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19.1.2: Trigonometría de Triángulo Recto

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar las longitudes que faltan de los lados de un triángulo rectángulo.
  • Encuentra las longitudes y ángulos faltantes de un triángulo rectángulo.
  • Encuentre los valores exactos de la función trigonométrica para los ángulos que miden30,45, y60.
  • Resolver problemas aplicados mediante trigonometría de triángulo rectángulo.

Introducción

Supongamos que tienes que construir una rampa y no sabes cuánto tiempo tiene que ser. Conoces ciertas medidas de ángulo y longitudes laterales, pero necesitas encontrar las piezas de información que faltan.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.21.09 PM.png

Hay seis funciones trigonométricas, o ratios, que puedes usar para calcular lo que no sabes. Ahora aprenderá a usar estas seis funciones para resolver problemas de aplicaciones de triángulo rectángulo.

Uso del Teorema de Pitágoras en Problemas de Trigonometría

Hay varias formas de determinar la información faltante en un triángulo rectángulo. Una de estas formas es el Teorema de Pitágoras, que afirma quea2+b2=c2.

Supongamos que tiene un triángulo rectángulo en el que a y b son los largos de las piernas, y c es la longitud de la hipotenusa, como se muestra a continuación.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.22.11 PM.png

Si conoces la longitud de cualquiera de los dos lados, entonces puedes usar el Teorema de Pitágoras (a2+b2=c2) para encontrar la longitud del tercer lado. Una vez que conoces todas las longitudes laterales, puedes calcular todas las funciones trigonométricas.

Ejemplo

Problema: Encontrar los valores detanX ysecX.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.23.50 PM.png

Responder

De inmediato se puede encontrar la tangente a partir de la definición y la información en el diagrama.

tanX= opposite  adjacent =125

Para encontrar el valor de la secante, necesitarás la longitud de la hipotenusa. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

\ (\ begin {array} {c}
5^ {2} +12^ {2} =z^ {2}\\
25+144=z^ {2}\\
169=z^ {2}\\
13=z
\ end {array}\)

Ahora calculasecX usando la definición de secante.

secX= hypotenuse  adjacent =z5=135

tanX=125,secX=135

Ejercicio

¿Cuál es el valor decscR?

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.26.35 PM.png

  1. 33
  2. 33
  3. 36
  4. 312
Responder
  1. 33. Incorrecto. EncontrastecosR en vez decscR. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado opuesto. Luego divide la hipotenusa por la longitud opuesta. La respuesta correcta es36.
  2. 33. Incorrecto. Parece que usaste el ángulo equivocado y lo encontrastecscT. Recuerda que los dos ángulos agudos te darán diferentes valores de función trigonométrica. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado opuesto. Divida la hipotenusa por la longitud opuesta. La respuesta correcta es36.
  3. 36. Correcto. Necesitas conocer la longitud del lado opuesto, así que usa el Teorema de Pitágoras:(3)2+r2=32. Esto simplifica a3+r2=9. Resolver esta ecuación te dar=6. Utilizando la definición de cosecante,cscR= hypotenuse  opposite =3r=36.
  4. 312. Incorrecto. Probablemente usó la definición correcta,cscR= hypotenuse  opposite , y usó el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado opuesto,r, pero configuró la ecuación incorrectamente. Debería serlo(3)2+r2=32. La respuesta correcta es36.

Algunos problemas pueden proporcionarle los valores de dos relaciones trigonométricas para un ángulo y pedirle que encuentre el valor de otras relaciones. Sin embargo, realmente solo necesitas conocer el valor de una relación trigonométrica para encontrar el valor de cualquier otra relación trigonométrica para el mismo ángulo.

Ejemplo

Problema: Para ángulo agudoA,tanA=25. Encuentra los valores decosA ysecA.

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.34.31 PM.png

Primero necesitas dibujar un triángulo rectángulo en el quetanA=25.

La tangente es la relación del lado opuesto al lado adyacente. Se muestra el triángulo más simple que puedes usar que tenga esa proporción. Tiene un lado opuesto de longitud 2 y un lado adyacente de longitud 5. Podrías haber usado un triángulo que tiene un lado opuesto de longitud 4 y un lado adyacente de longitud 10. (Solo necesitas la relación para reducir a25).

