3.2: Combinar probabilidades con “Y” y “O”
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Muchas probabilidades en la vida real implican más de un resultado. Si sacamos una sola carta de un mazo podríamos querer saber la probabilidad de que sea roja o un gato. Si miramos a un grupo de estudiantes, podríamos querer saber la probabilidad de que un solo estudiante tenga cabello castaño y ojos azules. Cuando combinamos dos resultados para hacer un solo evento, conectamos los resultados con la palabra “y” o la palabra “o”. Es muy importante en probabilidad prestar atención a las palabras “y” y “o” si aparecen en un problema. La palabra “y” restringe el campo de los posibles resultados a solo aquellos resultados que simultáneamente satisfacen más de un evento. La palabra “o” amplía el campo de posibles resultados a aquellos que satisfacen uno o más eventos.
Supongamos que una maestra quiere saber la probabilidad de que una sola alumna de su clase de 30 alumnos esté tomando arte o inglés. Ella pide a la clase que levante la mano si están tomando Arte y cuenta 13 manos. Entonces pide a la clase que levante la mano si están tomando inglés y cuenta 21 manos. Luego, el maestro calcula
\[P(\text{Art or English}) = \dfrac{13+21}{30} = \dfrac{33}{30} \nonumber \]
El maestro sabe que esto está mal porque las probabilidades deben estar entre cero y uno, inclusive. Después de pensarlo recuerda que nueve estudiantes están tomando tanto Arte como inglés. Estos alumnos levantaban la mano cada vez que contaba, por lo que la maestra los contó dos veces. Cuando calculamos probabilidades tenemos que tener cuidado de contar cada resultado solo una vez.
Eventos Mutuamente Exclusivos
Un experimento consiste en sacar una carta de una baraja bien barajada de 52 cartas. Considera los eventos E: la tarjeta es roja, F: la carta es un cinco, y G: la carta es una pala. Es posible que una tarjeta sea tanto roja como una cinco al mismo tiempo pero no es posible que una tarjeta sea tanto roja como de pala al mismo tiempo. Sería fácil contar accidentalmente un cinco rojo dos veces por error. No es posible contar dos veces una pala roja.
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común.
Se lanzan dos dados justos y se registran diferentes eventos. Que los eventos E, F y G sean los siguientes:
- E = {la suma es cinco} = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
- F = {ambos números son pares} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 4), (6, 6)}
- G = {ambos números son menores que cinco} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4,4)}
- ¿Los eventos E y F son mutuamente excluyentes?
Sí. E y F son mutuamente excluyentes porque no tienen resultados en común. No es posible sumar dos números pares para obtener una suma de cinco.
- ¿Los eventos E y G son mutuamente excluyentes?
No. E y G no son mutuamente excluyentes porque tienen algunos resultados en común. Los pares (1, 4), (2, 3), (3, 2) y (4, 1) todos tienen sumas de 5 y ambos números son menores de cinco.
- ¿Los eventos F y G son mutuamente excluyentes?
No. F y G no son mutuamente excluyentes porque tienen algunos resultados en común. Los pares (2, 2), (2, 4), (4, 2) y (4, 4) tienen todos dos números pares que son menores a cinco.
Regla de Adición para Probabilidades “O”
La regla de adición para probabilidades se utiliza cuando los eventos están conectados por la palabra “o”. ¿Recuerdas a nuestro profesor\(\PageIndex{1}\) en Ejemplo al inicio de la sección? Ella quería saber la probabilidad de que sus alumnos estuvieran tomando arte o inglés. Su problema era que contaba dos veces a algunos alumnos. Ella necesitaba sumar el número de estudiantes que tomaban arte al número de estudiantes que tomaban inglés y luego restar el número de estudiantes que contaba dos veces. Después de dividir el resultado por el número total de alumnos encontrará la probabilidad deseada. El cálculo es el siguiente:
\[ \begin{align*} P(\text{art or English}) &= \dfrac{\# \text{ taking art + } \# \text{ taking English - } \# \text{ taking both}}{\text{total number of students}} \\[4pt] &= \dfrac{13+21-9}{30} \\[4pt] &= \dfrac{25}{30} \approx {0.833} \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que un estudiante esté tomando arte o inglés es 0.833 o 83.3%.
Cuando calculamos la probabilidad de eventos compuestos conectados por la palabra “o” debemos tener cuidado de no contar la misma cosa dos veces. Si queremos la probabilidad de sacar una tarjeta roja o un cinco no podemos contar dos veces los cinco rojos. Si queremos la probabilidad de que una persona sea de pelo rubio o de ojos azules no podemos contar dos veces a las rubias de ojos azules. La regla de adición para probabilidades suma el número de personas rubias al número de personas de ojos azules y luego resta el número de personas que contamos dos veces.
Si A y B son eventos, entonces
\[P(A\, \text{or}\, B) = P(A) + P(B) – P(A \,\text{and}\, B). \nonumber \]
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces\(P(A \,\text{and}\, B) = 0\), entonces
\[P(A \, \text{or}\, B) = P(A) + P(B). \nonumber \]
Una sola carta se extrae de una baraja bien barajada de 52 cartas. Encuentra la probabilidad de que la tarjeta sea un palo o una tarjeta facial.
