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19.1.3: Trigonometría de Círculo Unitario

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Entender círculo de unidad, ángulo de referencia, lado terminal, posición estándar.
  • Encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos que miden3045, y60 usando el círculo unitario.
  • Encuentre los valores exactos de la función trigonométrica de cualquier ángulo cuyo ángulo de referencia mida30,45, o60.
  • Determine los cuadrantes donde el seno, el coseno y la tangente son positivos y negativos.

Introducción

Los matemáticos crean definiciones porque tienen un uso en la solución de ciertos tipos de problemas. Por ejemplo, las seis funciones trigonométricas se definieron originalmente en términos de triángulos rectos porque eso fue útil para resolver problemas del mundo real que involucraban triángulos rectos, como encontrar ángulos de elevación. El dominio, o conjunto de valores de entrada, de estas funciones es el conjunto de ángulos entre0 y90. Ahora aprenderás nuevas definiciones para estas funciones en las que el dominio es el conjunto de todos los ángulos. Las nuevas funciones tendrán los mismos valores que las funciones originales cuando la entrada sea un ángulo agudo. En un triángulo rectángulo solo puedes tener ángulos agudos, pero verás la definición extendida para incluir otros ángulos.

Un uso de estas nuevas funciones es que se pueden usar para encontrar longitudes de lado y medidas de ángulo desconocidas en cualquier tipo de triángulo. Estas nuevas funciones se pueden utilizar en muchas situaciones que no tienen nada que ver con triángulos en absoluto.

Antes de mirar las nuevas definiciones, debe familiarizarse con la forma estándar en que los matemáticos dibujan y etiquetan ángulos.

Ángulos generales

A partir de la geometría, se sabe que un ángulo está formado por dos rayos. Los rayos se encuentran en un punto llamado vértice.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.26.39 PM.png

En trigonometría, los ángulos se colocan en ejes de coordenadas. El vértice siempre se coloca en el origen y un rayo siempre se coloca en elx eje positivo. A este rayo se le llama el lado inicial del ángulo. El otro rayo se llama el lado terminal del ángulo. Este posicionamiento de un ángulo se llama posición estándar. La letra griega theta (θ) se utiliza a menudo para representar una medida de ángulo. A continuación se muestran dos ángulos en posición estándar.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.27.22 PM.png

Cuando se dibuja un ángulo en posición estándar, tiene una dirección. Hay pequeñas flechas curvas en el dibujo anterior. El de la izquierda va en sentido antihorario y se define como un ángulo positivo. El de la derecha va en sentido horario y se define como un ángulo negativo. Si usaras un transportador para medir los ángulos, obtendrías50 en ambos casos. Nos referimos al primero como50 ángulo, y al segundo nos referimos como50 ángulo.

¿Por qué incluso tendrías ángulos negativos? Al igual que con todas las definiciones, es cuestión de conveniencia. Una nave espacial en órbita circular alrededor del ecuador terrestre podría estar viajando en cualquiera de dos direcciones. Entonces se podría decir que viajó por un50 ángulo para indicar que iba en dirección opuesta a una nave espacial que pasaba por un50 ángulo. ¿Por qué es positivo en sentido antihorario? Esto es solo una convención, algo en lo que los matemáticos se han puesto de acuerdo, porque una forma tiene que ser positiva y la otra negativa.

Actividad Interactiva Suplementaria

Para entender cómo los ángulos positivos resultan de la rotación en sentido antihorario y los ángulos negativos resultan de la rotación en sentido horario, pruebe el ejercicio interactivo a continuación. Ingrese una medida de ángulo en el cuadro etiquetado Ángulo y golpee enter o use el control deslizante para mover el lado terminal del ánguloθ a través de los cuadrantes.

*Insertar actividad interactiva

Ejemplo

Problema: Dibuje un160 ángulo en posición estándar.

Contestar

El ángulo es positivo, por lo que comienzas en elx eje -e irás en160 sentido antihorario.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.34.34 PM.png

Ejemplo

Problema: Dibuje un200 ángulo en posición estándar.

Contestar

El ángulo es negativo, por lo que comienzas en elx eje -y vas en200 sentido horario. Recuerda que180 es una línea recta. Eso te llevará alx eje negativo, y luego tienes que ir20 más lejos.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.36.42 PM.png

Observe que los lados terminales en los dos ejemplos anteriores son los mismos, pero representan ángulos diferentes. Se dice que tales pares de ángulos son ángulos coterminales.

