16.2.1: Multiplicar y dividir expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplica y simplifica las expresiones radicales que contienen un solo término.
• Divide y simplifica las expresiones radicales que contienen un solo término.

Introducción

Se puede hacer algo más que simplificar expresiones radicales. También puedes multiplicarlos y dividirlos. Puedes usar tus conocimientos de exponentes para ayudarte cuando tengas que operar sobre expresiones radicales de esta manera.

Multiplicar expresiones radicales

Empecemos con una cantidad que hayas visto antes,$\ \sqrt{64}$. Puedes simplificar esta raíz cuadrada pensándola como$\ \sqrt{16 \cdot 4}$.

\ (\\ comenzar {alineado}
\ sqrt {64} &=\ sqrt {16\ cdot 4}\\
&=\ sqrt {16}\ cdot\ sqrt {4}\\
&=4\ cdot 2\\
&=8
\ end {alineado}\)

Si piensas en el radicando como producto de dos factores (aquí, pensando en 64 como el producto de 16 y 4), puedes tomar la raíz cuadrada de cada factor y luego multiplicar las raíces. El resultado final es el mismo,$\ \sqrt{64}=8$.

Este es un ejemplo del Producto Elevado a una Regla de Poder. Esta regla establece que el producto de dos o más números elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia.

Esta debería ser una idea familiar. Has aplicado esta regla al expandir expresiones como$\ (a b)^{x}$ a$\ a^{x} \cdot b^{x}$; ahora la vas a enmendar para incluir también a los radicales. Imagina que el exponente no$\ x$ es un entero sino que es una fracción unitaria$\ \frac{1}{3}$, como, para que tengas la expresión$\ (a b)^{\frac{1}{3}}$. De acuerdo con el Producto Elevado a una Regla de Poder, esto también se puede escribir$\ a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$, que es lo mismo que$\ \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$, ya que los exponentes fraccionarios pueden reescribirse como raíces. Entonces, por la misma razón que$\ (a b)^{\frac{1}{x}}=a^{\frac{1}{x}} \cdot b^{\frac{1}{x}}$, encuentras eso$\ \sqrt[x]{a b}=\sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}$.

Un producto elevado a una regla de poder

Para cualquier número$\ a$ y$\ b$ y cualquier entero$\ x$:$\ (a b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}$

Para cualquier número$\ x$ y$\ b$ y cualquier entero positivo$\ x$:$\ (a b)^{\frac{1}{x}}=a^{\frac{1}{x}} \cdot b^{\frac{1}{x}}$

Para cualquier número$\ a$ y$\ b$ y cualquier entero positivo$\ x$:$\ \sqrt[x]{a b}=\sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}$

El Producto Elevado a una Regla de Poder es importante porque puedes usarlo para multiplicar expresiones radicales. Ten en cuenta que las raíces son las mismas: puedes combinar raíces cuadradas con raíces cuadradas, o raíces cubicas con raíces cubicas, por ejemplo. Pero no se puede multiplicar una raíz cuadrada y una raíz cubo usando esta regla.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}$

Solución

$\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}$ $\ \sqrt{288}$	Usa la regla$\ \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}=\sqrt[x]{a b}$ para multiplicar los radicandos.
$\ \sqrt{144 \cdot 2}$	Busca cuadrados perfectos en el radicando, y reescribe el radicando como producto de dos factores.
$\ \sqrt{(12)^{2} \cdot 2}$	Identificar cuadrados perfectos.
$\ \sqrt{(12)^{2}} \cdot \sqrt{2}$	Reescribir como producto de dos radicales.
\ (\\ begin {array} {r} |12|\ cdot\ sqrt {2}\\ 12\ cdot\ sqrt {2} \ end {array}\)	Simplificar, usando$\ \sqrt{x^{2}}=|x|$.

$\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}=12 \sqrt{2}$

Usando el Producto Elevado a una Regla de Poder, puedes tomar una expresión aparentemente complicada,$\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}$, y convertirlo en algo más manejable,$\ 12 \sqrt{2}$.