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa.

\ (\ begin {array} {c}
5^ {2} +2^ {2} =h^ {2}\\
25+4 = h^ {2}\\
29=h^ {2}\
\ sqrt {29} =h
\ end {array}\)

Entonces usa la definición de coseno para encontrarcosA.

cosA= adjacent  hypotenuse =529

Ahora usa el hecho de quesecA=1cosA para encontrarsecA.

secA=1cosA=1529=295

cosA=529,secA=295

Ejemplo

Problema: Si el ánguloX es un ángulo agudo consinX=34, ¿cuál es el valor decotX?

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.38.26 PM.png

En este triángulo rectángulo, porquesinX=34, la relación del lado opuesto a la hipotenusa es34. El triángulo más simple que podemos usar que tenga esa relación sería el triángulo que tiene un lado opuesto de longitud 3 y una hipotenusa de longitud 4.

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud desconocida de la pierna.

\ (\ begin {array} {c}
y^ {2} +3^ {2} =4^ {2}\
y^ {2} +9=16\\
y^ {2} =7\\
y=\ sqrt {7}
\ end {array}\)

Puedes encontrar la cotangente usando la definición.

cotX= adjacent  opposite =y3=73

O puedes encontrar la cotangente encontrando primero la tangente y luego tomando la recíproca.

\ (\ begin {array} {l}
\ tan X=\ frac {\ text {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {3} {y} =\ frac {3} {\ sqrt {7}}\
\ cot X=\ frac {1} {\ tan X} =\ frac {1} {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} =\ frac {\ sqrt {7}} {3}
\ end {array}\)

cotX=73

Solución de triángulos rectos

Determinar todas las longitudes laterales y las medidas de ángulo de un triángulo rectángulo se conoce como resolver un triángulo rectángulo. Veamos cómo hacer esto cuando te dan una longitud lateral y una medida de ángulo agudo. Una vez que aprendas a resolver un triángulo rectángulo, podrás resolver muchas aplicaciones del mundo real, como el problema de rampa al comienzo de esta lección, y las únicas herramientas que necesitarás son las definiciones de las funciones trigonométricas, el Teorema de Pitágoras y una calculadora.

Ejemplo

Problema: Es necesario construir una rampa con las siguientes dimensiones. Resuelve el triángulo rectángulo que se muestra a continuación. Usa las aproximacionescsc202.92 ytan200.364, y da las longitudes a la décima más cercana.

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.42.21 PM.png

Recuerde que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, lo que significa que su suma es90. Ya quemA=20, se deduce quemB=9020=70.

Puedes usar la definición de cosecante para encontrarc. Sustituye la medida del ángulo en el lado izquierdo de la ecuación y usa el triángulo para establecer la relación a la derecha. Resolver la ecuación y redondear al décimo más cercano te dac11.7.

\ (\ begin {array} {c}
\ csc 20^ {\ circ} =\ frac {\ text {hipotenusa}} {\ text {opuesto}}\\
2.92\ approx\ frac {c} {4}\\
4 (2.92)\ c aprox\\
11.68\ c aprox
\ end {array}\)

De manera similar, se puede utilizar la definición de tangente y la medida del ángulo para encontrarb. Resolver la ecuación y redondear al décimo más cercano te dab11.0.

\ (\ begin {array} {c}
\ tan 20^ {\ circ} =\ frac {\ text {opuesto}} {\ texto {adyacente}}\\
0.364\ approx\ frac {4} {b}\
0.364 b\ approx 4\\
b\ approx\ frac {4} {0.364}\ approx 10.989
\ end {array}\)

La rampa debe tener 11.7 pies de largo.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.44.52 PM.png

En el problema anterior, se le dieron los valores de las funciones trigonométricas. En el siguiente problema, necesitarás usar las teclas de función trigonométricas de tu calculadora para encontrar esos valores.