Para cada ángulo dibujado en posición estándar, existe un ángulo relacionado conocido como ángulo de referencia. Este es el ángulo formado por el lado terminal y elx eje. El ángulo de referencia siempre se considera positivo, y tiene un valor en cualquier lugar de0 a90. A continuación se muestran dos ángulos en posición estándar.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.37.48 PM.png

Se puede ver que el lado terminal del135 ángulo y elx eje forman un45 ángulo (esto se debe a que los dos ángulos deben sumar180). Este45 ángulo, mostrado en rojo, es el ángulo de referencia para135. El lado terminal del205 ángulo y elx eje forman un25 ángulo. Es25 porque205=180+25. Este25 ángulo, mostrado en rojo, es el ángulo de referencia para205.

Aquí hay dos ángulos más en posición estándar.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.41.28 PM.png

El lado terminal del300 ángulo y elx eje forman un60 ángulo (esto se debe a que los dos ángulos deben sumar360). Este60 ángulo, mostrado en rojo, es el ángulo de referencia para300. El lado terminal del90 ángulo y elx eje forman un90 ángulo. El ángulo de referencia es el mismo que el ángulo original en este caso. De hecho, cualquier ángulo de0 a90 es el mismo que su ángulo de referencia.

Ejemplo

Problema: ¿Para qué sirve el ángulo de referencia100?

Contestar

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.45.57 PM.png

El lado terminal se encuentra en el Cuadrante II. El ángulo original y el ángulo de referencia forman juntos una línea recta a lo largo delx eje, por lo que su suma es180.

Por lo tanto, el ángulo de referencia es80.

El ángulo de referencia para180 es80.

Ejemplo

Problema: ¿Para qué sirve el ángulo de referencia70?

Contestar

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.47.41 PM.png

El lado terminal y elx eje forman el “mismo” ángulo que el original. Un ángulo de referencia es siempre un número positivo, por lo que el ángulo de referencia aquí es70, mostrado en rojo.

El ángulo de referencia para70 es70.

Ejercicio

¿Para qué sirve el ángulo de referencia310?

  1. 40
  2. 50
  3. 40
  4. 50
Contestar
  1. 40. Incorrecto. Es posible que hayas dibujado correctamente el ángulo en posición estándar, girando en sentido antihorario y aterrizando en el cuarto cuadrante. Sin embargo, es posible que haya mirado el ángulo formado por el lado terminal y ely eje -en lugar delx eje -eje. La respuesta correcta es50.
  2. 50. Correcto. En posición estándar, el ángulo girará en sentido antihorario a través del primer, segundo, tercero y hacia el cuarto cuadrante. El ángulo de referencia y el ángulo original juntos forman un círculo completo, o360. Por lo tanto, el ángulo de referencia es360310=50.
  3. 40. Incorrecto. Es posible que hayas dibujado correctamente el ángulo en posición estándar, girando en sentido antihorario y aterrizando en el cuarto cuadrante. Sin embargo, es posible que haya mirado el ángulo formado por el lado terminal y ely eje -en lugar delx eje -eje. Además, el ángulo de referencia siempre es positivo. La respuesta correcta es50.
  4. 50. Incorrecto. Es posible que hayas dibujado correctamente el ángulo en posición estándar, girando en sentido antihorario y aterrizando en el cuarto cuadrante. Sin embargo, es posible que haya confundido el ángulo de referencia con un ángulo coterminal. Recuerda que el ángulo de referencia siempre es positivo. La respuesta correcta es50.

Un círculo unitario es un círculo que está centrado en el origen y tiene un radio 1, como se muestra a continuación.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.53.06 PM.png

Si(x,y) son las coordenadas de un punto en el círculo, entonces se puede ver desde el triángulo rectángulo en el dibujo y el Teorema de Pitágoras quex2+y2=1. Esta es la ecuación del círculo unitario.

La definición general de las funciones trigonométricas

El90 triángulo3060 - se ve abajo a la izquierda. Junto a eso hay un30 ángulo dibujado en posición estándar junto con un círculo unitario.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.54.59 PM.png

Los dos triángulos tienen los mismos ángulos, por lo que son similares. Por lo tanto, los lados correspondientes son proporcionales. La hipotenusa de la derecha tiene longitud 1 (porque es un radio). Dado que esta es la mitad de la hipotenusa de la izquierda, todos los lados de la derecha son la mitad de los lados correspondientes a la izquierda. Por ejemplo, el lado adyacente al30 ángulo de la izquierda es3; por lo tanto, el lado correspondiente en el triángulo de la derecha tiene que ser la mitad de eso, o32.

