder

o a veces llamado

La raíz cuadrada de una regla de producto

Para cualquier número\(\ a\) y\(\ b\),\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)

Por ejemplo:\(\ \sqrt{100}=\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}\), y\(\ \sqrt{75}=\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}\)

Esta regla es importante porque te ayuda a pensar en un radical como producto de múltiples radicales. Si puedes identificar cuadrados perfectos dentro de un radical, como con\(\ \sqrt{(2 \cdot 2)(2 \cdot 2)(3 \cdot 3)}\), puedes reescribir la expresión como producto de múltiples cuadrados perfectos:\(\ \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}}\). Echemos otro vistazo al\(\ \sqrt{144}\) uso de esta nueva idea.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{144}\)

Solución

\(\ \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}\)	Determinar los factores primos de 144.
\(\ \sqrt{(2 \cdot 2) \cdot(2 \cdot 2) \cdot(3 \cdot 3)}\)	Agrupe factores similares en pares.
\(\ \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}}\)	Reescribir como cuadrados.
\(\ \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}}\)	Usando la regla Product Raied to a Power, reescribe como un producto de radicales individuales.
\(\ 2 \cdot 2 \cdot 3\)	Simplifica cada radical, luego multiplica.

\(\ \sqrt{144}=12\)

Obtienes la misma solución en ambos casos, pero a menudo es más fácil sacar pares de factores más pequeños y luego multiplicarlos juntos (como se muestra aquí) que recombinar todos los factores para encontrar la raíz completa (como se muestra en el primer ejemplo).

Ejercicio

Simplificar. \(\ \sqrt{324}\)

1. 16
2. 18
3. 21
4. 162

Contestar

1. Incorrecto. \(\ 16^{2}=256\). Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factor 324 y buscar pares de factores comunes. Si\(\ \sqrt{324}\) factorizas, lo encontrarás\(\ \sqrt{324}=\sqrt{9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 2}=\sqrt{18 \cdot 18}\). 324 también se puede escribir como\(\ 18^{2}\). La respuesta correcta es 18.
2. Correcto. \(\ \sqrt{324}=18\). Si\(\ \sqrt{324}\) factorizas, lo encontrarás\(\ \sqrt{324}=\sqrt{9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 2}=\sqrt{18 \cdot 18}\). 324 también se puede escribir como\(\ 18^{2}\).
3. Incorrecto. \(\ 21^{2}=441\). Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factor 324 y buscar pares de factores comunes. Si\(\ \sqrt{324}\) factorizas, lo encontrarás\(\ \sqrt{324}=\sqrt{9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 2}=\sqrt{18 \cdot 18}\). 324 también se puede escribir como\(\ 18^{2}\). La respuesta correcta es 18.
4. Incorrecto. \(\ 162^{2}=26,244\). Dividir 324 por 2 no dará como resultado la raíz cuadrada del número; intente factorizar 324 y buscar pares de factores comunes. Si\(\ \sqrt{324}\) factorizas, lo encontrarás\(\ \sqrt{324}=\sqrt{9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 2}=\sqrt{18 \cdot 18}\). 324 también se puede escribir como\(\ 18^{2}\). La respuesta correcta es 18.

Simplificación de las raíces cuadradas por factorización

Hasta el momento, has visto ejemplos que son cuadrados perfectos. Es decir, cada uno es un número cuya raíz cuadrada es un entero. Pero muchas expresiones radicales no son cuadrados perfectos. Algunos de estos radicales aún pueden simplificarse encontrando factores cuadrados perfectos. El siguiente ejemplo ilustra cómo factorizar el radicando, buscando pares de factores que puedan expresarse como un poder.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{63}\)

Solución

\(\ \sqrt{7 \cdot 9}\)	Factor 63 en 7 y 9.
\(\ \sqrt{7 \cdot 3 \cdot 3}\)	Factor 9 más adelante en 3 y 3.
\(\ \sqrt{7 \cdot 3^{2}}\)	Reescribir\(\ 3 \cdot 3\) como\(\ 3^{2}\).
\(\ \sqrt{7} \cdot \sqrt{3^{2}}\)	Usando la regla de Producto Elevado a Poder, separe el radical en el producto de dos factores, cada uno bajo un radical.
\(\ \sqrt{7} \cdot 3\)	Toma la raíz cuadrada de\(\ 3^{2}\).
\(\ 3 \cdot \sqrt{7}\)	Reorganice los factores para que el entero aparezca antes del radical, y luego multiplique. (Esto se hace para que quede claro que sólo el 7 está bajo el radical, no el 3.)

\(\ \sqrt{63}=3 \sqrt{7}\)

La respuesta final\(\ 3 \sqrt{7}\) puede parecer un poco extraña, pero está en forma simplificada. Se puede leer esto como “tres radicales siete” o “tres veces la raíz cuadrada de siete”.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{2,000}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {100\ cdot 20}\\ \ sqrt {100\ cdot 4\ cdot 5} \ end {array}\)	Factor 2,000 para encontrar cuadrados perfectos. Continuar factorizando hasta que se identifiquen todos los cuadrados perfectos.
\(\ \sqrt{10 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}\)	Factor 100 como\(\ 10 \cdot 10\) y 4 como\(\ 2 \cdot 2\).
\(\ \sqrt{10^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5}\)	Reescribir\(\ 10 \cdot 10\) como\(\ 10^{2}\) y\(\ 2 \cdot 2\) como\(\ 2^{2}\).
\(\ \sqrt{10^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5}\)	Usando la regla Producto Elevado a un Poder, reescribe el radical como producto de tres factores, cada uno bajo un radical.
\(\ 10 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}\)	Toma la raíz cuadrada de\(\ 10^{2}\) y\(\ 2^{2}\).
\(\ 20 \cdot \sqrt{5}\)	Multiplicar.

