2.2: Ubicación del Centro
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El centro de una población es muy importante. Esto describe dónde espera encontrar valores. Si sabes que esperas ganar $50,000 anuales cuando te gradúes de la universidad y estás empleado en tu campo de estudio, entonces esa es la ubicación del centro. No significa que todos ganarán esa cantidad. Simplemente significa que ganarás alrededor de esa cantidad. La ubicación del centro también se conoce como la media. Hay tres tipos de promedios: media, mediana y modo.
Media: La media es el tipo de promedio que la mayoría de la gente suele llamar “el promedio”. Toma todos los valores de datos, encuentra su suma y luego divide por el número de valores de datos. Nuevamente, estarás usando el estadístico de muestra para estimar el parámetro de población, por lo que necesitamos fórmulas y símbolos para cada uno de estos.
Media de Población:
\[\mu=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}}{N}=\frac{\sum x}{N} \nonumber \]
donde\(N\) = tamaño de la población
\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}\)son valores de datos
Nota:\(\sum x = x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}\) es una forma abreviada de escribir agregando un montón de números juntos
Media de la Muestra:
\[\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}}{n}=\frac{\sum x}{n} \nonumber \]
donde\(n\) = tamaño de la muestra
\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}\)son valores de datos
Nota:\(\sum x = x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{N}\) es una forma abreviada de escribir agregando un montón de números juntos
Mediana: Este es el valor que se encuentra en la mitad del conjunto de datos ordenados.
La mayoría de los libros dan una larga explicación de cómo encontrar la mediana. Lo más fácil de hacer es poner los números en orden y luego contar desde ambos lados adentro, un valor de datos a la vez, hasta llegar al medio. Si hay un valor de datos medio, entonces esa es la mediana. Si hay dos valores de datos medios, entonces la mediana es la media de esos dos valores de datos. Si tienes un conjunto de datos realmente grande, entonces estarás usando la tecnología para encontrar el valor. No hay símbolo ni fórmula para la mediana, ni población ni muestra.
Modo: Este es el valor de datos que ocurre con mayor frecuencia.
El modo es el único promedio que se puede encontrar en las variables cualitativas, ya que solo se busca el valor de datos con la frecuencia más alta. El modo no se usa muy a menudo de lo contrario. No hay símbolo ni fórmula para el modo, ni población ni muestra. A diferencia de los otros dos promedios, puede haber más de un modo o no podría haber modo. Si tienes dos modos, se llama bimodal. Si hay tres modos, entonces se llama trimodal. Si tienes más de tres modos, entonces no hay modo. También puede tener un conjunto de datos donde no se producen valores con mayor frecuencia, en cuyo caso no hay modo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Encontrar la media, la mediana y el modo (número impar de valores de datos)
Los primeros 11 días de mayo de 2013 en Flagstaff, AZ, tuvieron las siguientes temperaturas altas (en °F)
| 71 | 59 | 69 | 68 | 63 | 57 |
| 57 | 57 | 57 | 65 | 67 |
(Tiempo Subterráneo, n.d.)
Encuentre la media, la mediana y el modo para la temperatura alta
Solución
Ya que solo hay 11 días, entonces esta es una muestra.
Media:
\(\overline{x} = \dfrac{71 + 59 + 69 + 68 + 63 + 57 + 57 + 65 + 67} {11} \)
\(= \dfrac{690}{11}\)
\(\approx 62.7 ^{\circ} F\)
Mediana:
Primero ponga los datos en orden de menor a mayor.
57, 57, 57, 57, 59, 63, 65, 67, 68, 69, 71
Ahora trabaja desde afuera adentro, hasta llegar al número medio.
Entonces la mediana es 63°F
Modo:
De la lista ordenada es fácil ver que 57 ocurre cuatro veces y no ocurren otros valores de datos con tanta frecuencia. Entonces el modo es de 57°F.
Ahora podemos decir que la temperatura alta esperada a principios de mayo en Flagstaff, Arizona es de alrededor de los 63°F.
Solución
Agrega texto aquí.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Encontrar la media, la mediana y el modo (número par de valores de datos)
Ahora veamos los primeros 12 días de mayo de 2013 en Flagstaff, AZ. Las siguientes son las altas temperaturas (en °F)
| 71 | 59 | 69 | 68 | 63 | 57 |
| 57 | 57 | 57 | 65 | 67 | 73 |
(Tiempo Subterráneo, n.d.)
Encuentra la media, mediana y modo para la temperatura alta.
Solución
Ya que solo hay 12 días, entonces esta es una muestra.
Media:
\(\overline{x} = \dfrac{71 + 59 + 69 + 68 + 63 + 57 + 57 + 57 + 57 + 65 + 67 + 73} {12} \)
\(= \dfrac{763}{12}\)
\(\approx 63.6 ^{\circ} F\)
Mediana:
Primero ponga los datos en orden de menor a mayor.
57, 57, 57, 57, 59, 63, 65, 67, 68, 69, 71, 73
Ahora trabaja desde afuera adentro, hasta llegar al número medio.
