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16.2.2: Sumando y restando radicales

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    Objetivos de aprendizaje
    • Agrega radicales y simplifica.
    • Restar radicales y simplificar.

    Introducción

    Hay dos claves para combinar radicales por suma o resta: mirar el índice y mirar el radicando. Si estos son los mismos, entonces son posibles sumar y restar. Si no, entonces no se pueden combinar los dos radicales.

    Dar sentido a una cadena de radicales puede ser difícil. Un consejo útil es pensar en los radicales como variables, y tratarlos de la misma manera. Empecemos por ahí.

    Pensando en los radicales como variables

    Los radicales pueden parecer confusos cuando se presentan en una cadena larga, como en\(\ 3+\sqrt{5}+\sqrt{7}+2+6 \sqrt{5}\). ¿Cómo simplificas esta expresión? (Vale la pena señalar que no suele ver radicales presentados de esta manera, ¡pero es una forma útil de introducir sumar y restar radicales!)

    Tratar los radicales de la misma manera que tratas las variables suele ser un lugar útil para comenzar. Por ejemplo, no tendrías ningún problema para simplificar la expresión a continuación.

    \(\ 3+a+b+2+6 a\)

    Combinando términos similares, puedes encontrar rápidamente eso\(\ 3+2=5\) y\(\ a+6 a=7 a\). La expresión se puede simplificar a\(\ 5+7 a+b\).

    Lo mismo ocurre con los radicales. Siempre y cuando los radicales tengan el mismo radicando (expresión bajo el signo radical) e índice (raíz), se pueden combinar. A continuación, se evalúan las dos expresiones.

    \(\ 3+\sqrt{5}+\sqrt{7}+2+6 \sqrt{5}\)
    \(\ 3+2+\sqrt{5}+6 \sqrt{5}+\sqrt{7}\)
    \(\ 5+7 \sqrt{5}+\sqrt{7}\)
    \(\ 3+a+b+2+6 a\)
    \(\ 3+2+a+6 a+b\)
    \(\ 5+7 a+b\)

    Aquí hay otra forma de pensarlo. Recordemos que los radicales son solo una forma alternativa de escribir exponentes fraccionarios. Entonces, por ejemplo,\(\ 8^{\frac{1}{2}}=\sqrt{8}\), y\(\ y^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{y}\). Si piensas en los radicales en términos de exponentes, entonces se aplican todas las reglas regulares de los exponentes.

    Mira las expresiones a continuación. En la parte superior, la expresión está escrita en términos de radicales. En la parte inferior, la expresión se escribe en términos de exponentes.

    \(\ 3+\sqrt{5}+\sqrt{7}+2+6 \sqrt{5}\)
    \(\ 3+2+\sqrt{5}+6 \sqrt{5}+\sqrt{7}\)
    \(\ 5+7 \sqrt{5}+\sqrt{7}\)
    \(\ 3+5^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{2}}+2+6\left(5^{\frac{1}{2}}\right)\)
    \(\ 3+2+5^{\frac{1}{2}}+6\left(5^{\frac{1}{2}}\right)+7^{\frac{1}{2}}\)
    \(\ 5+7\left(5^{\frac{1}{2}}\right)+7^{\frac{1}{2}}\)

    Entonces, ¿qué significa todo esto? Bueno, la conclusión es que si necesitas combinar radicales sumando o restando, asegúrate de que tengan el mismo radicando y raíz. Y si las cosas se ponen confusas, o si solo quieres verificar que las estás combinando correctamente, siempre puedes usar lo que sabes sobre las variables y las reglas de los exponentes para ayudarte.

    Añadiendo Radicales

    Veamos algunos ejemplos. En este primer ejemplo, ambos radicales tienen la misma raíz e índice.

    Ejemplo

    Agregar. \(\ 3 \sqrt{11}+7 \sqrt{11}\)

    Solución

    \(\ 3 \sqrt{11}+7 \sqrt{11}\) Los dos radicales son iguales,\(\ \sqrt{11}\). Esto significa que puedes combinarlos como combinarías los términos\(\ 3 a+7 a\).

    \(\ 3 \sqrt{11}+7 \sqrt{11}=10 \sqrt{11}\)

    Este siguiente ejemplo contiene más adiciones. Observe cómo puede combinar términos similares (radicales que tienen la misma raíz e índice) pero no puede combinar a diferencia de términos.

    Ejemplo

    Agregar. \(\ 5 \sqrt{2}+\sqrt{3}+4 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}\)

    Solución

    \(\ 5 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+4 \sqrt{3}\) Reorganice los términos para que los radicales similares estén uno al lado del otro. A continuación, agregue.