Ejemplo

Problema: Resuelve el triángulo rectángulo que se muestra a continuación. Dar las longitudes a la décima más cercana.

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.46.03 PM.png

Los ángulos agudos son complementarios, lo que significa que su suma es90. Ya que Since mX=46, se deduce quemY=9046=44.

Puedes usar la definición de seno para encontrarx. Usa tu calculadora para encontrar el valor desin46 y el triángulo para configurar la relación a la derecha. Resolver la ecuación y redondear al décimo más cercano te dax5.0.

\ (\ begin {array} {c}
\ sin 46^ {\ circ} =\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {hipotenusa}}\\
0.72\ approx\ frac {x} {7}\\
7 (0.72)\ x aprox\\
5.04\ x aprox
\ end {array}\)

Para encontrary, puedes usar otra función trigonométrica (como el coseno) o bien puedes usar el Teorema de Pitágoras. Resolver la ecuación y redondear al décimo más cercano te day4.9.

\ (\ begin {array} {c}
5.0^ {2} +y^ {2}\ approx 7^ {2}\
25+y^ {2}\ approx 49\\
y^ {2}\ approx 24\\
y\ approx\ sqrt {24}\\
y\ approx 4.899
\ fin {array}\)

Ahora conocemos los tres lados y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.52.12 PM.png

A veces se le puede dar suficiente información sobre un triángulo rectángulo para resolver el triángulo, pero esa información puede no incluir las medidas de los ángulos agudos. En esta situación, necesitarás usar las teclas de función trigonométricas inversas en tu calculadora para resolver el triángulo.

Ejemplo

Problema: Resuelve el triángulo rectángulo que se muestra a continuación, dado esocotN=45. Encuentra las longitudes exactas de los lados y aproxima los ángulos al grado más cercano.

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.54.02 PM.png

No se le da una medida de ángulo, pero puede usar la definición de cotangente para encontrar el valor den.

Usa la relación que te dan en el lado izquierdo y la información del triángulo en el lado derecho. Multiplicar y resolver paran.

\ (\ comenzar {alineado}
\ cot N &=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {opuesto}}\\
\ frac {4} {5} &=\ frac {8} {n}\\
4 n &=40\\
n &=10
\ end {alineado}\)

Utilice el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor dep.

\ (\ begin {array} {c}
10^ {2} +8^ {2} =p^ {2}\\
100+64=p^ {2}\\
164=p^ {2}\
\ sqrt {164} =p
\ end {array}\)

Podemos usar el triángulo para encontrar un valor de la tangente y la clave de tangente inversa en su calculadora para encontrar el ángulo que produce ese valor. El redondeo al grado más cercano,M es aproximadamente39,M39. Restar39, de90 a obtenerN51.

\ (\ begin {array} {c}
\ tan M=\ frac {8} {10} =0.8\\
M=\ tan ^ {-1} 0.8\\
M\ aproximadamente 38.7^ {\ circ}
\ end {array}\)

Ahora conocemos los tres lados y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo.

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.56.50 PM.png

Ejercicio

¿Cuál es el valor dex a la centésima más cercana?

Screen Shot 2021-06-17 a las 10.57.46 PM.png

  1. 4.57
  2. 1.97
  3. 0.90
  4. 0.22
Responder
  1. 4.57. Incorrecto. Probablemente configuraste la relación incorrectamente, igualandocos49 y3x. Una forma correcta de configurar la ecuación escos49=x3. La respuesta correcta es 1.97.
  2. 1.97. Correcto. Una forma de establecer una ecuación correcta es usar la definición de coseno. Esto te darácos49=x3. La solución a esta ecuación es:x=3cos493(0.656)=1.968. Esto ronda a 1.97.
  3. 0.90. Incorrecto. Probablemente configuraste la ecuación correcta,cos49=x3, y la resolviste correctamente. Sin embargo, su calculadora no estaba establecida en grados. La respuesta correcta es 1.97.
  4. 0.22. Incorrecto. Es posible que haya configurado correctamente su ecuación comocos49=x3, pero luego la resolvió incorrectamente comox=cos493. La respuesta correcta es 1.97.