También puede haber notado que ambos$\ \sqrt{18}$ y se$\ \sqrt{16}$ pueden escribir como productos que involucran factores cuadrados perfectos. ¿Cómo cambiaría la expresión si primero simplificaras cada radical, antes de multiplicar?

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}$

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {9\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {4\ cdot 4}\ \ sqrt {3\ cdot 3\ cdot 2}\ cdot\ sqrt {4\ cdot 4} \ end {array}\)	Busca cuadrados perfectos en cada radicando, y reescribe como producto de dos factores.
$\ \sqrt{(3)^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt{(4)^{2}}$	Identificar cuadrados perfectos.
$\ \sqrt{(3)^{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{(4)^{2}}$	Reescribir como producto de radicales.
\ (\\ begin {array} {r} |3|\ cdot\ sqrt {2}\ cdot|4|\\ 3\ cdot\ sqrt {2}\ cdot 4 \ end {array}\)	Simplificar, usando$\ \sqrt{x^{2}}=|x|$.
12	Multiplicar.

$\ \sqrt{18} \cdot \sqrt{16}=12 \sqrt{2}$

En ambos casos, llegas al mismo producto,$\ 12 \sqrt{2}$. No importa si multiplicas los radicandos o simplificas primero cada radical.

Multiplica expresiones radicales que contienen variables de la misma manera. Siempre y cuando las raíces de las expresiones radicales sean las mismas, puedes usar el Producto Elevado a una Regla de Poder para multiplicar y simplificar. Mira los dos ejemplos que siguen. En ambos problemas, el Producto Elevado a una Regla de Poder se usa de inmediato y luego se simplifica la expresión.

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt{12 x^{3}} \cdot \sqrt{3 x}, x \geq 0$

Solución

$\ \sqrt{12 x^{3} \cdot 3 x}$	Usa la regla$\ \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}=\sqrt[x]{a b}$ para multiplicar los radicandos.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {12\ cdot 3\ cdot x^ {3}\ cdot x}\\ \ sqrt {36\ cdot x^ {3+1}}\\ \ sqrt {36\ cdot x^ {4}} \ end {array}\)	Recordemos eso$\ x^{3} \cdot x=x^{3+1}$.
$\ \sqrt{(6)^{2} \cdot\left(x^{2}\right)^{2}}$	Busca cuadrados perfectos en el radicando.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {(6) ^ {2}}\ cdot\ sqrt {\ left (x^ {2}\ derecha) ^ {2}}\\ 6\ cdot x^ {2} \ end {array}\)	Reescribir como producto de radicales.

$\ \sqrt{12 x^{3}} \cdot \sqrt{3 x}=6 x^{2}$

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt[3]{x^{5} y^{2}} \cdot 5 \sqrt[3]{\left(8 x^{2} y^{4}\right)}$

Solución

$\ 5 \sqrt[3]{x^{5} y^{2} \cdot 8 x^{2} y^{4}}$	Observe que ambos radicales son de raíz cubo, por lo que puede usar la regla$\ \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}=\sqrt[x]{a b}$ para multiplicar los radicandos.
\ (\\ begin {array} {r} 5\ sqrt [3] {8\ cdot x^ {5}\ cdot x^ {2}\ cdot y^ {2}\ cdot y^ {4}}\\ 5\ sqrt [3] {8\ cdot x^ {5+2}\ cdot y^ {2+4}}\\ 5\ sqrt [3] {8\ cdot x^ {7}\ cdot y^ {6}} \ end {array}\)
$\ 5 \sqrt[3]{(2)^{3} \cdot\left(x^{2}\right)^{3} \cdot x \cdot\left(y^{2}\right)^{3}}$	Busca cubos perfectos en el radicando. Ya que no$\ x^{7}$ es un cubo perfecto, tiene que ser reescrito como$\ x^{6+1}=\left(x^{2}\right)^{3} \cdot x$.
\ (\\ begin {array} {r} 5\ sqrt [3] {(2) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ izquierda (x^ {2}\ derecha) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ izquierda (y^ {2}\ derecha) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {x}\ 5\ cdot 2\ cdot x^ {2}\ cdot y^ {2}\ cdot\ sqrt [3] {x} \ end {array}\)	Reescribir como producto de radicales.

