5.3: Interés Compuesto
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La mayoría de los bancos, préstamos, tarjetas de crédito, etc. te cobran intereses compuestos, no simples intereses. El interés compuesto es el interés pagado tanto sobre el principal original como sobre todos los intereses que se hayan agregado al principal original. Los intereses de una hipoteca o préstamo de auto se componen mensualmente. Los intereses de una cuenta de ahorro se pueden componer trimestralmente (cuatro veces al año). ¡Los intereses de una tarjeta de crédito pueden ser compuestos semanalmente o diariamente!
| Tipo de composición | Número de períodos compuestos por año |
|---|---|
| Anualmente | 1 |
| Semestral | 2 |
| Trimestral | 4 |
| Mensual | 12 |
| Diario | 365 |
| Intereses compuestos: Intereses pagados sobre el principal Y los intereses devengados. |
Supongamos que invierte $3000 en una cuenta que le paga 7% de interés anual durante cuatro años. Utilizando el interés compuesto, después de que el interés se calcula al final de cada año, entonces ese monto se suma al monto total de la inversión. Después al año siguiente, los intereses se calculan utilizando el nuevo total del préstamo.
| Año | Intereses devengados | Total de Préstamo |
|---|---|---|
| 1 | $3000*0.07 = $210 | $3000 + $210 = $3210 |
| 2 | $3210 *0.07 = $224.70 | $3210 + $224.70 = $3434.70 |
| 3 | $3434.70*0.07 = $240.43 | $3434.70 + 240.43 = $3675.13 |
| 4 | $3675.13 *0.07 = $257.26 | 3675.13 + 257.26$ = $3932.39 |
| Total | $932.39 |
Entonces, después de cuatro años, has ganado 932.39 dólares en intereses por un total de $3932.39.
\[F=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} \nonumber \]
donde
- F = Valor futuro
- P = Valor actual
- r = Tasa porcentual anual (TAE) cambiada a decimal
- t = Número de años
- n = Número de períodos compuestos por año
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Comparación del interés simple frente al interés compuesto
Comparemos un plan de ahorro que paga 6% de interés simple frente a otro plan que paga 6% anual de interés compuesto trimestralmente. Si depositamos $8,000 en cada cuenta de ahorro, ¿cuánto dinero tendremos en cada cuenta después de tres años?
6% Interés Simple: P = $8,000, r = 0.06, t = 3
Así, tenemos $9440.00 en la cuenta de interés simple después de tres años.
6% Intereses Compuesto Trimestral: P = $8,000, r = 0.06, t = 3, n=4
Entonces, tenemos $9564.95 en la cuenta trimestral compuesta después de tres años.
Con intereses simples ganamos $1440.00 en nuestra inversión, mientras que con intereses compuestos ganamos $1564.95.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Interés compuesto: mensual compuesto
En comparación con Ejemplo\(\PageIndex{2}\) considera otra cuenta con 6% de interés compuesto mensualmente. Si invertimos $8000 en esta cuenta, ¿cuánto habrá en la cuenta después de tres años?
P = $8,000, r = 0.06, t = 3, n = 12
Así, tendremos $9573.44 en la cuenta mensual compuesta después de tres años.
Interés compuesto mensual te gana $9573.44 - $9564.95 = $8.49 más que intereses compuestos trimestralmente.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Bono de interés compuesto-ahorro
Los abuelos de Sophia le compraron una fianza de ahorro por $200 cuando nació. La tasa de interés fue de 3.28% compuesta semestralmente, y el bono vencería en 30 años. ¿Cuánto valdrá el vínculo de Sophia cuando cumpla 30 años?
P = $200, r = 0.0328, t = 30, n = 2
El bono de ahorro de Sophia valdrá 530.77 dólares después de 30 años.
| Compuesto continuo: El interés se compone infinitamente muchas veces al año. |
|
Fórmula de interés compuesto continuo: donde, F = Valor futuro P = Valor actual r = Tasa porcentual anual (TAE) cambiada a decimal t = Número de años |
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): interés compuesto continuo
Isabel invirtió su herencia de 100.000 dólares en una cuenta que ganaba 5.7% de intereses compuestos continuamente durante 20 años. ¿Cuál será su saldo después de 20 años?
P = $100,000, r = 0.057, t = 20
El saldo de Isabel será de $312,676.84 después de 20 años.
| Rendimiento porcentual anual (APY): el porcentaje real por el cual un saldo aumenta en un año. |
Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Rendimiento porcentual anual (APY)
Encuentre el Rendimiento Porcentaje Anual para una cuenta de inversión con
un. 7.7% de interés compuesto mensual
b. 7.7% interés compuesto diario
c. 7.7% interés compuesto continuamente.
Para encontrar APY, es más fácil examinar una inversión de $1 por un año.
- P = $1, r = 0.077, t = 1, n = 12
El porcentaje al que se incrementó el $1 fue de 7.9776%. El APY es de 7.9776%.
- P = $1, r = 0.077, t = 1, n = 365
El porcentaje al que se incrementó el $1 fue de 8.0033%. El APY es de 8.0033%.
- P = $1, r = 0.077, t = 1
El porcentaje al que se incrementó el $1 fue de 8.0042%. El APY es de 8.0042%.