Ángulos Especiales

Como regla general, es necesario utilizar una calculadora para encontrar los valores de las funciones trigonométricas para cualquier medida de ángulo en particular. No obstante, los ángulos que miden304560, y, que verás en muchos problemas y aplicaciones, son especiales. Puedes encontrar los valores exactos de estas funciones sin una calculadora. Veamos cómo.

Supongamos que tenías un triángulo rectángulo con un ángulo agudo que medía45. Dado que los ángulos agudos son complementarios, el otro también debe medir45. Debido a que los dos ángulos agudos son iguales, las piernas deben tener la misma longitud, por ejemplo, 1 unidad.

Screen Shot 2021-06-17 at 11.03.39 PM.png

Se puede determinar la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras.

\ (\ begin {array} {c}
1^ {2} +1^ {2} =h^ {2}\\
1+1=h^ {2}\\
2=h^ {2}\
\ sqrt {2} =h
\ end {array}\)

Ahora tienes todos los lados y ángulos en este triángulo rectángulo.

Screen Shot 2021-06-17 at 11.04.35 PM.png

Puedes usar este triángulo (que a veces se llama90 triángulo4545 - -) para encontrar todas las funciones trigonométricas para45. Una forma de recordar este triángulo es notar que la hipotenusa es2 multiplicada por la longitud de cualquiera de las piernas.

Ejemplo

Problema: Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para denominadores45 y racionalizar, si es necesario.

Responder

Usa las definiciones de seno, coseno y tangente. Observe que debido a que los lados opuestos y adyacentes son iguales, seno y coseno son iguales.

\ (\ begin {array} {c}
\ sin 45^ {\ circ} =\ frac {\ text {opuesto}} {\ texto {hipotenusa}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\
\ cos 45^ {\ circ} =\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}\\
\ tan 45^ {\ circ} =\ frac {1} {1} =1
\ end {array}\)

Utilizar las identidades recíprocas. Observe que debido a que los lados opuestos y adyacentes son iguales, cosecante y secante son iguales.

\ (\ begin {array} {r}
\ csc 45^ {\ circ} =\ frac {1} {\ sin 45^ {\ circ}} =\ frac {1} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} =\ frac {\ sqrt {2}} {1} =\ sqrt {2}\
\ sec 45^ {\ circ} =\ frac {1} {\ cos 45^ {\ circ}} =\ frac {1} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} =\ frac {\ sqrt {2}} {1} =\ sqrt {2}\
\ cuna 45^ {\ circ} =\ frac {1} {tan\ 45^ {\ circ}} =\ frac {1} {1} =1
\ end {array}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ sin 45^ {\ circ} =\ cos 45^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {2}} {2},\ tan 45^ {\ circ} =1\
\ csc 45^ {\ circ} =\ sec 45^ {\ circ} =\ sqrt {2},\ cot 45^ {\ circ} =1
\ end {array}\)

Puedes construir otro triángulo que puedas usar para encontrar todas las funciones trigonométricas para30 y60. Comienza con un triángulo equilátero con longitudes laterales iguales a 2 unidades. Si divide el triángulo equilátero por la mitad, produce dos triángulos con30,60 y90 ángulos. Estos dos triángulos rectos son congruentes. Ambos tienen una hipotenusa de longitud 2 y una base de longitud 1.

Screen Shot 2021-06-17 at 11.08.55 PM.png

Se puede determinar la altura usando el Teorema de Pitágoras.

\ (\ begin {array} {c}
x^ {2} +1^ {2} =2^ {2}\
x^ {2} +1=4\
x^ {2} =3\\
x=\ sqrt {3}
\ end {array}\)

Aquí está la mitad izquierda del triángulo equilátero girada de costado.

Screen Shot 2021-06-17 at 11.09.42 PM.png

Puedes usar este triángulo (que a veces se llama90 triángulo30 -60 -) para encontrar todas las funciones trigonométricas para30 y60. Tenga en cuenta que la hipotenusa es el doble de larga que la pierna más corta, que es opuesta al30 ángulo, de manera que esosin30=12. La longitud de la pierna más larga, que es opuesta al60 ángulo, es3 multiplicada por la longitud de la pierna más corta.

