3.1: Probabilidades Básicas y Distribuciones de Probabilidad; Tres Formas de Definir Probabilidades
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Tire una tacha para el pulgar una vez. ¿Crees que la tacha aterrizará con el punto arriba o el punto abajo?
No podemos predecir en qué dirección aterrizará la tachuela antes de tirarla. A veces aterrizará con el punto arriba y otras veces aterrizará con el punto abajo. Lanzar una tachuela es un experimento aleatorio ya que no podemos predecir cuál será el resultado. Sabemos que solo hay dos resultados posibles para cada prueba del experimento: las tierras apuntan hacia arriba o las tierras apuntan hacia abajo. Si repetimos el experimento de lanzar la tachueta muchas veces podríamos adivinar qué tan probable es que la tachuela aterrice apunte hacia arriba.
- Un experimento aleatorio es una actividad o una observación cuyo resultado no se puede predecir antes de tiempo
- Un ensayo es una repetición de un experimento aleatorio.
- El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles para un experimento aleatorio.
- Un evento es un subconjunto del espacio de muestra.
¿Crees que las posibilidades de que el punto de aterrizaje de tachuelas arriba y el punto de aterrizaje de tachuelas hacia abajo sean las mismas? Este es un ejemplo donde tu intuición puede estar equivocada. Tener solo dos resultados posibles no significa que cada resultado tenga una probabilidad 50/50 de suceder. De hecho vamos a ver que la probabilidad de que el punto de aterrizaje de tachuelas arriba es de aproximadamente 66%.
Para comenzar a responder a esta pregunta, tira una tacha 10 veces. Para cada registro de lanzamientos si las tierras tachuelas apuntan hacia arriba o hacia abajo.
| Juicio | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| arriba/abajo | Arriba | Abajo | Arriba | Arriba | Abajo | Arriba | Arriba | Abajo | Arriba | Abajo |
El experimento aleatorio aquí está lanzando la tacha una vez. Los posibles resultados para el experimento son que las tierras de tachuelas apunten hacia arriba o las tierras de tachuelas apunten hacia abajo para que el espacio de muestra sea S = {punto arriba, punto abajo}. Nos interesa el evento E que las tierras tachuelas apuntan hacia arriba, E = {punto arriba}.
Con base en nuestros datos diríamos que la tachuela aterrizó apuntando seis de cada 10 veces. La fracción,, se llama la frecuencia relativa. Ya que
adivinaríamos que la probabilidad del punto de aterrizaje de tachuelas arriba es de aproximadamente 60%.
Repitamos el experimento lanzando la tachuela diez veces más.
| Juicio | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| arriba/abajo | Arriba | Arriba | Arriba | Abajo | Abajo | Arriba | Arriba | Abajo | Arriba | Arriba |
Esta vez la tachuela aterrizó apuntando siete de 10 veces o 70% de las veces. Si lanzamos la tachuela otras 10 veces podríamos volver a obtener un resultado diferente. La probabilidad de que el punto de aterrizaje de tachuelas se refiere a lo que sucede cuando lanzamos la tachuela muchas, muchas veces. Echemos la tachueta 150 veces y contemos el número de veces que aterrice apunte hacia arriba. En el camino veremos la proporción de punto de aterrizaje hacia arriba.
| Juicios | Subirme el número | Número Total de Up | Número total de ensayos | Proporción |
|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 6 | 6 | 10 | 6/10=0.60 |
| 11-20 | 7 | 13 | 20 | 13/20=0.65 |
| 21-30 | 8 | 21 | 30 | 21/30=0.70 |
| 31-40 | 6 | 27 | 40 | 27/40=0.68 |
| 41-50 | 8 | 35 | 50 | 35/50=0.70 |
| 51-60 | 8 | 43 | 60 | 43/60=0.72 |
| 61-70 | 4 | 47 | 70 | 47/70=0.67 |
| 71-80 | 7 | 54 | 80 | 54/80=0.68 |
| 81-90 | 5 | 59 | 90 | 59/90=0.66 |
| 91-100 | 6 | 65 | 100 | 65/100=0.65 |
| 101-110 | 10 | 75 | 110 | 75/110=0.68 |
| 111-120 | 5 | 80 | 120 | 80/120=0.67 |
| 121-130 | 8 | 88 | 130 | 88/130=0.68 |
| 131-140 | 4 | 92 | 140 | 92/140=0.66 |
| 141-150 | 7 | 99 | 150 | 99/150=0.66 |
Cuando tenemos un pequeño número de ensayos la proporción varía bastante. A medida que empezamos a tener más pruebas la proporción todavía varía pero no tanto. Parece que la proporción es de alrededor de 0.66 o 66%. Tendríamos que hacer cerca de 100 mil pruebas para obtener una mejor aproximación de la probabilidad real del punto de aterrizaje de tachuelas hacia arriba.