    \(\ 5 \sqrt{2}+\sqrt{3}+4 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}=7 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}\)

    Observe que la expresión en el ejemplo anterior se simplifica aunque tenga dos términos:\(\ 7 \sqrt{2}\) y\(\ 5 \sqrt{3}\). ¡Sería un error tratar de combinarlos aún más! (Algunas personas cometen el error de que\(\ 7 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}=12 \sqrt{5}\). Esto es incorrecto porque\(\ \sqrt{2}\) y no\(\ \sqrt{3}\) son como radicales por lo que no se pueden agregar.)

    Ejemplo

    Agregar. \(\ 3 \sqrt{x}+12 \sqrt[3]{x y}+\sqrt{x}\)

    Solución

    \(\ 3 \sqrt{x}+\sqrt{x}+12 \sqrt[3]{x y}\) Reorganice los términos para que los radicales similares estén uno al lado del otro. A continuación, agregue.

    \(\ 3 \sqrt{x}+12 \sqrt[3]{x y}+\sqrt{x}=4 \sqrt{x}+12 \sqrt[3]{x y}\)

    A veces es posible que necesites agregar y simplificar el radical. Si los radicales son diferentes, intente simplificar primero. Puede terminar siendo capaz de combinar los radicales al final, como se muestra en estos dos ejemplos siguientes.

    Ejemplo

    Agregue y simplifique. \(\ 2 \sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{135}\)

    Solución

    \ (\\ begin {array} {r}
    2\ sqrt [3] {8\ cdot 5} +\ sqrt [3] {27\ cdot 5}\\
    2\ sqrt [3] {(2) ^ {3}\ cdot 5} +\ sqrt [3] {(3) ^ {3}\ cdot 5}\\
    2\ sqrt [3] {(2) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {5} +\ sqrt [3] {(3) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {5}
    \ end { matriz}\)    		 Simplifica cada radical identificando cubos perfectos.
    \(\ 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{5}+3 \cdot \sqrt[3]{5}\) Simplificar.
    \(\ 4 \sqrt[3]{5}+3 \sqrt[3]{5}\) Agregar.

    \(\ 2 \sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{135}=7 \sqrt[3]{5}\)

    Ejemplo

    Agregue y simplifique. \(\ x \sqrt[3]{x y^{4}}+y \sqrt[3]{x^{4} y}\)

    Solución

    \(\ x \sqrt[3]{x \cdot y^{3} \cdot y}+y \sqrt[3]{x^{3} \cdot x \cdot y}\) Simplifica cada radical identificando cubos perfectos.
    \ (\\ comenzar {alineado}
    x\ sqrt [3] {y^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {x y} +y\ sqrt [3] {x^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {x y}\\
    x y\ cdot\ sqrt [3] {x y} +x y\ cdot\ sqrt [3] {x y}\\
    x y\ sqrt [3] {x y} +x y\ sqrt [3] {x y}
    \ final {alineado}\)    		 Agrega como radicales.

    \(\ x \sqrt[3]{x y^{4}}+y \sqrt[3]{x^{4} y}=2 x y \sqrt[3]{x y}\)

    Ejercicio

    Agregar. \(\ 10 \sqrt[3]{4}+4 \sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{3}+4 \sqrt[3]{4}\)

    1. \(\ 14 \sqrt[3]{4}+5 \sqrt[4]{3}\)
    2. \(\ 5 \sqrt[3]{4}+14 \sqrt[4]{3}\)
    3. \(\ 19 \sqrt[3]{7}\)
    4. \(\ 19 \sqrt[4]{3}\)
    Contestar
    1. Correcto. Al agregar expresiones radicales, puede combinar como radicales tal como agregaría variables similares. \(\ 10 \sqrt[3]{4}+4 \sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{3}+4 \sqrt[3]{4}=14 \sqrt[3]{4}+5 \sqrt[4]{3}\).
    2. Incorrecto. Revirtiste los coeficientes y los radicales. La respuesta correcta es\(\ 14 \sqrt[3]{4}+5 \sqrt[4]{3}\).
    3. Incorrecto. Recuerda que no puedes agregar radicales que tengan diferentes números de índice o radicandos. Identifica como radicales en la expresión e intenta agregar de nuevo. La respuesta correcta es\(\ 14 \sqrt[3]{4}+5 \sqrt[4]{3}\).
    4. Incorrecto. Recuerda que no puedes agregar dos radicales que tengan diferentes números de índice o radicandos. Identifica como radicales en la expresión e intenta agregar de nuevo. La respuesta correcta es\(\ 14 \sqrt[3]{4}+5 \sqrt[4]{3}\).

    Restos Radicales

    La resta de radicales sigue el mismo conjunto de reglas y enfoques que la suma: los radicandos y los índices (plural de índice) deben ser los mismos para que se resten dos (o más) radicales. En los tres ejemplos que siguen, la resta ha sido reescrita como suma de lo contrario.