$\ \sqrt[3]{x^{5} y^{2}} \cdot 5 \sqrt[3]{\left(8 x^{2} y^{4}\right)}=10 x^{2} y^{2} \sqrt[3]{x}$

Este siguiente ejemplo es un poco más complicado porque hay más de dos radicales que se están multiplicando. En este caso, observe cómo se simplifican los radicales antes de que se produzca la multiplicación. (Recuerda que el orden que elijas usar depende de ti: encontrarás que a veces es más fácil multiplicar antes de simplificar, y otras veces es más fácil simplificar antes de multiplicar. Con algo de práctica, es posible que puedas decir cuál es cuál antes de abordar el problema, pero cualquiera de las órdenes funcionará para todos los problemas).

Ejemplo

Simplificar. $\ 2 \sqrt[4]{16 x^{9}} \cdot \sqrt[4]{y^{3}} \cdot \sqrt[4]{81 x^{3} y}, x \geq 0, y \geq 0$

Solución

$\ 2 \sqrt[4]{(2)^{4} \cdot\left(x^{2}\right)^{4} \cdot x} \cdot \sqrt[4]{y^{3}} \cdot \sqrt[4]{(3)^{4} \cdot x^{3} y}$	Observe que esta expresión está multiplicando tres radicales con la misma (cuarta) raíz. Simplifica cada radical, si es posible, antes de multiplicar. Estar buscando poderes de 4 en cada radicando.
$\ 2 \sqrt[4]{(2)^{4}} \cdot \sqrt[4]{\left(x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{y^{3}} \cdot \sqrt[4]{(3)^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3} y}$	Reescribir como producto de radicales.
\ (\\ begin {array} {r} 2\ cdot|2|\ cdot\ izquierda|x^ {2}\ derecha|\ cdot\ sqrt [4] {x}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {3}}\ cdot|3|\ cdot\ sqrt [4] {x^ {3} y}\\ 2\ cdot 2\ cdot x^ {2}\ cdot\ sqrt [4] {x}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {3}}\ cdot 3\ cdot\ sqrt [4] {x^ {3} y} \ fin { matriz}\)	Identificar y sacar poderes de 4, utilizando el hecho de que$\ \sqrt[4]{x^{4}}=|x|$.
$\ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot \sqrt[4]{x \cdot y^{3} \cdot x^{3} y}$	Dado que todos los radicales son cuartas raíces, puedes usar la regla$\ \sqrt[x]{a b}=\sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}$ para multiplicar los radicandos.
$\ 12 x^{2} \sqrt[4]{x^{1+3} \cdot y^{3+1}}$
\ (\\ comenzar {matriz} {r} 12 x^ {2}\ sqrt [4] {x^ {4}\ cdot y^ {4}}\\ 12 x^ {2}\ sqrt [4] {x^ {4}}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {4}}\\ 12 x^ {2}\ cdot|x|\ cdoty|| \ end {array}\)	Ahora que se han multiplicado los radicandos, busque de nuevo poderes de 4, y sáquelos. Podemos dejar caer los signos de valor absoluto en nuestra respuesta final porque al inicio del problema nos dijeron$\ x \geq 0$,$\ y \geq 0$.

\ (\\ begin {array} {r}
2\ sqrt [4] {16 x^ {9}}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {3}}\ cdot\ sqrt [4] {81 x^ {3} y} =12 x^ {3} y\\
x\ geq 0, y\ geq 0
\ end {array}\)

Ejercicio

¿Cuál de los siguientes pares de problema y respuesta es incorrecto?