La tacha aterrizó apuntando 99 de 150 pruebas. La probabilidad P del evento E se escribe como:
\[P(E)=\frac{\# \text { of trials with point up }}{\text { total number of trials }}=\frac{99}{150} \approx 0.66 \nonumber \]
Diríamos que la probabilidad de que las tierras tachuelas apunten hacia arriba es de aproximadamente 66%.
Resultados igualmente probables
En algunos experimentos todos los resultados tienen las mismas posibilidades de suceder. Si rodamos un dado justo las posibilidades son las mismas para rodar un dos o rodar un cinco. Si sacamos una sola carta de una baraja de cartas bien barajada, cada carta tiene la misma posibilidad de ser seleccionada. Llamamos resultados como estos igualmente probables. Dibujar nombres de un sombrero o dibujar pajitas son otros ejemplos de resultados igualmente probables. El ejemplo de lanzamiento de tachuelas no tuvo resultados igualmente probables ya que la probabilidad de subir el punto de aterrizaje de tachuelas es diferente a la probabilidad de que el punto de aterrizaje de tachuelas baje.
Un experimento tiene resultados igualmente probables si cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Para resultados igualmente probables, la probabilidad de resultado A, P (A), es:
\[P(A)=\dfrac{ \text {number of ways for A to occur}}{\text { total number of outcomes }}. \nonumber \]
Regla de Redondeo: Dar probabilidades como fracción o como número decimal redondeado a tres decimales.
Roba una sola carta de una baraja bien barajada de 52 cartas. Cada tarjeta tiene las mismas posibilidades de ser sorteada, así que tenemos resultados igualmente probables. Encuentra las siguientes probabilidades:
- P (la tarjeta es roja)
P (la tarjeta es roja) =\(\dfrac{ \text {number of red cards}}{\text { total number of cards }} = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}\)
La probabilidad de que la tarjeta sea roja es\(\dfrac{1}{2}\).
- P (tarjeta es un corazón)
P (la tarjeta es un corazón) =\(\dfrac{ \text {number of hearts}}{\text { total number of cards }} = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\)
La probabilidad de que la tarjeta sea un corazón es\(\dfrac{1}{4}\).
- P (tarjeta es un rojo 5)
P (tarjeta es un rojo 5) =\(\dfrac{ \text {number of red fives}}{\text { total number of cards }} = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26}\)
La probabilidad de que la tarjeta sea un cinco rojo es\(\dfrac{1}{26}\).
Enrolla un dado justo una vez. El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Encuentra las siguientes probabilidades.
- P (rollo a cuatro)
P (rollo a cuatro) =\(\dfrac{ \text {number of ways to roll a four}}{\text { total number of ways to roll a die }} = \dfrac{1}{6}\)
La probabilidad de rodar un cuatro es\(\dfrac{1}{6}\).
- P (rodar un número impar)
El rollo de eventos un número impar es E = {1, 3, 5}.
P (rodar un número impar) =\(\dfrac{ \text {number of ways to roll an odd number}}{\text { total number of ways to roll a die }} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
La probabilidad de rodar un número impar es\(\dfrac{1}{2}\).
- P (rodar un número menor que cinco)
El rollo de eventos un número menor que cinco es F = {1, 2, 3, 4}.
P (rollo un número menor que cinco) =\(\dfrac{ \text {number of ways to roll number less than five}}{\text { total number of ways to roll a die }} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
La probabilidad de rodar un número menor a cinco es\(\dfrac{2}{3}\).
