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LibreTexts Español

16.2.3: Multiplicación de Radicales Múltiples Terminales

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Objetivos de aprendizaje
  • Multiplique y simplifique expresiones radicales que contengan más de un término.

Introducción

Al multiplicar expresiones radicales de término múltiple, es importante seguir la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, como cuando se están multiplicando expresiones regulares, no radicales. Los radicales siguen las mismas reglas matemáticas que otros números reales. Entonces, aunque la expresión x(3x5) puede verse diferente a a(3a5), puedes tratarlos de la misma manera.

Uso de la propiedad distributiva

Echemos un vistazo a cómo aplicar la Propiedad Distributiva. Primero hagamos un problema con la variable a, y luego resolvamos el mismo problema reemplazando a con x.

Ejemplo

Simplificar.  a(3a5)

Solución

 a(3a)a(5) Utilice la Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Resta.

 a(3a5)=3a25a

Ejemplo

Simplificar.  x(3x5)

Solución

 x(3x)x(5) Utilice la Propiedad Distributiva de la Multiplicación sobre la Resta.
 3x25x Aplicar las reglas de multiplicar radicales: ab=ab multiplicar x(3x).
Asegúrate de simplificar los radicales cuando puedas: x2=|x|, entonces 3x2=3|x|.

 x(3x5)=3|x|5x

Las respuestas a los dos problemas anteriores deberían parecerse a ti. La única diferencia es que en el segundo problema, x ha sustituido la variable a (y así |x| ha sustituido a2). El proceso de multiplicación es muy similar en ambos problemas.

En estos dos problemas siguientes, cada término contiene un radical.

Ejemplo

Simplificar.  7x(2xy+y)

Solución

 7x(2xy)+7x(y) Utilice la Propiedad Distributiva de Multiplicación sobre Suma para multiplicar cada término entre paréntesis por 7x.
 72x2y+7xy Aplicar las reglas de multiplicar radicales.
 14x2y+7xy  x2=|x|, por lo que se |x| puede sacar del radical.

 7x(2xy+y)=14|x|y+7xy

Ejemplo

Simplificar.  3a(23a243a5+83a8)

Solución

 3a(23a2)3a(43a5)+3a(83a8) Utilice la Propiedad Distributiva.
 23aa243aa5+83aa8 Aplicar las reglas de multiplicar radicales.
 23a343a6+83a9
 23a343(a2)3+83(a3)3 Identificar cubos en cada uno de los radicales.

 3a(23a243a5+83a8)=2a4a2+8a3

En todos estos ejemplos, la multiplicación de radicales se ha mostrado siguiendo el patrón abab. Entonces, sólo después de multiplicarse, se han simplificado algunos radicales, como en el último problema. Después de haber trabajado un poco más con expresiones radicales, es posible que se sienta más cómodo identificando cantidades como xx=x sin pasar por el paso intermedio de encontrar eso xx=x2. En el resto de los ejemplos que siguen, sin embargo, se muestra cada paso.

Ejercicio

Multiplicar y simplificar.  10(105)

  1.  1052
  2.  10
  3.  52
  4.  10050
Contestar
  1. Correcto. Multiplicando 10 por 10 y 5, encuentras que es igual a 10050, o 1052.
  2. Incorrecto.  1010=10, pero ¿a qué se 10(5) simplifica? La respuesta correcta es 1052.
  3. Incorrecto. Se restó 105=5, y luego se multiplicó por 10. Recuerda que no puedes restar radicales a menos que los índices y los radicandos sean los mismos. La respuesta correcta es 1052.
  4. Incorrecto. Este es el producto correcto, pero no está en la forma más simple. Busque cuadrados que existan dentro 100 y 50. La respuesta correcta es 1052.

Multiplicar expresiones radicales como binomios

A veces, también aparecen expresiones radicales en binomios. En estos casos, sigues las reglas de la multiplicación binomial, pero es muy importante que seas preciso y estructurado cuando estés multiplicando los diferentes términos.

Como actualización, aquí está el proceso para multiplicar dos binomios. Si te gusta usar la expresión “FOIL” (First, Outside, Inside, Last) para ayudarte a averiguar el orden en que se deben multiplicar los términos, puedes usarlo aquí, también.

Ejemplo

Multiplicar.  (2x+5)(3x2)

Solución

Primero: 2x3x=6x2

Exterior: 2x(2)=4x

En el interior: 53x=15x

ÚLTIMO: 5(2)=10

Utilice la Propiedad Distributiva.
 6x24x+15x10 Registre los términos y luego combine términos similares.

 (2x+5)(3x2)=6x2+11x10

Aquí está el mismo problema, con la b sustitución de la variable x.

Ejemplo

Multiplicar.  (2b+5)(3b2),b0

Solución

Primero: 2b3b=23bb=6b

Exterior: 2b(2)=4b

En el interior: 53b=15b

ÚLTIMO: 5(2)=10

Utilice la Propiedad Distributiva para multiplicar. Simplifique el uso xx=x.
 6b4b+15b10 Registre los términos y luego combine términos similares.

 (2b+5)(3b2)=6b+11b10

La multiplicación funciona de la misma manera en ambos problemas; solo hay que prestar atención al índice del radical (es decir, si las raíces son raíces cuadradas, raíces cubicas, etc.) al multiplicar expresiones radicales.

Multiplicar expresiones radicales binomiales

Para multiplicar expresiones radicales, utilice el mismo método utilizado para multiplicar polinomios.

  • Utilice la Propiedad Distributiva (o, si lo prefiere, el método abreviado FOIL);
  • Recuerda eso ab=ab; y
  • Combina términos similares.
Ejemplo

Multiplicar.  (4x2+3x)(3x2+2)

Solución

Primero: 4x23x2=4x23x2

Exterior: 4x22=8x2

En el interior: 3x3x2=3x2x=3x3=x

ÚLTIMO: 3x2=23x

Usa FOIL para multiplicar.
 4x23x2+8x2+x+23x Registre los términos y luego combine términos similares (si es posible). Aquí, no hay términos similares para combinar.

 (4x2+3x)(3x2+2)=4x23x2+8x2+x+23x

Ejercicio

Multiplicar y simplificar.  (4x+3)(2x1),x0

  1.  7
  2.  8x+2x3
  3.  8x2+2x+3
  4.  4x+8x3
Contestar
  1. Incorrecto. Usando el método FOIL, el producto es 8x4x+6x3, lo que simplifica a 8x+2x3. Parece que olvidaste las variables y agregaste 8+23 los coeficientes para llegar a 7. La respuesta correcta es 8x+2x3.
  2. Correcto. Usando el método FOIL, encuentras que el producto de los binomios es 8xx4x+6x3, lo que simplifica a 8x+2x3.
  3. Incorrecto. Recuerda eso 4x2x=42xx=8x, no 8x2. La respuesta correcta es 8x+2x3.
  4. Incorrecto. Has multiplicado los términos variables correctamente, pero tienes los coeficientes incorrectos. Usando el método FOIL, el producto es 8x4x+6x3, lo que simplifica a 8x+2x3. La respuesta correcta es 8x+2x3.

Resumen

Para multiplicar expresiones radicales que contienen más de un término, usa el mismo método que usas para multiplicar polinomios. Primero, usa la Propiedad Distributiva (o, si lo prefieres, el método abreviado FOIL) para multiplicar los términos. Entonces, aplicar las reglas ab=ab, y xx=x multiplicar y simplificar. Por último, combina términos similares.


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