Mira el triángulo derecho a la izquierda. Usando las definiciones de seno y coseno:

cos30=32 and sin30=12

Ahora mira el punto donde el lado terminal intersecta el círculo unitario. Lax coordenada -es igual acos30, y lay coordenada -es igual asin30. Esto no es una coincidencia. Veamos un caso más general.

Supongamos que dibuja cualquier ángulo agudoθ en posición estándar junto con un círculo unitario, como se ve a continuación.

Screen Shot 2021-06-21 a las 10.57.46 PM.png

El lado terminal del ángulo intersecta el círculo unitario en el punto(x,y). Escribamos las definiciones de las seis funciones trigonométricas y luego las reescribamos haciendo referencia al triángulo anterior y usando las variablesx yy.

\ (\ begin {array} {cc}
\ sin\ theta=\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}} =\ frac {y} {1} =y &\ csc\ theta=\ frac {\ text {hipotenusa}} {\ text {opuesto}} =\ frac {1} {y}\
\ cos\ theta=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}} =\ frac {x} {1} =x &\ seg\ theta=\ frac {\ text { hipotenusa}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {1} {x}\
\\ tan\ theta=\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {y} {x} &\ cuna\ theta=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {opuesto}} =\ frac {x} {y} final
\ {matriz}\)

La primera ecuación y la de abajo, con los pasos medios recortados, te dicen:

sinθ=y and cosθ=x

Ahora se puede ver que lay coordenada -de este punto siempre es igual al seno del ángulo, y lax coordenada -de este punto siempre es igual al coseno del ángulo.

Ahora considere cualquier ánguloθ en posición estándar junto con un círculo unitario. El lado terminal cruzará el círculo en algún momento(x,y). Dependiendo del ángulo, ese punto podría estar en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.00.02 PM.png

El seno del ánguloθ es igual a lay coordenada -de este punto y el coseno del ánguloθ es igual a lax coordenada -de este punto. De hecho, las seis funciones trigonométricas para cualquier ángulo ahoraθ están definidas por las seis ecuaciones enumeradas anteriormente.

Los siguientes ejemplos te ayudarán a confirmar que cuandoθ es un ángulo agudo, estas nuevas definiciones te dan los mismos resultados que las definiciones originales.

Ejemplo

Problema: Dibuje un45 ángulo en posición estándar junto con un círculo unitario. Confirme que lasy coordenadasx - y -del punto de intersección del lado terminal y el círculo son iguales acos45 ysin45.

Contestar

Comienza con el90 triángulo4545 - -. Después dibuja el45 ángulo en posición estándar.

Screen Shot 2021-06-21 at 11.09.48 PM.png

Este triángulo circular unitario es similar al90 triángulo4545 - -. Cada longitud de lado se puede obtener dividiendo las longitudes del90 triángulo4545 - por2. Entonces, cada pata en el triángulo del círculo unitario es:12=1222=22

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.10.58 PM.png

Mira lasy coordenadasx - y -del punto en el círculo unitario, luego usa el triángulo para encontrarcos45 ysin45.

\ (\ begin {array} {l}
\ text {De las coordenadas en el}\\
\ text {círculo unitario:} x=\ frac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {array}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ text {Del triángulo:}\\
\ cos 45^ {\ circ} =\ frac {\ text {adyacente}} {\ text {hipotenusa}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {2}
\ end {array}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ text {De las coordenadas en el}\\
\ text {círculo unitario:} y=\ frac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {array}\)

\ (\ begin {array} {l}
\ text {Del triángulo:}\\
\ sin 45^ {\ circ} =\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}} =\ frac {1} {\ sqrt {2}} =\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {2}
\ end {array}\)

Lax coordenada -es igual acos45, y lay coordenada -es igual asin45.

 Yes, x=cos45 and y=sin45 . 

En los siguientes dos ejemplos, las etiquetas angulares de37 y53 son en realidad aproximaciones muy cercanas. La idea principal de los ejemplos (que aquellas fracciones que involucranx yy son iguales a las diversas funciones trigonométricas) sigue siendo cierta.