    Ejemplo

    Restar. \(\ 5 \sqrt{13}-3 \sqrt{13}\)

    Solución

    \(\ 5 \sqrt{13}-3 \sqrt{13}\) Los radicandos e índices son los mismos, por lo que estos dos radicales se pueden combinar.

    \(\ 5 \sqrt{13}-3 \sqrt{13}=2 \sqrt{13}\)

    Ejemplo

    Restar. \(\ 4 \sqrt[3]{5 a}-\sqrt[3]{3 a}-2 \sqrt[3]{5 a}\)

    Solución

    \ (\\ begin {array} {l}
    4\ sqrt [3] {5 a} + (-\ sqrt [3] {3 a}) + (-2\ sqrt [3] {5 a})\\
    4\ sqrt [3] {5 a} + (-2\ sqrt [3] {5 a}) + (-\ sqrt [3] {3 a})
    \ end {matriz}\)    		 Dos de los radicales tienen el mismo índice y radicando, por lo que se pueden combinar. Reescribe la expresión para que los radicales similares estén uno al lado del otro.
    \(\ 2 \sqrt[3]{5 a}+(-\sqrt[3]{3 a})\) Combinar. Si bien los índices de\(\ 2 \sqrt[3]{5 a}\) y\(\ -\sqrt[3]{3 a}\) son los mismos, los radicandos no lo son, por lo que no se pueden combinar.

    \(\ 4 \sqrt[3]{5 a}-\sqrt[3]{3 a}-2 \sqrt[3]{5 a}=2 \sqrt[3]{5 a}-\sqrt[3]{3 a}\)

    Ejemplo

    Restar y simplificar. \(\ 5 \sqrt[4]{a^{5} b}-a \sqrt[4]{16 a b}\), donde\(\ a \geq 0\) y\(\ b \geq 0\).

    Solución

    \(\ 5 \sqrt[4]{a^{4} \cdot a \cdot b}-a \sqrt[4]{(2)^{4} \cdot a \cdot b}\) Simplifica cada radical identificando y sacando poderes de 4.
    \ (\\ begin {array} {r}
    5\ cdot a\ sqrt [4] {a\ cdot b} -a\ cdot 2\ sqrt [4] {a\ cdot b}\\
    5 a\ sqrt [4] {a b} -2 a\ sqrt [4] {a b}
    \ end {array}\)

    \(\ 5 \sqrt[4]{a^{5} b}-a \sqrt[4]{16 a b}=3 a \sqrt[4]{a b}\)

    Ejercicio

    Restar y simplificar. \(\ 2 \sqrt{50}-4 \sqrt{8}\)

    1. \(\ -2 \sqrt{3}\)
    2. \(\ -2 \sqrt{42}\)
    3. \(\ 2 \sqrt{2}\)
    4. \(\ 8 \sqrt{2}\)
    Contestar
    1. Incorrecto. Para simplificar, puedes reescribir\(\ 2 \sqrt{50}-4 \sqrt{8}\) como\(\ 2 \sqrt{25 \cdot 2}-4 \sqrt{4 \cdot 2}\). Entonces saca las raíces cuadradas para conseguir\(\ 10 \sqrt{2}-8 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}\). La respuesta correcta es\(\ 2 \sqrt{2}\).
    2. Incorrecto. Recuerda que no puedes combinar dos radicandos a menos que sean iguales. \(\ 50-8=42\), pero\(\ \sqrt{50}-\sqrt{8} \neq \sqrt{42}\). La respuesta correcta es\(\ 2 \sqrt{2}\).
    3. Correcto. Reescribiendo\(\ 2 \sqrt{50}-4 \sqrt{8}\) como\(\ 2 \sqrt{25 \cdot 2}-4 \sqrt{4 \cdot 2}\), lo encontraste\(\ 10 \sqrt{2}-8 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}\).
    4. Incorrecto. Para simplificar, puedes reescribir\(\ 2 \sqrt{50}-4 \sqrt{8}\) como\(\ 2 \sqrt{25 \cdot 2}-4 \sqrt{4 \cdot 2}\). Entonces saca las raíces cuadradas para conseguir\(\ 10 \sqrt{2}-8 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}\). La respuesta correcta es\(\ 2 \sqrt{2}\).

    Resumen

    La combinación de radicales es posible cuando el índice y el radicado de dos o más radicales son iguales. Los radicales con el mismo índice y radicando se conocen como radicales similares. A menudo es útil tratar los radicales tal como tratarías las variables: los radicales similares se pueden sumar y restar de la misma manera que se pueden sumar y restar variables similares. En ocasiones, necesitarás simplificar una expresión radical antes de que sea posible sumar o restar términos similares.

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