\(\ \sqrt{2,000}=20 \sqrt{5}\)

Aproximación y Cálculo de Raíces Cuadradas

Otro enfoque para manejar raíces cuadradas que no son cuadrados perfectos es aproximarlas comparando los valores con cuadrados perfectos. Supongamos que quisieras conocer la raíz cuadrada del 17. Veamos cómo podrías aproximarlo.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{17}\)

Solución

17 está entre las plazas perfectas 16 y 25. Entonces,\(\ \sqrt{17}\) debe estar en el medio\(\ \sqrt{16}\) y\(\ \sqrt{25}\). \(\ \sqrt{16}=4\)y\(\ \sqrt{25}=5\)	Piensa en dos cuadrados perfectos que rodean a 17.
Dado que 17 está más cerca de 16 que 25,\(\ \sqrt{17}\) es probablemente alrededor de 4.1 o 4.2.	Determinar si\(\ \sqrt{17}\) está más cerca de 4 o de 5 y hacer otra estimación.
\ (\\ begin {array} {l} 4.1\ cdot 4.1=16.81\\ 4.2\ cdot 4.2=17.64 \ end {array}\)	Utilice prueba y error para obtener una mejor estimación de\(\ \sqrt{17}\). Intente cuadrar números incrementalmente mayores, comenzando con 4.1, para encontrar una buena aproximación para\(\ \sqrt{17}\).
	\(\ (4.1)^{2}\)da una estimación más cercana que\(\ (4.2)^{2}\).
\ (\\ begin {array} {l} 4.12\ cdot 4.12=16.9744\\ 4.13\ cdot 4.13=17.0569 \ end {array}\)	Continúe usando prueba y error para obtener una estimación aún mejor.

\(\ \sqrt{17} \approx 4.12\)

Esta aproximación es bastante cercana. Si seguías usando esta estrategia de prueba y error, podrías seguir encontrando la raíz cuadrada a los lugares milésimas, diez milésimas y centésimos milésimas, pero eventualmente se volvería demasiado tedioso para hacerlo a mano.

Por esta razón, cuando necesites encontrar una aproximación más precisa de una raíz cuadrada, debes usar una calculadora. La mayoría de las calculadoras tienen una clave de raíz cuadrada\(\ (\sqrt{\quad})\) que le dará la aproximación de raíz cuadrada rápidamente. En una calculadora simple de 4 funciones, probablemente ingresaría el número del que desea tomar la raíz cuadrada y luego presione la tecla de raíz cuadrada.

Intenta encontrar\(\ \sqrt{17}\) usando tu calculadora. Tenga en cuenta que no podrá obtener una respuesta “exacta” porque\(\ \sqrt{17}\) es un número irracional, un número que no se puede expresar como fracción, y el decimal nunca termina ni se repite. A nueve posiciones decimales,\(\ \sqrt{17}\) se aproxima como 4.123105626. Una calculadora puede ahorrar mucho tiempo y producir una raíz cuadrada más precisa cuando se trata de números que no son cuadrados perfectos.

Ejemplo

Aproximar\(\ \sqrt{50}\) y encontrar también su valor usando una calculadora.

Solución

50 está entre las plazas perfectas 49 y 64. \(\ \sqrt{49}=7\)y\(\ \sqrt{64}=8\), así\(\ \sqrt{50}\) es entre 7 y 8.	Encuentra las plazas perfectas que rodean a 50.
49 y 50 están cerca, por lo que\(\ \sqrt{50}\) es sólo un poco mayor que 7. \(\ 7.1 \cdot 7.1=50.41\) Dado que 50.41 es mayor a 50, la estimación debe estar entre 7 y 7.1.	Usando el sentido numérico y el ensayo y error, intente cuadrar números incrementalmente mayores, comenzando con 7.1, para encontrar una buena aproximación para\(\ \sqrt{50}\).
Ya que 50 está más cerca de 50.41 que de 49, prueba 7.07. \(\ 7.07 \cdot 7.07=49.9849\)	Utilice el razonamiento para obtener una estimación al lugar centésimas.
\(\ \sqrt{50} \approx 7.071067812\)	Usa una calculadora.

Por aproximación:\(\ \sqrt{50} \approx 7.07\)

Usando una calculadora:\(\ \sqrt{50} \approx 7.071067812\)

Resumen

La raíz cuadrada de un número es el número que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número original. Las raíces cuadradas principales son siempre positivas y la raíz cuadrada de 0 es 0. Sólo se puede tomar la raíz cuadrada de valores que sean mayores o iguales a 0. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto será un entero. Otras raíces cuadradas pueden simplificarse identificando factores que son cuadrados perfectos y tomando su raíz cuadrada. Las raíces cuadradas se pueden aproximar usando prueba y error o una calculadora.