Una pequeña estantería contiene cinco libros de matemáticas, tres de inglés y siete libros de ciencias. Se elige un libro al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un libro de matemáticas?
Solución
Dado que el libro se elige al azar, cada libro tiene las mismas posibilidades de ser elegido y tenemos eventos igualmente probables.
\[P(\text { math book })=\frac{\text { number of ways to choose a math book }}{\text { total number of books }}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3} \nonumber \]
La probabilidad de que se eligiera un libro de matemáticas es\(\dfrac{1}{3}\).
Tres formas de encontrar probabilidades
Hay tres formas de encontrar probabilidades. En el ejemplo de lanzamiento de tachuelas calculamos la probabilidad del punto de aterrizaje de tachuelas haciendo un experimento y registrando los resultados. Este fue un ejemplo de probabilidad empírica. La probabilidad de obtener un gato rojo en un juego de cartas o rodar un cinco con un dado justo se puede calcular a partir de fórmulas matemáticas. Estos son ejemplos de probabilidades teóricas. El tercer tipo de probabilidad es una probabilidad subjetiva. Decir que hay un 80% de posibilidades de que vayas a la playa este fin de semana es una probabilidad subjetiva. Se basa en la experiencia o adivinanzas.
- Una probabilidad teórica se basa en un modelo matemático donde todos los resultados son igualmente probables de ocurrir.
- Una probabilidad empírica se basa en un experimento u observación y es la frecuencia relativa del evento que ocurre.
- Una probabilidad subjetiva es una estimación (una suposición) basada en la experiencia o la intuición.
Complementos
Si hoy hay un 75% de probabilidad de lluvia, ¿cuáles son las posibilidades de que no llueva? Sabemos que sólo hay dos posibilidades. O va a llover o no va a llover. Debido a que la suma de las probabilidades para todos los resultados en el espacio muestral debe ser del 100% o 1.00, sabemos que
P (lloverá) + P (no lloverá) = 100%.
Reordenando esto vemos que
P (no lloverá) = 100% - P (lloverá) = 100% - 75% = 25%.
Los eventos E = {lloverá} y F = {no lloverá} se llaman complementos.
El complemento del evento E, denotado por\(\overline{E}\), es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento E. La probabilidad de\(\overline{E}\) está dada por\(P(\overline{E}) = 1- P(E)\).
Roba una sola carta de una baraja bien barajada de 52 cartas.
- Mira el traje de la tarjeta. Aquí el espacio muestral S = {espadas, palos, corazones, diamantes}. Si evento E = {picas} el complemento\(\overline{E}\) = {palos, corazones, diamantes}.
- Mira el valor de las tarjetas. Aquí el espacio muestral es S = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}. Si el evento E = {el número es menor que 7} = {A, 2, 3, 4, 5, 6} el complemento\(\overline{E}\) = {7, 8, 9, 10, J, Q, K}.
Un tren llega a tiempo a una estación en particular el 85% del tiempo. ¿Significa esto que el tren llega tarde el 15% del tiempo? La respuesta es no. El complemento de E = {a tiempo} no es\(\overline{E}\) = {tarde}. Hay una tercera posibilidad. El tren podría llegar temprano. El espacio muestral es S = {a tiempo, temprano, tardío} por lo que el complemento de E = {a tiempo} es\(\overline{E}\) = {temprano o tarde}. Con base en la información dada no podemos encontrar P (tarde) pero podemos encontrar P (temprano o tarde) = 15%.
Eventos Imposibles y Ciertos Eventos
Recordemos eso\(P(A)=\dfrac{ \text {number of ways for A to occur}}{\text { total number of outcomes }}\). ¿Qué significa si decimos que la probabilidad del evento es cero? \(P(A)=\dfrac{ \text {number of ways for A to occur}}{\text { total number of outcomes }} = 0\). La única manera de que una fracción sea igual a cero es cuando el numerador es cero. Esto significa que no hay forma de que ocurra el evento A. Una probabilidad de cero significa que el evento es imposible.