Ejemplo

Problema: Dibuje un37 ángulo en posición estándar junto con un círculo unitario. Usa el triángulo de abajo para encontrar lasy coordenadasx - y -del punto de intersección del lado terminal y el círculo. Cómputosyx yxy. Confirmar que son iguales atan37 ycot37.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.16.38 PM.png

Contestar

Dibuja el37 ángulo en posición estándar. El triángulo circular unitario es similar al triángulo rectángulo 3 - 4 - 5. Debido a que esta hipotenusa equivale a la hipotenusa original dividida por 5, puedes encontrar las longitudes de las piernas dividiendo las longitudes originales de las piernas por 5.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.17.43 PM.png

Encuentra lasy coordenadasx - y -.

x=45,y=35

Compute las proporciones. Compara los resultados con lo que obtendríastan37 ycot37 usando el triángulo original. ¡Ellos son lo mismo!

\ (\ begin {array} {l}
\ frac {y} {x} =\ frac {\ frac {3} {5}} {\ frac {4} {5}} =\ frac {3} {5}\ cdot\ frac {5} {4} =\ frac {3} {4}\
\ tan 37^ {\ circ} =\ frac {texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {3} {4}\
\ frac {x} {y} =\ frac {\ frac {4} {5}} {\ frac {3} {5}} =\ frac {4} {5}\ cdot\ frac {5} {3} =\ frac {4} {3} }\\
\ cuna 37^ {\ circ} =\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {opuesto}} =\ frac {4} {3}
\ end {array}\)

 So yes, yx=tan37 and xy=cot37

Ejemplo

Problema: Dibuje un53 ángulo en posición estándar junto con un círculo unitario. Usa el triángulo de abajo para encontrar lasy coordenadasx - y -del punto de intersección del lado terminal y el círculo. Cómputos1x y1y. Confirmar que son iguales asec53 ycsc53.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.21.24 PM.png

Contestar

Dibuja el53 ángulo en posición estándar. El triángulo circular unitario es similar al triángulo rectángulo 3 - 4 - 5. Debido a que esta hipotenusa equivale a la hipotenusa original dividida por 5, puedes encontrar las longitudes de las piernas dividiendo las longitudes originales de las piernas por 5.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.22.32 PM.png

Encuentra lasy coordenadasx - y -.

x=35,y=45

Compute las proporciones. Compara los resultados con lo que obtendríassec53 ycsc53 usando el triángulo original. ¡Ellos son lo mismo!

 Yes, 1x=sec53 and 1y=csc53

Las tres primeras de nuestras nuevas definiciones nos llevan a una identidad más importante:

sinθ=y,cosθ=x,tanθ=yx

Podemos reemplazary porsinθ yx por dentrocosθtanθ=yx para obtener la identidad de trigonometríatanθ=sinθcosθ.

tanθ=yx=sinθcosθ

Dado que la cotangente es el recíproco de la tangente, esto le da otra identidad trigonométrica.

tanθ=sinθcosθ and cotθ=cosθsinθ

Recuerde, una identidad es verdadera para cada valor posible de la variable. Entonces, no importa qué ángulo estés usando, los valores de tangente y cotangente están dados por estos cocientes.

Si bien algunos libros de texto dan definiciones generales ligeramente diferentes de las funciones trigonométricas, lo importante que hay que saber es que terminan dándote los mismos valores que las definiciones ya dadas a ti.

Por ejemplo, comience con un círculo de radior (en lugar del radio 1) y un ánguloθ en posición estándar. El lado terminal cruzará el círculo en algún momento(x,y). Ese punto podría estar en cualquier cuadrante, pero mostramos uno en el primer cuadrante.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.31.15 PM.png

Ahora escribe las definiciones originales y luego vuelve a escribirlas usando las variablesx,y, yr.

\ (\ begin {array} {lr}
\ sin\ theta=\ frac {\ text {opuesto}} {\ texto {hipotenusa}} =\ frac {y} {r} &\ csc\ theta=\ frac {\ text {hipotenusa}} {\ text {opuesto}} =\ frac {r} {y}\\
\ cos\ theta=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}} =\ frac {x} {r} &\ seg\ theta=\ frac {\ text { hipotenusa}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {r} {x}\
\\ tan\ theta=\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {y} {x} &\ cuna\ theta=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {opuesto}} =\ frac {x} {y} final
\ {matriz}\)

Estas seis fracciones se utilizan como definiciones generales de las funciones trigonométricas para cualquier ánguloθ, en cualquier cuadrante.

Ejemplo

Problema: Calcularyx usando el diagrama de abajo. Confirmar que esto es lo mismo que el valor detan30.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.34.01 PM.png

Contestar

El diagrama anterior contiene un90 triángulo3060 - -.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.35.06 PM.png

La hipotenusa es igual al radio, por lo que es de 10. El lado opuesto30 es la mitad de 10, o 5. El lado adyacente es3 veces el lado opuesto, o53.

