4.1: Crecimiento lineal
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A partir de los 25 años, imagina si pudieras ahorrar 20 dólares semanales, cada semana, hasta que te jubiles, ¿cuánto dinero habrías metido debajo de tu colchón a los 65 años? Para resolver este problema, podríamos usar un modelo de crecimiento lineal. El crecimiento lineal tiene la característica de crecer por la misma cantidad en cada unidad de tiempo. En este ejemplo, hay un incremento de 20 dólares semanales; se coloca una cantidad constante debajo del colchón en la misma unidad de tiempo.
Si empezamos con $0 debajo del colchón, entonces al final del primer año tendríamos\($20 \cdot 52 = $1040\). Entonces, esto significa que podrías agregar $1040 debajo de tu colchón cada año. Al término de 40 años, tendrías\($1040 \cdot 40 = $41,600\) para el retiro. Esta no es la mejor manera de ahorrar dinero, pero podemos ver que se calcula de manera sistemática.
Una cantidad crece linealmente si crece en una cantidad constante por cada unidad de tiempo.
Supongamos que en Flagstaff Arizona, el número de residentes aumentó en 1000 personas al año. Si la población inicial era de 46.080 en 1990, ¿se puede predecir la población en 2013? Este es un ejemplo de crecimiento lineal porque la población crece en una cantidad constante. A continuación enumeramos la población en años futuros agregando 1000 personas por cada año que pasa.
| 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Año | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Población | 46,080 | 47,080 | 48,080 | 49,080 | 50,080 | 51,080 | 52,080 |
El crecimiento poblacional se puede modelar con una ecuación lineal. La población inicial P0 es de 48,080. La población futura depende del número de años, t, después del año inicial. El modelo es P (t) = 46,080 + 1000 t
Para predecir la población en 2013, identificamos cuántos años ha pasado a partir de 1990, que es el año cero. Entonces n = 23 para el año 2013.
\[P(23)=46,080+1000(23)=69,080 \nonumber \]
La población de Flagstaff en 2013 sería de 69,080 personas.
|
Modelo de Crecimiento Lineal: El crecimiento lineal comienza con una población inicial llamada\(P_{0}\). En cada periodo de tiempo o generación t, la población cambia en una cantidad constante llamada diferencia común d. El modelo básico es: \[P(t) = P_{0} + td \nonumber \] |
Dora ha heredado una colección de 30 ranas antiguas. Cada año jura comprar dos ranas al mes para hacer crecer la colección. Se trata de 24 ranas adicionales al año. ¿Cuántas ranas tendrá es de seis años? ¿Cuánto tiempo le llevará llegar a 510 ranas?
Solución
La población inicial es\(P_{0} = 30\) y la diferencia común es\(d = 24\). El modelo de crecimiento lineal para este problema es:
\[P(t) = 30 + 24t \nonumber \]
La primera pregunta pregunta cuántas ranas tendrá Dora en seis años así, t = 6.
\[P(6) = 30+24(6) = 30 + 144 = 174 \nonumber \]ranas.
La segunda pregunta pregunta por el tiempo que le llevará a Dora recolectar 510 ranas. Entonces,\(P(t) = 510\) y vamos a resolver para t.
\[\begin{align*}510 &= 30 + 24t \\ 480 &= 24t \\ 20 &= t \end{align*} \nonumber \]
Tomará 20 años recolectar 510 ranas antiguas.
Nota: La gráfica del número de ranas antiguas que Dora acumula a lo largo del tiempo sigue una línea recta.
Supongamos que un automóvil se depreciará por la misma cantidad cada año. Joe compró un auto en 2010 por 16.800 dólares. En 2014 vale $12,000. Encuentra el modelo de crecimiento lineal. Predice cuánto valdrá el auto en 2020.
\(P_{0} = 16,800\)y\(P_{4} = 12,000\)
Para encontrar el modelo de crecimiento lineal para este problema, necesitamos encontrar la diferencia común d.
\[\begin{align*} P(t) &= P_{0} + td \\ 12,000 &= 16,800 + 4d \\ -4800 &= 4d \\ -1200 &= d \end{align*} \nonumber \]
La diferencia común de depreciación cada año es\(d = $-1200\). Así, el modelo de crecimiento lineal para este problema es:\(P(t) = 16,800 - 1200t\)
Ahora, para saber cuánto valdrá el auto en 2020, necesitamos saber cuántos años es a partir del año de compra. Ya que es diez años después,\(t=10\).
\[P(10)=16,800-1200(10)=16,800-12,000=4,800 \nonumber \]
El auto vale 4800 dólares en 2020.
Nota: El valor del automóvil a lo largo del tiempo sigue una línea recta decreciente.