¿Qué significa si decimos que la probabilidad de un evento es uno? \(P(A)=\dfrac{ \text {number of ways for A to occur}}{\text { total number of outcomes }} = 1\). La única manera de que una fracción sea igual a uno es si el numerador y el denominador son iguales. El número de formas para que ocurra A es el mismo que el número de resultados. No hay resultados donde no ocurra A. Una probabilidad de 1 significa que el evento siempre ocurre.
- \(P(A) = 0\)significa que A es imposible
- \(P(A) = 1\)significa que A es cierto
Distribuciones de probabilidad
Una distribución de probabilidad (espacio de probabilidad) es un espacio muestral emparejado con las probabilidades para cada resultado en el espacio muestral. Si lanzamos una moneda justa y vemos qué lado aterriza, hay dos resultados, cabeza y cola. Dado que la moneda es justa, estos son resultados igualmente probables y tienen las mismas probabilidades. La distribución de probabilidad sería P (cabezas) = 1/2 y P (colas) = 1/2. Esto a menudo se escribe en forma de tabla:
| Resultado | Cabezales | Tails |
|---|---|---|
| Probabilidad | 1/2 | 1/2 |
| Una distribución de probabilidad para un experimento es una lista de todos los resultados posibles y sus probabilidades correspondientes. |
Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Probabilidades para la Suma de Dos Dados Justos
En problemas de probabilidad cuando tiramos dos dados, es útil pensar en los dados como de diferentes colores. Supongamos que uno muere es rojo y el otro muere es verde. Consideramos conseguir un tres en el dado rojo y un cinco en el dado verde diferente a conseguir un cinco en el dado rojo y un tres en el dado verde. Es decir, cuando enumeramos los resultados el orden importa. Los posibles resultados de tirar dos dados y mirar la suma se dan en la Tabla\(\PageIndex{8}\).
| 1+1 = 2 | 1+2 = 3 | 1+3 = 4 | 1+4 = 5 | 1+5 = 6 | 1+6 = 7 |
| 2+1 = 3 | 2+2 = 4 | 2+3 = 5 | 2+4 = 6 | 2+5 = 7 | 2+6 = 8 |
| 3+1 = 4 | 3+2 = 5 | 3+3 = 6 | 3+4 = 7 | 3+5 = 8 | 3+6 = 9 |
| 4+1 = 5 | 4+2 = 6 | 4+3 = 7 | 4+4 = 8 | 4+5 = 9 | 4+6 = 10 |
| 5+1 = 6 | 5+2 = 7 | 5+3 = 8 | 5+4 = 9 | 5+5 = 10 | 5+6 = 11 |
| 6+1 = 7 | 6+2 = 8 | 6+3 = 9 | 6+4 = 10 | 6+5 = 11 | 6+6 = 12 |
| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Probabilidad | |||||||||||
|
Reducida Probabilidad |
¿Son válidas las siguientes distribuciones de probabilidad?
| Resultado | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad |
Esta es una distribución de probabilidad válida. Todas las probabilidades están entre cero y uno inclusive y la suma de las probabilidades es 1.00.
| Resultado | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 0.45 | 0.80 | -0.20 | -0.35 | 0.10 | 0.20 |
Esta no es una distribución de probabilidad válida. La suma de las probabilidades es 1.00, pero algunas de las probabilidades no están entre cero y uno, inclusive.
| Resultado | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 0.30 | 0.20 | 0.40 | 0.25 |
Esta no es una distribución de probabilidad válida. Todas las probabilidades están entre cero y uno, inclusive, pero la suma de las probabilidades es 1.15 no 1.00.
Cuotas
Las probabilidades son siempre números entre cero y uno. Muchas personas no se sienten cómodas trabajando con valores tan pequeños. Otra forma de describir la probabilidad de que ocurra un evento es usar la proporción de la frecuencia con la que ocurre y la frecuencia con la que no sucede. A la relación se le llama las probabilidades de que ocurra el evento. Hay dos tipos de probabilidades, probabilidades a favor y probabilidades en contra. Los casinos, las pistas de carreras y otros tipos de juego suelen indicar las probabilidades de que ocurra un evento.