Esta vez hay dos números que están en el medio. Entonces la mediana es
\(median = \dfrac{63+65}{2} = 64 ^{\circ}F\).
Modo:
De la lista ordenada es fácil ver que 57 ocurre 4 veces y ningún otro valor de datos ocurre tan a menudo. Entonces el modo es de 57°F.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Efecto de valores extremos sobre la media y mediana
Se da una muestra aleatoria de tasas de desempleo para 10 países de la Unión Europea (UE) para marzo de 2013:
| 11.0 | 7.2 | 13.1 | 26.7 | 5.7 | 9.9 | 11.5 | 8.1 | 4.7 | 14.5 |
(Eurostat, n.d.)
Encuentra la media, la mediana y el modo.
Solución
Ya que el problema dice que es una muestra aleatoria, sabemos que se trata de una muestra. Además, hay más de 10 países en la UE.
Media:
\(\overline{x} = \dfrac{11.0 + 7.2 + 13.1 + 26.7 + \cdots + 14.5} {10} \)
\(= \dfrac{112.4}{10}\)
\(= 11.24\)
La media es de 11.24%.
Mediana:
4.7, 5.7, 7.2, 8.1, 9.9, 11.0, 11.5, 13.1, 14.5, 26.7
Tanto 9.9 como 11.0 son los números medios, por lo que la mediana es
\(median = \dfrac{9.9+11.0}{2} = 10.45\).
La mediana es de 10.45%.
Nota: Este conjunto de datos no tiene modo ya que no hay ningún número que ocurra con mayor frecuencia.
Ahora suponga que quita el 26.7 de su muestra ya que es un número tan grande (un valor atípico). Encuentra la media, la mediana y el modo.
| 11.0 | 7.2 | 13.1 | 5.7 | 9.9 | 11.5 | 8.1 | 4.7 | 14.5 |
\(\overline{x} = \dfrac{11.0 + 7.2 + 13.1 + 5.7 + \cdots + 14.5} {9} \)
\(= \dfrac{85.7}{9}\)
\(= 9.52\)
La media es 9.52%
La mediana es de 9.9%.
Todavía no hay modo.
Observe que la media y la mediana con el 26.7 fueron un poco diferentes entre sí. Cuando se eliminó el valor de 26.7, la media bajó significativamente, mientras que la mediana bajó, pero no tanto. Esto se debe a que la media se ve afectada por valores extremos llamados valores atípicos, pero la mediana no se ve afectada tanto por los valores atípicos.
En la sección 1.5, hubo una discusión sobre las formas de histograma. Si miras hacia atrás en las Gráficas 1.5.11, 1.5.12 y 1.5.13, verás ejemplos de gráficas simétricas, oblicuas a la derecha y oblicuas a la izquierda. Dado que las gráficas simétricas tienen sus extremos por igual en ambos lados, entonces la media no se tiraría en ninguna dirección, por lo que la media y la mediana son esencialmente el mismo valor. Con una gráfica derecha sesgada, hay valores extremos a la derecha, y tirarán la media hacia arriba, pero no afectarán mucho a la mediana. Por lo que la media será mayor que la mediana en las gráficas derechas sesgadas. Las gráficas sesgadas a la izquierda tienen sus extremos a la izquierda, por lo que la media será menor que la mediana en las gráficas izquierdas sesgadas.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Encontrar el promedio de una variable cualitativa
Supongamos que se le preguntó a una clase cuál es su refresco favorito y los siguientes son los resultados:
| Coca-Cola | Pepsi | Mt. Rocío | Coca-Cola | Pepsi | Dr. Pepper | Sprite | Coca-Cola | Mt. Rocío |
| Pepsi | Pepsi | Dr. Pepper | Coca-Cola | Sprite | Mt. Rocío | Pepsi | Dr. Pepper | Coca-Cola |
| Pepsi | Mt. Rocío | Coca-Cola | Pepsi | Pepsi | Dr. Pepper | Sprite | Pepsi | Coca-Cola |
| Dr. Pepper | Mt. Rocío | Sprite | Coca-Cola | Coca-Cola | Pepsi |
Encuentra el promedio.
Recuerde, la media, la mediana y el modo son todos ejemplos de promedios. Sin embargo como los datos son cualitativos, no se puede encontrar la media y la mediana. El único promedio que puedes encontrar es el modo. Observe que la Coca-Cola era la preferida por 9 personas, Pepsi era la preferida por 10 personas, Mt Dew era el preferido por 5 personas, el Dr. Pepper era el preferido por 5 personas y Sprite era preferido por 4 personas. Entonces Pepsi tiene la frecuencia más alta, por lo que Pepsi es el modo. Si una persona más entrara a la habitación y dijera que prefería Coca-Cola, entonces Pepsi y Coca-Cola tendrían una frecuencia de 10. Entonces tanto Pepsi como Coca-Cola serían los modos, y a esto lo llamaríamos bimodal.