16.2.3: Multiplicación de Radicales Múltiples Terminales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplique y simplifique expresiones radicales que contengan más de un término.

Introducción

Al multiplicar expresiones radicales de término múltiple, es importante seguir la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, como cuando se están multiplicando expresiones regulares, no radicales. Los radicales siguen las mismas reglas matemáticas que otros números reales. Entonces, aunque la expresión\(\ \sqrt{x}(3 \sqrt{x}-5)\) puede verse diferente a\(\ a(3 a-5)\), puedes tratarlos de la misma manera.

Uso de la propiedad distributiva

Echemos un vistazo a cómo aplicar la Propiedad Distributiva. Primero hagamos un problema con la variable\(\ a\), y luego resolvamos el mismo problema reemplazando\(\ a\) con\(\ \sqrt{x}\).

Ejemplo

Simplificar. \(\ a(3 a-5)\)

Solución

\(\ a(3 a)-a(5)\)

Utilice la Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Resta.

\(\ a(3 a-5)=3 a^{2}-5 a\)

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{x}(3 \sqrt{x}-5)\)

Solución

\(\ \sqrt{x}(3 \sqrt{x})-\sqrt{x}(5)\)	Utilice la Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Resta.
\(\ 3 \sqrt{x^{2}}-5 \sqrt{x}\)	Aplicar las reglas de multiplicar radicales:\(\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a b}\) multiplicar\(\ \sqrt{x}(3 \sqrt{x})\).
	Asegúrate de simplificar los radicales cuando puedas:\(\ \sqrt{x^{2}}=|x|\), entonces\(\ 3 \sqrt{x^{2}}=3|x|\).

\(\ \sqrt{x}(3 \sqrt{x}-5)=3|x|-5 \sqrt{x}\)

Las respuestas a los dos problemas anteriores deberían parecerse a ti. La única diferencia es que en el segundo problema,\(\ \sqrt{x}\) ha sustituido la variable\(\ a\) (y así\(\ |x|\) ha sustituido\(\ a^{2}\)). El proceso de multiplicación es muy similar en ambos problemas.

En estos dos problemas siguientes, cada término contiene un radical.

Ejemplo

Simplificar. \(\ 7 \sqrt{x}(2 \sqrt{x y}+\sqrt{y})\)

Solución

\(\ 7 \sqrt{x}(2 \sqrt{x y})+7 \sqrt{x}(\sqrt{y})\)	Utilice la Propiedad Distributiva de Multiplicación sobre Suma para multiplicar cada término entre paréntesis por\(\ 7 \sqrt{x}\).
\(\ 7 \cdot 2 \sqrt{x^{2} y}+7 \sqrt{x y}\)	Aplicar las reglas de multiplicar radicales.
\(\ 14 \sqrt{x^{2} \cdot y}+7 \sqrt{x y}\)	\(\ \sqrt{x^{2}}=|x|\), por lo que se\(\ |x|\) puede sacar del radical.

\(\ 7 \sqrt{x}(2 \sqrt{x y}+\sqrt{y})=14|x| \sqrt{y}+7 \sqrt{x y}\)

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{a}\left(2 \sqrt[3]{a^{2}}-4 \sqrt[3]{a^{5}}+8 \sqrt[3]{a^{8}}\right)\)

Solución

\(\ \sqrt[3]{a}\left(2 \sqrt[3]{a^{2}}\right)-\sqrt[3]{a}\left(4 \sqrt[3]{a^{5}}\right)+\sqrt[3]{a}\left(8 \sqrt[3]{a^{8}}\right)\)	Utilice la Propiedad Distributiva.
\(\ 2 \sqrt[3]{a \cdot a^{2}}-4 \sqrt[3]{a \cdot a^{5}}+8 \sqrt[3]{a \cdot a^{8}}\)	Aplicar las reglas de multiplicar radicales.
\(\ 2 \sqrt[3]{a^{3}}-4 \sqrt[3]{a^{6}}+8 \sqrt[3]{a^{9}}\)
\(\ 2 \sqrt[3]{a^{3}}-4 \sqrt[3]{\left(a^{2}\right)^{3}}+8 \sqrt[3]{\left(a^{3}\right)^{3}}\)	Identificar cubos en cada uno de los radicales.

