3.3: Probabilidades condicionales
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Una probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento si ya se ha producido alguna otra condición. Esto se denota por\(P(A | B)\), que se lee “la probabilidad de A dada B”.
Se extraen dos cartas de una baraja bien barajada de 52 cartas sin reemplazo. Encuentra las siguientes probabilidades:
- La probabilidad de que la segunda carta sea un corazón dado que la primera carta es una pala.
- La probabilidad de que la primera carta sea una carta facial y la segunda carta sea un as.
- La probabilidad de que una carta sea un corazón y la otra un club.
Solución a
Sin reemplazo significa que la primera carta se reserva antes de que se saque la segunda carta y asumimos que la primera carta es una pala. Solo hay 51 tarjetas para elegir para la segunda tarjeta. Trece de esas tarjetas son corazones.
Es importante notar que la pregunta solo pregunta sobre la segunda tarjeta.
\[ P(\text{2nd heart | 1st spade}) = \dfrac{13}{51} \nonumber \]
La probabilidad de que la segunda carta sea un corazón dado que la primera carta es una pala es\(\dfrac{13}{51}\).
Solución b
Observe que esta vez la pregunta pregunta sobre ambas tarjetas.
Hay 12 cartas de cara de 52 cartas cuando rogamos la primera carta. Dejamos a un lado la primera carta y asumimos que se trata de una carta facial. Después hay cuatro ases de las 51 cartas restantes. Queremos sacar una carta facial y un as así que usa la multiplicación.
\[ P(\text{1st face card and 2nd ace}) = \dfrac{12}{52} \cdot \dfrac{4}{51} = \dfrac{48}{2652} \approx 0.018 \nonumber \]
La probabilidad de que la primera carta sea una carta facial y la segunda carta un as es aproximadamente 0.018 o 1.8%.
Solución c
Hay dos formas de que esto suceda. Podríamos conseguir un corazón primero y un club segundo o podríamos conseguir el club primero y el corazón segundo.
\[ \begin{align*} P(\text{heart and club}) &= P(\text{heart 1st and club 2nd or club 1st and heart 2nd}) \\[4pt]&= P(\text{heart 1st and club 2nd}) + P(\text{club 1st and heart 2nd}) \\[4pt]&= \dfrac {13}{52} \cdot \dfrac {13}{51} + \dfrac {13}{52} \cdot \dfrac {13}{51} \\[4pt]&\approx 0.127 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que una carta sea un corazón y la otra un palo es aproximadamente 0.127 o 12.7%.
Se tiran dos dados justos y se observa la suma de los números. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea al menos nueve si se sabe que uno de los dados muestra un cinco?
Ya que se nos da que uno de los dados muestra un cinco esta es una probabilidad condicional. Enumere los pares de dados con un dado mostrando un cinco. Tenga cuidado de no contar (5,5) dos veces.
\[\{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)\} \nonumber \]
Enumere los pares de arriba que tengan una suma de al menos nueve.
\[\{(4,5), (5,5), (6,5), (5,4), (5,6)\}\nonumber \]
Solución
Hay 11 formas para que un dado muestre un cinco y cinco de estas formas tienen una suma de al menos nueve.
\[ P(\text{sum at least 9 | one die is a 5}) = \dfrac{5}{11} \nonumber \]
La probabilidad de que la suma sea de al menos nueve si se sabe que uno de los dados muestra un cinco es\(\dfrac{5}{11}\).
Para los eventos A y B,\( P(A \text{ and } B) = P(A) \cdot P(B|A) \)
Para los eventos A y B,\( P(B|A) = \dfrac{P(A \text{ and } B)}{P(A)} \)
Doscientas cincuenta personas que recientemente compraron un automóvil fueron cuestionadas y los resultados se resumen en la siguiente tabla de la Sección 3.2.
| Satisfecho | No Satisfecho | Total | |
|---|---|---|---|
| Auto Nuevo | 92 | 28 | 120 |
| Autos Usados | 83 | 47 | 130 |
| Total | 175 | 75 | 250 |
Esta es una probabilidad condicional porque ya sabemos que la persona compró un auto usado. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté satisfecha si se sabe que la persona compró un auto usado?
Solución
\[ \begin{align*} P(\text{satisfied | used car}) &= \dfrac{P(\text{satisfied and used})}{P(\text{used})} \\[4pt]&= \dfrac{\dfrac{83}{250}}{\dfrac{130}{250}} = \dfrac{83}{\cancel{250}} \cdot \dfrac{\cancel{250}}{130} = \dfrac{83}{130} \approx 0.638 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que una persona esté satisfecha si se sabe que la persona compró un auto usado es aproximadamente 0.638 o 63.8%
Una encuesta a 350 estudiantes de una universidad reveló los siguientes datos sobre el nivel de clase y el lugar de residencia.
Mesa\(\PageIndex{2}\): Vivienda por Clase
| Residencia\ Clase | Freshman | Estudiante de segundo año | Junior | Senior | Totales de Fila |
|---|---|---|---|---|---|
| Dormitorio | 89 | 34 | 46 | 15 | 184 |
| Departamento | 32 | 17 | 22 | 48 | 119 |
| Con los padres | 13 | 31 | 3 | 0 | 47 |
| Totales de Columna | 134 | 82 | 71 | 63 | 350 |
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea un estudiante de segundo año si ese estudiante vive en un departamento?
Solución
Esta es una probabilidad condicional porque se nos da que el estudiante vive en un departamento.
\[ \begin{align*} P(\text{sophomore | apartment}) &= \dfrac{P(\text{sophomore and apartment})}{P(\text{apartment})} \\[4pt]&= \dfrac{\dfrac{17}{350}}{\dfrac{119}{350}} = \dfrac{17}{\cancel{350}} \cdot \dfrac{\cancel{350}}{119} = \dfrac{17}{119} \approx 0.143 \end{align*} \nonumber \]
La probabilidad de que un estudiante sea un estudiante de segundo año dado que el estudiante vive en un departamento es aproximadamente 0.143 o 14.3%.