Los lados del triángulo te dan los valores dex yy en el primer diagrama.

\ (\ begin {array} {c}
y=5\\
x=5\ sqrt {3}
\ end {array}\)

Sustituir estos en la definición.

tanθ=yx=553=55333=5353=33

Aquí está nuestro estándar30 -60 -90 triángulo.

Screen Shot 2021-06-21 a las 11.37.19 PM.png

Calculartan30 usando la definición del triángulo rectángulo.

\ tan 30^ {\ circ} =\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {1} {\ sqrt {3}} =\ frac {1} {\ sqrt {3}}\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3}} =\ frac {\ sqrt {3}}

 So yes, yx=33=tan30

Uso de las Definiciones Generales de las Funciones Trigonométricas

Se le han dado definiciones nuevas o “generales” de las seis funciones trigonométricas y han visto que, cuando computas estas funciones usando ángulos agudos, el resultado es el mismo que el resultado que obtendrías al usar las definiciones originales. Ahora aprenderás a aplicar estas definiciones a ángulos que no son agudos y a ángulos negativos.

Dado cualquier ánguloθ, dibuje en posición estándar junto con un círculo unitario. El lado terminal cruzará el círculo en algún punto (x,y), como se muestra a continuación.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.13.48 PM.png

Aquí nuevamente están las definiciones generales de las seis funciones trigonométricas utilizando un círculo unitario.

sinθ=y cscθ=1y
cosθ=x secθ=1x
tanθ=yx cotθ=xy

Ahora usemos estas definiciones con los ángulos30,150,210, y330. Ya lo has hecho por30. Aquí está ese dibujo:

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.18.06 PM.png

Los ángulos150,210, y330 tienen algo en común. Cada uno de ellos tiene un ángulo de referencia de30, como se puede ver en los dibujos a continuación. Debido a esto, es fácil encontrar las coordenadas de los puntos donde los lados terminales se cruzan con el círculo unitario usando el dibujo anterior.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.19.02 PM.png

  • Para el ángulo150, este punto de intersección es la imagen especular de(32,12) sobre ely eje, por lo que las coordenadas para150 son(32,12).
  • Para el ángulo210, este punto es la imagen especular de(32,12) sobre elx eje, por lo que las coordenadas para210 son(32,12).
  • Para el ángulo330, este punto es la imagen especular de(32,12) sobre elx eje, por lo que las coordenadas para330 son(32,12).

Ahora puede encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para150,210, y330. Escojamos algunas funciones trigonométricas y evaluémoslas usando estos ángulos. Por ejemplo, usando el diagrama más a la izquierda anterior y la definición de coseno:

\ (\ begin {alineado}
\ cos\ theta &=x\\
\ cos 150^ {\ circ} &=\ frac {-\ sqrt {3}} {2}
\ end {alineado}\)

Usando el diagrama central y la definición de cotangente:

\ (\ begin {array} {c}
\ cuna\ theta=\ frac {x} {y}\
\ cuna 210^ {\ circ} =\ frac {\ frac {-\ sqrt {3}} {2}} {-\ frac {1} {2}} =\ frac {-\ sqrt {3}} {2}\ cdot\ frac {2}} {-1} =\ frac {-\ sqrt {3}} {-1} =\ sqrt {3}
\ end {array}\)

Usando el diagrama más a la derecha y la definición de cosecante:

\ (\ begin {array} {c}
\ csc\ theta=\ frac {1} {y}\
\ csc 330^ {\ circ} =\ frac {1} {-\ frac {1} {2}} =-2
\ end {array}\)

Si tomas el dibujo de arriba con el30 ángulo en posición estándar, y giras el triángulo para que la pata más corta quede sobre elx eje, obtienes un dibujo de un60 ángulo en posición estándar, como se ve a continuación.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.25.47 PM.png

Puede utilizar la información de este diagrama para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para cualquier ángulo que tenga un ángulo de referencia de60.

Ejemplo

Problema: Determinarcos(300) ysec(300).

Contestar

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.27.36 PM.png

Dibuja300 en posición estándar y encuentra el ángulo de referencia. Encuentra lax coordenada -del punto (x,y) donde el lado de la terminal intersecta el círculo unitario. Porquecos60=12, ya sabemosx=12.

Usa la definición de coseno. Sustituya el valor de lax coordenada -que encontraste arriba.