\(\ \sqrt[3]{a}\left(2 \sqrt[3]{a^{2}}-4 \sqrt[3]{a^{5}}+8 \sqrt[3]{a^{8}}\right)=2 a-4 a^{2}+8 a^{3}\)

En todos estos ejemplos, la multiplicación de radicales se ha mostrado siguiendo el patrón\(\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{a b}\). Entonces, sólo después de multiplicarse, se han simplificado algunos radicales, como en el último problema. Después de haber trabajado un poco más con expresiones radicales, es posible que se sienta más cómodo identificando cantidades como\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\) sin pasar por el paso intermedio de encontrar eso\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=\sqrt{x^{2}}\). En el resto de los ejemplos que siguen, sin embargo, se muestra cada paso.

Ejercicio

Multiplicar y simplificar. \(\ \sqrt{10}(\sqrt{10}-\sqrt{5})\)

1. \(\ 10-5 \sqrt{2}\)
2. \(\ 10\)
3. \(\ 5 \sqrt{2}\)
4. \(\ \sqrt{100}-\sqrt{50}\)

Contestar

1. Correcto. Multiplicando\(\ \sqrt{10}\) por\(\ \sqrt{10}\) y\(\ -\sqrt{5}\), encuentras que es igual a\(\ \sqrt{100}-\sqrt{50}\), o\(\ 10-5 \sqrt{2}\).
2. Incorrecto. \(\ \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}=10\), pero ¿a qué se\(\ \sqrt{10} \cdot(-\sqrt{5})\) simplifica? La respuesta correcta es\(\ 10-5 \sqrt{2}\).
3. Incorrecto. Se restó\(\ \sqrt{10}-\sqrt{5}=\sqrt{5}\), y luego se multiplicó por\(\ \sqrt{10}\). Recuerda que no puedes restar radicales a menos que los índices y los radicandos sean los mismos. La respuesta correcta es\(\ 10-5 \sqrt{2}\).
4. Incorrecto. Este es el producto correcto, pero no está en la forma más simple. Busque cuadrados que existan dentro\(\ \sqrt{100}\) y\(\ \sqrt{50}\). La respuesta correcta es\(\ 10-5 \sqrt{2}\).

Multiplicar expresiones radicales como binomios

A veces, también aparecen expresiones radicales en binomios. En estos casos, sigues las reglas de la multiplicación binomial, pero es muy importante que seas preciso y estructurado cuando estés multiplicando los diferentes términos.

Como actualización, aquí está el proceso para multiplicar dos binomios. Si te gusta usar la expresión “FOIL” (First, Outside, Inside, Last) para ayudarte a averiguar el orden en que se deben multiplicar los términos, puedes usarlo aquí, también.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (2 x+5)(3 x-2)\)

Solución

Primero:\(\ 2 x \cdot 3 x=6 x^{2}\) Exterior:\(\ 2 x \cdot(-2)=-4 x\) En el interior:\(\ 5 \cdot 3 x=15 x\) ÚLTIMO:\(\ 5 \cdot(-2)=-10\)	Utilice la Propiedad Distributiva.
\(\ 6 x^{2}-4 x+15 x-10\)	Registre los términos y luego combine términos similares.

\(\ (2 x+5)(3 x-2)=6 x^{2}+11 x-10\)

Aquí está el mismo problema, con la\(\ \sqrt{b}\) sustitución de la variable\(\ x\).