1. Problema:$\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{25}$ Respuesta: 20
2. Problema:$\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{2}}$ Respuesta:$\ 4|x|$
3. Problema:$\ \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}$ Respuesta:$\ \sqrt[3]{x y^{2}}$
4. Problema:$\ \sqrt{20} \cdot \sqrt[3]{y}$ Respuesta:$\ \sqrt[3]{20 y}$

Contestar

1. Incorrecto. Este problema no contiene ningún error;$\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{25}=4 \cdot 5=20$. La respuesta D contiene un par problema y respuesta incorrecto.
2. Incorrecto. Este problema no contiene ningún error;$\ \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{2}}=4 \cdot|x|=4|x|$. La respuesta D contiene un par problema y respuesta incorrecto.
3. Incorrecto. Este problema no contiene ningún error. Los dos radicales que se están multiplicando tienen la misma raíz (3), por lo que se pueden multiplicar juntos por debajo del mismo signo radical. La respuesta D contiene un par problema y respuesta incorrecto.
4. Correcto. Los dos radicales tienen raíces distintas, por lo que no se puede multiplicar el producto de los radicandos y ponerlo bajo el mismo signo radical. Entonces, este par problema y respuesta es incorrecto.

Dividir expresiones radicales

Puedes usar las mismas ideas para ayudarte a descubrir cómo simplificar y dividir expresiones radicales. Recordemos que el Producto Elevado a una Regla de Poder establece que$\ \sqrt[x]{a b}=\sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}$. Bueno, ¿y si se trata de un cociente en lugar de un producto?

También hay una regla para eso. El Cociente Elevado a una Regla de Poder lo establece$\ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{a^{\frac{1}{x}}}{b^{\frac{1}{x}}}$. Nuevamente, si imaginas que el exponente es un número racional, entonces puedes hacer que esta regla sea aplicable también para las raíces cuadradas:$\ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{a^{\frac{1}{x}}}{b^{\frac{1}{x}}}$, entonces$\ \sqrt[x]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[x]{a}}{\sqrt[x]{b}}$.

Un cociente elevado a una regla de poder

Para cualquier número real$\ a$ y$\ b$$\ (b \neq 0)$ y cualquier entero positivo$\ x$:$\ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{x}}=\frac{a^{\frac{1}{x}}}{b^{\frac{1}{x}}}$.

Para cualquier número real$\ a$ y$\ b$$\ (b \neq 0)$ y cualquier entero positivo$\ x$:$\ \sqrt[x]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[x]{a}}{\sqrt[x]{b}}$

Como hiciste con la multiplicación, comenzarás con algunos ejemplos con enteros antes de pasar a expresiones más complejas como$\ \frac{\sqrt[3]{24 x y^{4}}}{\sqrt[3]{8 y}}$.

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt{\frac{48}{25}}$

Solución

$\ \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{25}}$	Usa la regla$\ \sqrt[x]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[x]{a}}{\sqrt[x]{b}}$ para crear dos radicales; uno en el numerador y otro en el denominador.
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {\ sqrt {16\ cdot 3}} {\ sqrt {25}}\\ \ text {O}\\ \ frac {\ sqrt {4\ cdot 4\ cdot 3}} {\ sqrt {5\ cdot 5}} \ end {array}\)	Simplifica cada radical. Busque factores cuadrados perfectos en el radicando, y reescriba el radicando como producto de factores.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {\ sqrt {(4) ^ {2}\ cdot 3}} {\ sqrt {(5) ^ {2}}} \\ frac {\ sqrt {(4) ^ {2}}\ cdot\ sqrt {3}} {\ sqrt {(5) ^ {2}} \ end array}\)	Identificar y sacar cuadrados perfectos.
$\ \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{5}$	Simplificar.