\ (\ begin {array} {c}
\ cos\ theta=x\
\ cos 300^ {\ circ} =\ frac {1} {2}
\ end {array}\)

Usa la definición de secante. Sustituya el valor de lax coordenada -que encontraste arriba. Tenga en cuenta que, al igual que con los ángulos agudos, la secante y el coseno son recíprocos.

\ (\ begin {array} {c}
\ seg\ theta=\ frac {1} {x}\\
\ seg 300^ {\ circ} =\ frac {1} {\ frac {1} {2}} =2
\ end {array}\)

cos300=12,sec300=2

El procedimiento es el mismo aunque el ángulo sea negativo. Recuerda que un ángulo negativo es simplemente aquel cuya dirección es en sentido horario.

Ejemplo

Problema: Encontrar los valores desin(120) ycsc(120).

Contestar

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.31.38 PM.png

Dibuja120 en posición estándar y encuentra el ángulo de referencia. Encuentra lay coordenada -del punto (x,y) donde el lado de la terminal intersecta el círculo unitario.

Porquesin60=32 y estamos en el tercer cuadrante, lo sabemosy=32.

Usa la definición de seno. Sustituya el valor de lay coordenada -que encontraste arriba.

\ (\ begin {array} {c}
\ sin\ theta=y\\
\ sin\ izquierda (-120^ {\ circ}\ derecha) =-\ frac {\ sqrt {3}} {2}
\ end {array}\)

Utilizar la definición de cosecante. Sustituya el valor de lay coordenada -que encontraste arriba. Racionalizar el denominador. Obsérvese que, al igual que con los ángulos agudos, el cosecante y el seno son recíprocos.

\ (\ begin {alineado}
\ csc\ theta &=\ frac {1} {y}\\ csc
\ izquierda (-120^ {\ circ}\ derecha) =\ frac {1} {\ frac {-\ sqrt {3}} {2}} &=-\ frac {2} {\ sqrt {3}}\ cdot\ frac {\ sqrt {3}}\ cdot\ frac {\ sqrt {\ sqrt {3} {3}} {\ sqrt {3}} =-\ frac {2\ sqrt {3}} {3}
\ final {alineado}\)

sin(120)=32,csc(120)=233

Observe los resultados de los dos últimos ejemplos y observe lo siguiente:

En cada caso, el valor de la función trigonométrica fue el mismo que el valor de esa función para el ángulo de referencia (60), o el negativo del valor de esa función para el ángulo de referencia. ¿Por qué sucedió esto? Los cálculos para60 se realizaron usando el punto(12,32). Los cálculos para300 y120 se realizaron usando los puntos(12,32) y(12,32). Lasx coordenadas -tienen el mismo valor absoluto. Lasy coordenadas -también tienen el mismo valor absoluto. Cuando sustituyas en las expresionesx,1x,y, y1y, el resultado será el mismo, o tendrá un signo negativo.

Obtendrás un resultado similar con otros ángulos. Por lo que el procedimiento para encontrar el valor de una función trigonométrica simplifica a lo siguiente:

  • Determinar el ángulo de referencia.
  • Calcular el valor de la función trigonométrica del ángulo de referencia.
  • Determinar si el valor de la función es positivo o negativo.

Probemos este procedimiento en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Problema:tan(45) Cómputo ycot(45).

Contestar

Dibuja el ángulo en posición estándar. El ángulo de referencia es45.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.43.16 PM.png

Usa el90 triángulo4545 - -. El valor detan45 es 1.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.44.38 PM.png

En el primer diagrama, ponemos un signo + para indicar quex es positivo, y un signo - para indicar quey es negativo. Use esto para determinar el signo detan(45).

tan(45)=yx=()(+)=()

Dado que el resultado fue negativo, el valor detan(45) es negativo.

tan(45)=tan45=1

Se puede pasar por un procedimiento similar con cotangente o utilizar el hecho de que es el recíproco de tangente.

cot(45)=1tan(45)=11=1

\ (\ begin {array} {l}
\ tan\ left (-45^ {\ circ}\ derecha) =-1\\
\ cot\ izquierda (-45^ {\ circ}\ derecha) =-1
\ end {array}\)

Los ángulos cuyas medidas son múltiples90 tienen lados terminales en los ejes. Esto puede resultar confuso, porque el lado terminal no está en un cuadrante, sino más bien en una frontera entre cuadrantes. Entonces veamos estos ángulos por separado. El siguiente dibujo muestra los puntos de intersección de los lados terminales de0,90,180, y270 con el círculo unitario.