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (2 \sqrt{b}+5)(3 \sqrt{b}-2), b \geq 0\)

Solución

Primero:\(\ 2 \sqrt{b} \cdot 3 \sqrt{b}=2 \cdot 3 \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}=6 b\) Exterior:\(\ 2 \sqrt{b} \cdot(-2)=-4 \sqrt{b}\) En el interior:\(\ 5 \cdot 3 \sqrt{b}=15 \sqrt{b}\) ÚLTIMO:\(\ 5 \cdot(-2)=-10\)	Utilice la Propiedad Distributiva para multiplicar. Simplifique el uso\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\).
\(\ 6 b-4 \sqrt{b}+15 \sqrt{b}-10\)	Registre los términos y luego combine términos similares.

\(\ (2 \sqrt{b}+5)(3 \sqrt{b}-2)=6 b+11 \sqrt{b}-10\)

La multiplicación funciona de la misma manera en ambos problemas; solo hay que prestar atención al índice del radical (es decir, si las raíces son raíces cuadradas, raíces cubicas, etc.) al multiplicar expresiones radicales.

Multiplicar expresiones radicales binomiales

Para multiplicar expresiones radicales, utilice el mismo método utilizado para multiplicar polinomios.

• Utilice la Propiedad Distributiva (o, si lo prefiere, el método abreviado FOIL);
• Recuerda eso\(\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a b}\); y
• Combina términos similares.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ \left(4 x^{2}+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}}+2\right)\)

Solución

Primero:\(\ 4 x^{2} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}=4 x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}\) Exterior:\(\ 4 x^{2} \cdot 2=8 x^{2}\) En el interior:\(\ \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}=\sqrt[3]{x^{2} \cdot x}=\sqrt[3]{x^{3}}=x\) ÚLTIMO:\(\ \sqrt[3]{x} \cdot 2=2 \sqrt[3]{x}\)	Usa FOIL para multiplicar.
\(\ 4 x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}+8 x^{2}+x+2 \sqrt[3]{x}\)	Registre los términos y luego combine términos similares (si es posible). Aquí, no hay términos similares para combinar.

\(\ \left(4 x^{2}+\sqrt[3]{x}\right)\left(\sqrt[3]{x^{2}}+2\right)=4 x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}+8 x^{2}+x+2 \sqrt[3]{x}\)

Ejercicio

Multiplicar y simplificar. \(\ (4 \sqrt{x}+3)(2 \sqrt{x}-1), x \geq 0\)

1. \(\ 7\)
2. \(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\)
3. \(\ 8 x^{2}+2 x+3\)
4. \(\ 4 x+8 \sqrt{x}-3\)

Contestar

1. Incorrecto. Usando el método FOIL, el producto es\(\ 8 x-4 \sqrt{x}+6 \sqrt{x}-3\), lo que simplifica a\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\). Parece que olvidaste las variables y agregaste\(\ 8+2-3\) los coeficientes para llegar a\(\ 7\). La respuesta correcta es\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\).
2. Correcto. Usando el método FOIL, encuentras que el producto de los binomios es\(\ 8 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}-4 \sqrt{x}+6 \sqrt{x}-3\), lo que simplifica a\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\).
3. Incorrecto. Recuerda eso\(\ 4 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x}=4 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=8 x\), no\(\ 8 x^{2}\). La respuesta correcta es\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\).
4. Incorrecto. Has multiplicado los términos variables correctamente, pero tienes los coeficientes incorrectos. Usando el método FOIL, el producto es\(\ 8 x-4 \sqrt{x}+6 \sqrt{x}-3\), lo que simplifica a\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\). La respuesta correcta es\(\ 8 x+2 \sqrt{x}-3\).

Resumen

Para multiplicar expresiones radicales que contienen más de un término, usa el mismo método que usas para multiplicar polinomios. Primero, usa la Propiedad Distributiva (o, si lo prefieres, el método abreviado FOIL) para multiplicar los términos. Entonces, aplicar las reglas\(\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a b}\), y\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\) multiplicar y simplificar. Por último, combina términos similares.