$\ \sqrt{\frac{48}{25}}=\frac{4 \sqrt{3}}{5}$

Ejemplo

Simplificar. $\ \sqrt[3]{\frac{640}{40}}$

Solución

$\ \frac{\sqrt[3]{640}}{\sqrt[3]{40}}$	Reescribir usando el Cociente Elevado a una Regla de Poder.
$\ \frac{\sqrt[3]{64 \cdot 10}}{\sqrt[3]{8 \cdot 5}}$	Simplifica cada radical. Busca cubos perfectos en el radicando, y reescribe el radicando como producto de factores.
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {\ sqrt [3] {(4) ^ {3}\ cdot 10}} {\ sqrt [3] {(2) ^ {3}\ cdot 5}}\ \ frac {\ sqrt [3] {(4) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {10}} {\ sqrt [3] {(2) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {5}}\ \ frac {4\ cdot\ sqrt [3] {10}} {2\ cdot\ sqrt [3] {5}} \ end {array}\)	Identifica y saca cubos perfectos.
$\ \frac{4 \sqrt[3]{10}}{2 \sqrt[3]{5}}$	Puede simplificar aún más esta expresión buscando factores comunes en el numerador y denominador.
$\ \frac{2 \cdot 2 \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{2}}{2 \sqrt[3]{5}}$	Reescribir el numerador como producto de factores.
\ (\\ begin {array} {r} 2\ cdot\ frac {2\ sqrt [3] {5}} {2\ sqrt [3] {5}}\ cdot\ sqrt [3] {2}\\ 2\ cdot 1\ cdot\ cdot\ sqrt [3] {2} \ end {array}\)	Identificar factores de 1, y simplificar.

$\ \sqrt[3]{\frac{640}{40}}=2 \sqrt[3]{2}$

Eso fue mucho esfuerzo, pero se pudo simplificar usando el Cociente Elevado a una Regla de Poder. ¿Y si encontraras el cociente de esta expresión dividiendo primero dentro del radical, y luego tomaras la raíz cubo del cociente?

Echemos otro vistazo a ese problema.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\sqrt[3]{640}}{\sqrt[3]{40}}$

Solución

$\ \sqrt[3]{\frac{640}{40}}$	Dado que ambos radicales son raíces cubicas, puedes usar la regla$\ \frac{\sqrt[x]{a}}{\sqrt[x]{b}}=\sqrt[x]{\frac{a}{b}}$ para crear una sola expresión racional debajo del radical.
\ (\\ begin {array} {r} 640\ div 40=16\\ \ sqrt [3] {16} \ end {array}\)	Dentro de lo radical, divida 640 por 40.
$\ \sqrt[3]{8 \cdot 2}$	Busca cubos perfectos en el radicando, y reescribe el radicando como producto de factores.
$\ \sqrt[3]{(2)^{3} \cdot 2}$	Identificar cubos perfectos y sacarlos.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt [3] {(2) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {2}\\ 2\ cdot\ sqrt [3] {2} \ end {array}\)	Simplificar.

$\ \frac{\sqrt[3]{640}}{\sqrt[3]{40}}=2 \sqrt[3]{2}$

Ese fue un enfoque más directo, ¿no?

Al igual que con la multiplicación, la idea principal aquí es que a veces tiene sentido dividir y luego simplificar, y otras veces tiene sentido simplificar y luego dividir. Sin embargo, cualquiera que sea el orden que elija, debe llegar a la misma expresión final.

Ahora pasemos a algunas expresiones radicales que contienen variables. Observe que el proceso para dividir estos es el mismo que lo es para dividir enteros.

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\sqrt{30 x}}{\sqrt{10 x}}, x>0$

Solución

$\ \frac{\sqrt{30 x}}{\sqrt{10 x}}$	Utilice el cociente elevado a una regla de poder para reescribir esta expresión.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt {\ frac {3\ cdot 10 x} {10 x}}\\ \ sqrt {3\ cdot\ frac {10 x} {10 x}}\\ {\ sqrt {3\ cdot 1}} \ end {array}\)	Simplificar$\ \frac{\sqrt{30 x}}{\sqrt{10 x}}$ identificando factores similares en el numerador y denominador y luego identificando factores de 1.