Screen Shot 2021-06-22 a las 10.48.53 PM.png

Puede utilizar este dibujo y las definiciones para encontrar las funciones trigonométricas para (0^ {\ circ}\),90,180, y270. Por ejemplo:

\ (\ begin {array} {c}
\ sin\ theta=y\\
\ sin 0^ {\ circ} =0\\
\ sin 90^ {\ circ} =1\\
\ sin 180^ {\ circ} =0\\
\ sin 270^ {\ circ} =-1
\ end {array}\)

Para las seis funciones, se sustituyen los valores dex yy como lo hizo antes. No obstante, ¿qué pasa si intentas calculartan90 usando la definicióntanθ=yx?

\ (\ begin {array} {c}
\ tan\ theta=\ frac {y} {x}\\
\ tan 90^ {\ circ} =? \ frac {1} {0}
\ end {array}\)

No se puede dividir por 0, entoncestan90 es simplemente indefinido. De igual manera,csc180 es indefinido, porque si intentas aplicar la definición, terminarás dividiendo por 0. Lo mismo ocurre cada vez que una de las definiciones lleva a la división por 0: la función trigonométrica no está definida para ese ángulo.

Ejercicio

¿Cuáles son los valores decos90 ycot180?

  1. cos90=0 and cot180=0
  2. cos90=0 and cot180= undefined 
  3. cos90=1 and cot180=0
  4. cos90=1 and cot180= undefined 
Contestar
  1. cos90=0 and cot180=0. Incorrecto. El valor para coseno es correcto. Sin embargo, al evaluar la cotangente, es posible que haya cambiado lasy coordenadasx - y -. La respuesta correcta es B.
  2. cos90=0 and cot180= undefined . Correcto. Desdecosθ=x y90 corresponde al punto (0,1),cos90=0. Ahoracotθ=xy y180 corresponde al punto (-1,0). Si intentaras aplicar la definición estarías dividiendo por 0, porquey=0. Esto quiere decir que nocot180 está definido.
  3. cos90=1 and cot180=0. Incorrecto. Al evaluar ambas funciones, es posible que haya cambiado lasy coordenadasx - y -. La respuesta correcta es B.
  4. cos90=1 and cot180= undefined . Incorrecto. El valor de cotangente es correcto. Sin embargo, al evaluar el coseno, es posible que haya cambiado lasy coordenadasx - y -. La respuesta correcta es B.

Puede utilizar los siguientes gráficos para ayudarle a recordar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de referencia030,45,60, y90 para seno y coseno. Una vez que se tienen estos, se puede obtener el valor de tangente de la identidadtanθ=sinθcosθ, y los valores de las otras tres funciones trigonométricas utilizando reciprocales.

Haz una tabla de la siguiente manera:

0 30 45 60 90
seno
coseno

Como paso inicial, ponga los números 0, 1, 2, 3 y 4 en la fila “seno” y 4, 3, 2, 1 y 0 en la fila “coseno”. Haz esto a lápiz. ¡Vas a reemplazar estos números!

0 30 45 60 90
seno 0 1 2 3 4
coseno 4 3 2 1 0

Ahora reemplace los números del 0 al 4 tomando sus raíces cuadradas y dividiendo por 2. Las filas ahora contienen los valores correctos, pero no simplificados, para seno y coseno.

0 30 45 60 90
seno 02 12 22 32 42
coseno 42 32 22 12 02

Se puede simplificar0 a 0,1 a 1 y4 a 2, y luego dividir por 2. Esto te dará la tabla final con los valores correctos de seno y coseno en estos ángulos.

0 30 45 60 90
seno 0 12 22 32 1
coseno 1 32 22 12 0

Determinación del Signo de las Funciones Trigonométricas

Primero aprendiste las definiciones de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo. Después aprendiste las definiciones generales de estas funciones, que pueden ser utilizadas para cualquier ángulo, y el método para aplicarlas. Finalmente, aprendiste un procedimiento más sencillo para encontrar los valores de las funciones trigonométricas:

  • Determinar el ángulo de referencia.
  • Calcular el valor de la función trigonométrica del ángulo de referencia.
  • Determinar si el valor de la función es positivo o negativo.

Ahora aprenderás una manera fácil de recordar dónde son positivas las funciones trigonométricas y dónde son negativas.

La función sinusoidal: ya quesinθ=y, seno es positivo cuandoy>0. Esto ocurre en los Cuadrantes I y II.

La función coseno: ya quecosθ=x, coseno es positivo cuandox>0. Esto ocurre en los Cuadrantes I y IV.