Ejemplo

Problema: Encontrar los valores decos30,tan60,sec30, ycot60. Racionalizar los denominadores, si es necesario.

Responder

Usa las definiciones de seno, coseno y tangente. Para cada ángulo, asegúrese de usar las patas opuestas y adyacentes a ese ángulo. Por ejemplo,3 es opuesto a60, pero adyacente a30.

\ (\ begin {array} {r}
\ cos 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {3}} {2}\
\ tan 60^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {3}} {1} =\ sqrt {3}
\ end {array}\)

Recuerde que secante es el recíproco del coseno y que la cotangente es el recíproco de la tangente. Racionalizar los denominadores.

\ (\ begin {array} {r}
\ sec 30^ {\ circ} =\ frac {1} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} =\ frac {2} {\ sqrt {3}} =\ frac {2} {\ sqrt {3}}\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3} =\ frac {2\ sqrt {3}} {3}
\\ cuna 60^ {\ circ} =\ frac {1} {\ sqrt {3}} =\ frac {1} {\ sqrt {3}}\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3}} =\ frac {\ sqrt {3}}
\ end { matriz}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ cos 30^ {\ circ} =\ frac {\ sqrt {3}} {2},\ seg 30^ {\ circ} =\ frac {2\ sqrt {3}} {3}\
\ tan 60^ {\ circ} =\ sqrt {3},\ cot 60^ {\ circ} =\ frac\ sqrt {3}} {3}
\ end {array}\)

Se puede utilizar la información de los90 triángulos3060 -45 -90 y45 - - para resolver triángulos similares sin necesidad de utilizar una calculadora.

Ejemplo

Problema: ¿Cuál es el valor dex en el triángulo de abajo?

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.16.18 PM.png

Dado que las dos patas tienen la misma longitud, los dos ángulos agudos deben ser iguales, por lo que son cada una45.

En un4590 triángulo, la longitud de la hipotenusa es multiplicada por la longitud de una pierna.45 Puedes usar esta relación para encontrarx. Recuerda racionalizar el denominador.

\ (\ comenzar {alineado}
\ sqrt {2}\ cdot x &=5\\
x &=\ frac {5} {\ sqrt {2}}\\
&=\ frac {5} {\ sqrt {2}}\ cdot\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}\\
&=\ frac {5\ sqrt {2}} {2}
\ final {alineado}\)

Aquí hay otra forma de resolver este problema. Puedes usar la definición de seno para encontrarx.

\ (\ begin {alineado}
\ sin 45^ {\ circ} &=\ frac {x} {5}\\
5\ cdot\ sin 45^ {\ circ} &=x\\
5\ cdot\ frac {1} {\ sqrt {2}} &=x\
\ frac {5} {\ sqrt {2}} &=x\\
x &= frac ac {5\ sqrt {2}} {2}
\ final {alineado}\)

x=522

También podrías haber resuelto el último problema usando el Teorema de Pitágoras, que habría producido la ecuaciónx2+x2=52.

Ejemplo

Problema: Resuelve el triángulo rectángulo que se muestra a continuación.

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.19.44 PM.png

Los ángulos agudos son complementarios, entoncesmA=60. Se trata30 de60 un90 triángulo. Ahora podemos usar las funciones trigonométricas para encontrar las longitudes de los lados faltantes.

Como conocemos todas las medidas de los ángulos, ahora necesitamos encontrar las longitudes de los lados faltantes. Para encontrarc (la longitud de la hipotenusa), podemos usar la función sinusoidal porque sabemos esosin30=12 y conocemos la longitud del lado opuesto.

\ (\ begin {array} {c}
\ sin 30^ {\ circ} =\ frac {4} {c}\
\ frac {1} {2} =\ frac {4} {c}\
c=8
\ end {array}\)

Para encontrara (la longitud del lado opuesto al ánguloA), podemos usar la función tangente porque sabemos esotan60=3 y sabemos la longitud del lado adyacente.