Solución
Hay 13 cartas que son palos, 12 cartas de cara (J, Q, K en cada palo) y 3 cartas faciales que son palos.
\[ \begin{align*} P(\text{club or face card}) &= P(\text{club}) + P(\text{face card}) - P(\text{club and face card}) \\[4pt] &= \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} \\[4pt] &= \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26} \approx {0.423} \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que la tarjeta sea un palo o una tarjeta facial es aproximadamente 0.423 o 42.3%.
Un experimento consiste en lanzar una moneda y luego rodar un dado. Encuentra la probabilidad de que la moneda aterrice de cabeza arriba o el número sea cinco.
Solución
Que H represente la cabeza hacia arriba y T represente las colas hacia arriba. El espacio muestral para este experimento es S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
- Hay seis formas en que la moneda puede aterrizar de cabeza arriba, {H1, H2, H3, H4, H5, H6}.
- Hay dos formas en que el dado puede aterrizar en cinco, {H5, T5}.
- Hay una manera para que la moneda aterrice cabezas arriba y el dado aterrice en cinco, {H5}.
\[ \begin{align*} P(\text{heads or five}) &= P(\text{heads}) + P(\text{five}) - P(\text{both heads and five}) \\[4pt] &= \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} - \dfrac{1}{12} \\[4pt] &= \dfrac{7}{12} = \approx {0.583} \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que la moneda aterrice boca arriba o el número sea cinco es aproximadamente 0.583 o 58.3%.
Doscientas cincuenta personas que recientemente compraron un automóvil fueron cuestionadas y los resultados se resumen en la siguiente tabla.
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
|---|---|---|---|
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
Encuentra la probabilidad de que una persona compró un auto nuevo o no estuviera satisfecha.
Solución
\[\begin{align*} P(\text{new car or not satisfied}) &= P(\text{new car}) + P(\text{not satisfied}) - P(\text{new car and not satisfied}) \\[4pt] &= \dfrac{120}{250} + \dfrac{75}{250} - \dfrac{28}{250} = \dfrac{167}{250} \approx 0.668 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que una persona compró un auto nuevo o no estuviera satisfecha es aproximadamente 0.668 o 66.8%.
Eventos Independientes
A veces necesitamos calcular probabilidades para eventos compuestos que están conectados por la palabra “y”. Tenemos dos métodos para elegir, eventos independientes o probabilidades condicionales (Sección 3.3). Lanzar una moneda varias veces o lanzar dados son eventos independientes. Cada vez que lanzas una moneda justa la probabilidad de tener cabezas es ½. No importa lo que pasó la última vez que tiraste la moneda. Es similar para los dados. Si rodaste seis dobles la última vez eso no cambia la probabilidad de que esta vez rodes seis dobles. Dibujar dos tarjetas sin reemplazo no es un evento independiente. Cuando rotas la primera carta y la apartas, la probabilidad para la segunda carta es ahora de 51 cartas, no de 52 cartas.
Dos eventos son eventos independientes si la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra el otro evento.
Si los eventos A y B son eventos independientes, entonces\( P(\text{A and B}) = P(A) \cdot P(B)\).
Supongamos que una moneda justa es arrojada cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro lanzamientos aterricen de cabeza?
Solución
Los lanzamientos de las monedas son eventos independientes. Saber que una cabeza fue arrojada en el primer juicio no cambia la probabilidad de arrojar una cabeza en el segundo juicio.
\(P(\text{four heads in a row}) = P(\text{1st heads and 2nd heads and 3rd heads and 4th heads})\)
\( = P(\text{1st heads}) \cdot P(\text{2nd heads}) \cdot P(\text{3rd heads}) \cdot P(\text{4th heads})\)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\)
\( = \dfrac{1}{16}\)
La probabilidad de que los cuatro arrojes tierra de cabeza arriba es\(\dfrac{1}{16}\).
Una bolsa contiene cinco canicas rojas y cuatro blancas. Se extrae un mármol de la bolsa, su color se registra y el mármol se devuelve a la bolsa. Luego se dibuja una segunda canica. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer mármol sea rojo y el segundo mármol sea blanco?
Dado que el primer mármol se vuelve a poner en la bolsa antes de que se dibuje el segundo mármol, estos son eventos independientes.
\[\begin{align*} P(\text{1st red and 2nd white}) &= P(\text{1st red}) \cdot P(\text{2nd white}) \\[4pt] &= \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{81}\end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que el primer mármol sea rojo y el segundo mármol sea blanco es\(\dfrac{20}{81}\).
Abby tiene una reunión importante por la mañana. Ella pone tres despertadores a batería solo para estar a salvo. Si cada despertador tiene una probabilidad de 0.03 de mal funcionamiento, ¿cuál es la probabilidad de que los tres despertadores fallen al mismo tiempo?