La función tangente: ya quetanθ=yx, tangente es positiva cuandox y ambasy son positivas o ambas negativas. Esto ocurre en los Cuadrantes I y III.

Podemos resumir esta información por cuadrante:

Cuadrante I: seno, coseno y tangente son positivos.

Cuadrante II: el seno es positivo (coseno y tangente son negativos).

Cuadrante III: la tangente es positiva (seno y coseno son negativos).

Cuadrante IV: el coseno es positivo (el seno y la tangente son negativos).

Deje que A represente todos (tres funciones, seno, coseno y tangente), S significa seno, T significa tangente y C significa coseno. Ahora puedes usar estas letras simples para recordar en qué cuadrante seno, coseno y tangente son positivos. El paso final es reemplazar cada letra por una palabra para darte una frase que sea fácil de recordar: “A ll S tudents T ake C alculus”. Yendo en sentido antihorario, coloca estas palabras en los cuatro cuadrantes.

Screen Shot 2021-06-22 a las 11.15.37 PM.png

Ahora si miras en el Cuadrante II, por ejemplo, ves la palabra S tudentes. La S te dice que el s ine es positivo (mientras que el coseno y la tangente son negativos).

Ejemplo

Problema: ¿Qué señales sontan200 ycos200?

Contestar

Ya que200=180+20, está en el Cuadrante III.

La palabra “Tomar” representa el hecho de que la tangente es positiva, asítan200 es positiva.

El seno y el coseno son negativos en el Cuadrante III, por lo quecos200 es negativo.

\ (\ begin {array} {l}
\ tan 200^ {\ circ}\ text {es positivo y}\\
\ cos 200^ {\ circ}\ text {es negativo.}
\ end {array}\)

Ejemplo

Problema: ¿En qué cuadrante debe estar un ángulo si su seno es positivo y su tangente es negativa?

Contestar

Las palabras “Todos” y “Estudiantes” nos dicen que el seno es positivo en los Cuadrantes I y II.

La tangente es positiva en el Cuadrante I, pero negativa en el Cuadrante II.

Cuadrante II

Este dispositivo se aplica a las funciones seno, coseno y tangente. Las otras tres funciones trigonométricas son recíprocas de estas tres. Recordemos el hecho básico de que el recíproco de un número positivo es positivo, y el recíproco de un número negativo es negativo. Esto implica que seno y cosecante tienen el mismo signo, coseno y secante tienen el mismo signo, y tangente y cotangente tienen el mismo signo. Entonces, si quieres conocer el signo de cosecante, secante o cotangente, encuentra el signo de seno, coseno, o tangente, respectivamente.

Ejercicio

¿Qué señales soncos(25) ysec(25)?

  1. Ambos son positivos.
  2. Ambos son negativos.
  3. cos(25)> 0 ysec(25) < 0
  4. cos(25)< 0 ysec(25) > 0
Contestar
  1. Ambos son positivos. Correcto. 25El ángulo está en el Cuadrante IV. La palabra “Cálculo” te dice que el coseno es positivo. Dado que la secante es el recíproco del coseno, también es positiva.
  2. Ambos son negativos. Incorrecto. Quizás pensaste que debido a que el ángulo es negativo, los valores de estas funciones serían negativos. Los valores dependen del cuadrante en el que se encuentra el ángulo. Ángulo25 se encuentra en el Cuadrante IV. La respuesta correcta es A.
  3. cos(25)> 0 ysec(25) < 0. Incorrecto. El signo del coseno es correcto. Quizás pensaste que cuando tomas un recíproco, el signo cambia, pero el signo no cambia. Por lo tanto, secante y coseno tienen el mismo signo. La respuesta correcta es A.
  4. cos(25)< 0 ysec(25) > 0. Incorrecto. El signo de secante es correcto. Quizás pensaste que debido a que el ángulo es negativo, el valor del coseno sería negativo. Los valores dependen del cuadrante en el que se encuentra el ángulo. Ángulo25 se encuentra en el Cuadrante IV. La respuesta correcta es A.

Resumen

Las funciones trigonométricas se definieron originalmente para ángulos agudos. Existen definiciones generales de estas funciones, las cuales se aplican a ángulos de cualquier tamaño, incluidos los ángulos negativos. Los valores de las funciones trigonométricas se calculan encontrando el ángulo de referencia, determinando el valor de la función trigonométrica del ángulo de referencia, y luego determinando si el valor de la función es positivo o negativo. Una manera útil de recordar este último paso es “A ll S tudents T ake C alculus”.


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