Si la probabilidad de un evento E es P (E), entonces las probabilidades para el evento E, O (E), vienen dadas por:
\(O(E) = \dfrac{P(E)}{P(\overline{E})}\)O\(O(E) = \dfrac{\text{number of ways for E to occur}}{\text{number of ways for E to not occur}}\)
Además, las cuotas contra el evento E, están dadas por:
\(O(\overline{E}) = \dfrac{P(\overline{E})}{P(E)}\)O\(O(E) = \dfrac{\text{number of ways for E to not occur}}{\text{number of ways for E to occur}}\)
Una sola carta se extrae de una baraja bien barajada de 52 cartas. Encuentra las probabilidades de que la tarjeta sea un ocho rojo.
Hay dos ochos rojos en la cubierta.
\(P(\text{red eight}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}\).
\(P(\text{not a red eight}) = \frac{50}{52} = \frac{25}{26}\).
\(O(\text{red eight}) = \dfrac{P(\text{red eight})}{P(\text{not a red eight})} = \dfrac{\frac{1}{26}}{\frac{25}{26}} = \frac{1}{\cancel{26}} \cdot \frac{\cancel{26}}{25}= \frac{1}{25}\)
Las probabilidades de sacar un ocho rojo son de 1 a 25. Esto también se puede escribir como 1:25.
Nota: No escribir las cuotas como decimal o por ciento.
Muchas ruedas de ruleta tienen ranuras numeradas del 0, 00 y del 1 al 36. Las ranuras numeradas 0 y 00 son verdes. Las ranuras numeradas pares son rojas y las ranuras impares son negras. El juego se juega girando la rueda en una dirección y rodando una canica alrededor del borde exterior en la otra dirección. Los jugadores apuestan en qué ranura caerá la canica. ¿Cuáles son las probabilidades de que el mármol aterrice en una ranura roja?
Solución
Hay 38 ranuras en total. Las ranuras 2, 4, 6,..., 36 son rojas por lo que hay 18 ranuras rojas. Las otras 20 ranuras no son rojas.
\(P(\text{red}) = \frac{18}{38} = \frac{9}{19}\).
\(P(\text{not red}) = 1 - \frac{9}{19} = \frac{19}{19} - \frac{9}{19} = \frac{10}{19}\).
\(O(\text{red}) = \dfrac{P(\text{red})}{P(\text{not red})} = \dfrac{\frac{9}{19}}{\frac{10}{19}} = \frac{9}{\cancel{19}} \cdot \frac{\cancel{19}}{10}= \frac{9}{10}\)
Las probabilidades de que el mármol aterrice en una ranura roja son de 9 a 10. Esto también se puede escribir como 9:10.
Se tiran dos dados justos y se registra la suma. Encuentra las probabilidades de rodar una suma de nueve.
Solución
El evento E, rollo una suma de nueve es: E = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
Hay 36 formas de tirar dos dados y cuatro formas de tirar una suma de nueve. Eso significa que hay 32 formas de rodar una suma que no es nueve.
\(P(\text{sum is nine}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
\(P(\text{sum is not nine}) = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}\).
\(O(\text{against sum is nine}) = \dfrac{P(\text{sum is not nine})}{P(\text{sum is nine})} = \dfrac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} = \frac{8}{\cancel{9}} \cdot \frac{\cancel{9}}{1}= \frac{8}{1}\)
Las probabilidades en contra de rodar una suma de nueve son de 8 a 1 o 8:1.
También podemos encontrar la probabilidad de que ocurra un evento en función de las probabilidades para el evento. Decir que las probabilidades de un evento son de 3 a 5 significa que el evento ocurre tres veces por cada cinco veces que no sucede. Si sumamos las posibilidades de ambos obtenemos una suma de ocho. Entonces el evento ocurre alrededor de tres de cada ocho veces. Diríamos que la probabilidad es de 3/8.
|
Si las probabilidades que favorecen el evento E son de a a b, entonces: \(P(E) = \dfrac{a}{a+b}\)y\(P(\overline{E}) = \dfrac{b}{a+b}\). |
Un equipo local de béisbol de pequeñas ligas va a un torneo. Las probabilidades de que el equipo gane el torneo son de 3 a 7. Encuentra la probabilidad de que el equipo gane el torneo.
Solución
\(P(\text{winning}) = \dfrac{3}{3+7} = \dfrac{3}{10} = 0.3\)