$\ \frac{\sqrt{30 x}}{\sqrt{10 x}}=\sqrt{3}$

Ejemplo

Simplificar. $\ \frac{\sqrt[3]{24 x y^{4}}}{\sqrt[3]{8 y}}, y \neq 0$

Solución

$\ \sqrt[3]{\frac{24 x y^{4}}{8 y}}$	Utilice el cociente elevado a una regla de poder para reescribir esta expresión.
\ (\\ comenzar {matriz} {c} \ sqrt [3] {\ frac {8\ cdot 3\ cdot x\ cdot y^ {3}\ cdot y} {8\ cdot y}}\\ \ sqrt [3] {\ frac {3\ cdot x\ cdot y^ {3}} {1}\ cdot\ frac {8 y} {8 y}}\\ \ sqrt [3] {\ frac {3\ cdot x\ cdot y^ {3}} {1}\ cdot 1} \ end {array}\)	Simplificar$\ \sqrt[3]{\frac{24 x y^{4}}{8 y}}$ identificando factores similares en el numerador y denominador y luego identificando factores de 1.
$\ \sqrt[3]{3 x y^{3}}$	Identificar cubos perfectos y sacarlos del radical.
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt [3] {(y) ^ {3}\ cdot 3 x}\\ \ sqrt [3] {(y) ^ {3}}\ cdot\ sqrt [3] {3 x} \ end {array}\)	Simplificar.

$\ \frac{\sqrt[3]{24 x y^{4}}}{\sqrt[3]{8 y}}=y \sqrt[3]{3 x}$

A medida que te familiarices con dividir y simplificar las expresiones radicales, asegúrate de seguir prestando atención a las raíces de los radicales que estás dividiendo. Por ejemplo, si bien se puede pensar que es equivalente a$\ \sqrt{\frac{8 y^{2}}{225 y^{4}}}$ ya que tanto el numerador como el denominador son raíces cuadradas, observe que no se puede expresar$\ \frac{\sqrt{8 y^{2}}}{\sqrt[4]{225 y^{4}}}$ como$\ \sqrt[4]{\frac{8 y^{2}}{225 y^{4}}}$.$\ \frac{\sqrt{8 y^{2}}}{\sqrt{225 y^{4}}}$ En este segundo caso, el numerador es una raíz cuadrada y el denominador es una cuarta raíz.

Ejercicio

Dividir y simplificar. $\ \frac{\sqrt{27 x^{9}}}{\sqrt{x^{4}}}, x>0$

1. $\ 3 x^{2} \sqrt{3 x}$
2. $\ \frac{3 x^{4} \sqrt{3 x}}{x^{2}}$
3. $\ x^{2} \sqrt{x}$
4. $\ \sqrt{27 x^{5}}$

Contestar

1. Correcto. Usando lo que sabes sobre cocientes, puedes reescribir la expresión como$\ \sqrt{\frac{27 x^{9}}{x^{4}}}$, simplificarla a$\ \sqrt{27 x^{5}}$, y luego sacar cuadrados perfectos. La forma simplificada es$\ 3 x^{2} \sqrt{3 x}$.
2. Incorrecto. Tomaste correctamente las raíces cuadradas de$\ \sqrt{27 x^{9}}$ y$\ \sqrt{x^{4}}$, pero puedes simplificar aún más esta expresión. La respuesta correcta es$\ 3 x^{2} \sqrt{3 x}$.
3. Incorrecto. Tú simplificaste$\ \frac{\sqrt{x^{9}}}{\sqrt{x^{4}}}$, no$\ \frac{\sqrt{27 x^{9}}}{\sqrt{x^{4}}}$. La respuesta correcta es$\ 3 x^{2} \sqrt{3 x}$.
4. Incorrecto. La expresión$\ \frac{\sqrt{27 x^{9}}}{\sqrt{x^{4}}}$ es la misma que$\ \sqrt{27 x^{5}}$, pero también se puede simplificar aún más. La respuesta correcta es$\ 3 x^{2} \sqrt{3 x}$.

Resumen

El producto elevado a una regla de poder y el cociente elevado a una regla de poder pueden utilizarse para simplificar expresiones radicales siempre y cuando las raíces de los radicales sean las mismas. La Regla del Producto establece que el producto de dos o más números elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia. Lo mismo ocurre con las raíces:$\ \sqrt[x]{a b}=\sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b}$. Al dividir expresiones radicales, las reglas que rigen los cocientes son similares:$\ \sqrt[x]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[x]{a}}{\sqrt[x]{b}}$.