Solución
Dado que los relojes son alimentados por batería podemos suponer que uno fallando no tendrá ningún efecto en el funcionamiento de los otros dos relojes. El funcionamiento de los relojes es independiente.
\[\begin{align*} P(\text{all three fail}) &= P(\text{first fails}) \cdot P(\text{second fails})\cdot P(\text{third fails}) \\[4pt] &= (0.03)(0.03)(0.03) \\[4pt] &= 2.7 \times 10^{-5} \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que los tres relojes fallen es aproximadamente 0.000027 o 0.0027%. Es muy poco probable que los tres despertadores fallen.
Regla al menos una vez para eventos independientes
Muchas veces necesitamos calcular la probabilidad de que un evento suceda al menos una vez en muchos ensayos. El cálculo puede complicarse bastante si hay más de un par de pruebas. Usar el complemento para calcular la probabilidad puede simplificar el problema considerablemente. El siguiente ejemplo te ayudará a entender la fórmula.
La probabilidad de que un niño olvide su tarea en un día determinado es de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que olvide su tarea al menos una vez en los próximos cinco días?
Solución
Supongamos que si olvida o no un día no tiene efecto sobre si olvida o no el segundo día.
Si P (olvida) = 0.15, entonces P (no olvida) = 0.85.
\[\begin{align*} P(\text{forgets at least once in 5 tries}) &= P(\text{forgets 1, 2, 3, 4 or 5 times in 5 tries}) \\[4pt] & = 1 - P(\text{forgets 0 times in 5 tries}) \\[4pt] &= 1 - P(\text{not forget}) \cdot P(\text{not forget}) \cdot P(\text{not forget}) \cdot P(\text{not forget}) \cdot P(\text{not forget}) \\[4pt] &= 1 - (0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85) \\[4pt] & = 1 - (0.85)^{5} = 0.556 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que el niño olvide su tarea al menos un día en los próximos cinco días es de 0.556 o 55.6%
La idea en Ejemplo\(\PageIndex{9}\) puede generalizarse para obtener la Regla Al Menos Una Vez.
Si un experimento se repite n veces, los n ensayos son independientes y la probabilidad de que el evento A ocurra una vez es P (A) entonces la probabilidad de que A ocurra al menos una vez es:\(P(\text{A occurs at least once in n trials}) = 1 - P(\overline{A})^{n}\)
La probabilidad de ver un halcón cerca del lago durante un día de observación de aves es de 0.21. ¿Cuál es la probabilidad de que un observador de aves vea un halcón al menos una vez en ocho viajes al lago?
Solución
Que A sea el evento de que vea un halcón así P (A) = 0.21. Entonces,\(P(\overline{A}) = 1 - 0.21 = 0.79\).
\(P(\text{at least once in eight tries}) = 1 - P(\overline{A})^{8}\)
\( = 1 - (0.79)^{8}\)
\( = 1 - (0.152) = 0.848\)
La probabilidad de ver un halcón al menos una vez en ocho viajes al lago es de aproximadamente 0.848 o 84.8%.
Una prueba de opción múltiple consta de seis preguntas. Cada pregunta tiene cuatro opciones de respuestas, solo una de las cuales es correcta. Un estudiante adivina sobre las seis preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos una respuesta correcta?
Solución
Que A sea el evento de que la respuesta a una pregunta sea correcta. Dado que cada pregunta tiene cuatro opciones y sólo una elección correcta,\(P(\text{correct}) = \dfrac{1}{4}\).
Eso quiere decir\(P(\text{not correct}) =1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
\[ \begin{align*} P(\text{at least one correct in six trials}) &= 1 - P(\text{not correct})^{6} \\[4pt] &= 1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^{6} \\[4pt] &= 1 - (0.178) = 0.822 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que obtenga al menos una respuesta correcta es de 0.822 o 82.2%.
Probabilidades “Y” de Mesas de Dos Vías
Las probabilidades “y” generalmente se hacen por uno de dos métodos. Si sabes que los eventos son independientes puedes usar la regla\(P(A \text{and } B) = P(A) \cdot P(B)\). Si los eventos no son independientes se pueden utilizar las probabilidades condicionales en la Sección 3.3. Hay una excepción cuando tenemos datos dados en una tabla bidireccional. Podemos calcular las probabilidades “y” sin saber si los eventos son independientes o no.
Continuación del Ejemplo\(\PageIndex{5}\):
Doscientas cincuenta personas que recientemente compraron un automóvil fueron cuestionadas y los resultados se resumen en la siguiente tabla.
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
|---|---|---|---|
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
| x 10 | x 10 | x 10 | x 10 |
Una persona es elegida al azar. Encuentra la probabilidad de que la persona:
- compró un auto nuevo y quedó satisfecho.
\[\begin{align*} P(\text{new car and satisfied}) &= \dfrac{\text{number of new car and satisfied}}{\text{number of people}} \\[4pt] &= \dfrac{92}{250} = 0.368 = 36.8 \% \end{align*} \nonumber \]
- compró un auto usado y no quedó satisfecho.
\[\begin{align*} P(\text{used car and not satisfied}) &= \dfrac{\text{number of used and not satisfied}}{\text{number of people}} \\[4pt] &= \dfrac{47}{250} = 0.188 = 18.8 \% \end{align*} \nonumber \]