\ (\ begin {array} {c}
\ tan 60^ {\ circ} =\ frac {a} {4}\
\ sqrt {3} =\ frac {a} {4}\\
4\ sqrt {3} =a
\ end {array}\)

Ahora conocemos los tres lados y los tres ángulos. Sus valores se muestran en el dibujo.

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.22.16 PM.png

Ejercicio

Sicosx=12, ¿cuál es el valor decscx?

  1. 2
  2. 33
  3. 63
  4. 233
Responder
  1. 2. Incorrecto. Consulte el90 triángulo3060 - -. A partir de ahí se puede ver esocos60=12. De ello se deduce quex=60. Es posible que haya usado el ángulo incorrecto y encontradocsc30 o usado el ángulo correcto pero encontradosec60. Necesitas encontrarcsc60. La respuesta correcta es233.
  2. \frac{\Incorrect. Refer to the \(30^{\circ}-60 -90 triángulo. A partir de ahí se puede ver esocos60=12. De ello se deduce quex=60. Es posible que hayas encontrado erróneamentecot60. Necesitas encontrarcsc60. La respuesta correcta es233.
  3. 63. Incorrecto. Puede que hayas encontrado correctamentecsc60, pero cometiste un error al racionalizar el denominador. La respuesta correcta es233.
  4. 233. Correcto. Consulte el90 triángulo3060 - -. A partir de ahí se puede ver esocos60=12. De ello se deduce quex=60. Entoncescscx=csc60=23=2333=233.

Uso de la trigonometría en problemas del mundo real

Hay situaciones en el mundo real, como construir una rampa para un muelle de carga, en la que tienes un triángulo rectángulo con cierta información sobre los lados y ángulos, y deseas encontrar medidas desconocidas de lados o ángulos. Aquí es donde entender la trigonometría puede ayudarte.

Ejemplo

Problema: Ben y Emma están fuera volando una cometa. Emma puede ver que la cuerda de cometa que sostiene está haciendo un70 ángulo con el suelo. La cometa está directamente encima de Ben, quien está parado a 50 pies de distancia. Al pie más cercano, ¿cuántos pies de cuerda ha soltado Emma?

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.31.21 PM.png

Queremos encontrar la longitud de la cuerda suelta. Es la hipotenusa del triángulo rectángulo que se muestra.

Dado que la distancia de 50 pies mide el lado adyacente al70 ángulo, puede usar la función coseno para encontrarx.

cos70=50x

Resuelve la ecuación parax. Usa una calculadora para encontrar un valor numérico. La respuesta ronda a 146.

\ (\ begin {array} {c}
x\ cdot\ cos 70^ {\ circ} =50\
x=\ frac {50} {\ cos 70^ {\ circ}}\\
x=\ frac {50} {0.342\ ldots}\\
x=146.19\ ldots
\ end {array}\)

Emma ha soltado aproximadamente 146 pies de cuerda.

En el ejemplo anterior, se le dio un lado y un ángulo agudo. En el siguiente, se le dan dos lados y se le pide que encuentre un ángulo. Encontrar un ángulo generalmente implica el uso de una función trigonométrica inversa. La letra griega theta,θ, se usa comúnmente para representar un ángulo desconocido. En este ejemplo,θ representa el ángulo de elevación.

Ejemplo

Problema: Se coloca una rampa para silla de ruedas sobre un conjunto de escaleras para que un extremo quede a 2 pies del suelo. El otro extremo está en un punto que está a una distancia horizontal de 28 pies de distancia, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el ángulo de elevación al décimo de grado más cercano?

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.34.53 PM.png

Responder

El ángulo de elevación está etiquetadoθ en el diagrama. Las longitudes dadas son los lados opuestos y adyacentes a este ángulo, por lo que puede usar la función tangente para encontrarθ.

Quieres encontrar la medida de un ángulo que te dé un cierto valor tangente. Esto significa que necesitas encontrar la tangente inversa. Recuerda que tienes que usar las teclas 2ND y TAN en tu calculadora. Mira el lugar de las centésimas para redondear a la décima más cercana.

\ (\ begin {alineado}
\ tan\ theta^ {\ circ} &=\ frac {2} {28}\\\ tan\ theta^ {
\ circ} &=\ frac {1} {14}\\ theta^ {\ circ} &=\ tan ^ {-1}
\ izquierda (\ frac {1} {14}\ derecha)\\ theta^\ theta^ {\ theta^ {\ theta^ {\ theta^ {
\ theta^ {eta &=4.0856
\ ldots\ end {alineado}\)

El ángulo de elevación es aproximadamente4.1.

Recuerde que los problemas que involucran triángulos con ciertos ángulos especiales se pueden resolver sin el uso de una calculadora.

Ejemplo

Problema: Se utiliza una barda para hacer un cerramiento triangular con el lado más largo igual a 30 pies, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la longitud exacta del lado opuesto al60 ángulo?

Responder

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.37.42 PM.png

Llama a la longitud desconocidax. Ya que conoces la longitud de la hipotenusa, puedes usar la función sinusoidal.

Se trata30 de60 un90 triángulo. Por lo tanto, puede encontrar el valor exacto de la función trigonométrica sin usar una calculadora.

\ (\ begin {array} {l}
\ sin 60^ {\ circ} =\ frac {x} {30}\
\ frac {\ sqrt {3}} {2} =\ frac {x} {30}
\ end {array}\)

Resuelve la ecuación parax.

x=3032=153

La longitud exacta del lado opuesto al60 ángulo es de 153 pies.

A veces el triángulo rectángulo puede ser parte de un panorama más amplio.

Ejercicio

Un cable de sujeción está unido a un poste telefónico a 3 pies por debajo de la parte superior del poste, como se muestra a continuación. El cable tensor está anclado a 14 pies del poste telefónico y forma un64 ángulo con el suelo. ¿Qué tan alto del poste está conectado el cable de sujeción? Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.

Screen Shot 2021-06-17 a las 11.40.05 PM.png

  1. 14sin6412.6 feet 
  2. 14tan6428.7 feet 
  3. 14tan64+331.7 feet 
  4. 14cos6431.9 feet 
Responder
  1. 14sin6412.6 feet . Incorrecto. Es posible que te hayas confundido en cuanto a qué proporción corresponde a qué función trigonométrica. Es necesario resolver la ecuacióntan64=x14, dondex representa la distancia vertical desde la base del poste telefónico hasta donde está unido el cable de tensado. La respuesta correcta es14tan6428.7 feet .
  2. 14tan6428.7 feet . Correcto. Dejarx representar la distancia vertical desde la base del poste telefónico hasta donde está conectado el cable de sujeción. Entoncestan64=x14. Resolver esta ecuación para tex dax=14tan6428.7 feet .
  3. 14tan64+331.7 feet . Incorrecto. Parece que configuraste y resolviste la ecuación correcta para encontrar la longitud desconocida. No obstante, malinterpretó el problema. Cuando agregaste el 3 encontraste la altura de todo el poste. La respuesta correcta es14tan6428.7 feet .
  4. 14cos6431.9 feet . Incorrecto. Parece que configuraste y resolviste una ecuación para encontrar la longitud del cable (la hipotenusa del triángulo). Es necesario resolver la ecuacióntan64=x14, dondex representa la distancia vertical desde la base del poste telefónico hasta donde está unido el cable de tensado. La respuesta correcta es14tan6428.7 feet .

Resumen

Hay muchas maneras de encontrar las longitudes laterales faltantes o las medidas de ángulo en un triángulo rectángulo. La resolución de un triángulo rectángulo se puede lograr utilizando las definiciones de las funciones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. Este proceso se llama resolver un triángulo rectángulo. Poder resolver un triángulo rectángulo es útil para resolver una variedad de problemas del mundo real, como la construcción de una rampa para sillas de ruedas.

Se pueden encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos que miden30,45, y60. Puedes encontrar valores exactos para los lados en30,45, y60 triángulos si recuerdas esosin45=12 ysin30=12. Para otras medidas de ángulo, es necesario utilizar una calculadora para encontrar valores aproximados de las funciones trigonométricas.


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