7.2: Votación ponderada

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Maxie Inigo, Jennifer Jameson, Kathryn Kozak, Maya Lanzetta, & Kim Sonier
Coconino Community College

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Poder de Votación

Hay algunos tipos de elecciones donde los electores no tienen todos la misma cantidad de poder. Esto sucede a menudo en el mundo empresarial donde el poder que posee un elector puede estar basado en cuántas acciones posee. En esta situación, un elector podrá controlar el equivalente a 100 votos donde otros electores sólo controlan 15 o 10 votos o menos. Por lo tanto, la cantidad de poder que posee cada elector es diferente. Otro ejemplo está en cómo se elige al Presidente de Estados Unidos. Cuando una persona acude a las urnas y emite un voto por Presidente, en realidad está eligiendo quién irá al Colegio Electoral y representará a ese estado emitiendo el voto real para Presidente. Cada estado cuenta con un cierto número de votos del Colegio Electoral, que está determinado por el número de Senadores y el número de Representantes en el Congreso. Algunos estados tienen más votos de Colegio Electoral que otros, por lo que algunos estados tienen más poder que otros. ¿Cómo determinamos el poder que posee cada estado?

Para averiguar el poder, primero necesitamos definir algunos conceptos de un sistema de votación ponderada. A los individuos o entidades que votan se les llama jugadores. La notación para los jugadores es\(P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots, P_{N}\), dónde\(N\) está el número de jugadores. Cada jugador controla un cierto número de votos, que se llaman el peso de ese jugador. La notación para los pesos es\(w_{1}, w_{2}, w_{3}, \dots, w_{N}\), dónde\(w_1\) está el peso de\(P_1\),\(w_2\) es el peso de\(P_2\), etc. Para que una moción pase, debe tener un número mínimo de votos. A este mínimo se le conoce como la cuota. La notación para cuota es\(q\). El cupo debe ser superior a la mitad de los pesos totales y no puede ser mayor que el peso total. En otras palabras:

\[\frac{w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots w_{N}}{2}<q \leq w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots+w_{N} \nonumber \]

La manera de denotar un sistema de votación ponderada es\(\left[q: w_{1}, w_{2}, w_{3}, \dots, w_{N}\right]\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Weighted Voting System

Una empresa tiene 5 accionistas. Lee tiene 30% de propiedad, la Sra. Miller tiene 25%, el Sr. Matic tiene 22% de propiedad, la Sra. Pierce tiene 14% y el Sr. Hamilton tiene 9%. Hay una moción para decidir dónde mejor invertir sus ahorros. Los estatutos de la compañía definen el cupo como 58%. ¿Qué aspecto tiene este sistema de votación?

Solución

Tratando los porcentajes de propiedad como los votos, el sistema se ve así:\([58: 30,25,22,14,9]\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Valid Weighted Voting System

¿Cuáles de los siguientes son sistemas de votación ponderados válidos?

\([8: 5,4,4,3,2]\)

El cupo es 8 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 18 es 9, por lo que la cuota debe ser. Dado que la cuota es 8, y 8 no es mayor de 9, este sistema no es válido.

\([16: 6,5,3,1]\)

El cupo es 16 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 15 es 7.5, por lo que la cuota debe ser. Dado que el cupo es 16, y 16 es más de 15, este sistema no es válido.

\([9: 5,4,4,3,1]\)

El cupo es 9 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 17 es 8.5, por lo que la cuota debe ser. Dado que la cuota es 9, y 9 es más de 8.5 y menos de 17, este sistema es válido.

\([16: 5,4,3,3,1]\)

El cupo es 16 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 16 es 8, por lo que la cuota debe ser. Dado que la cuota es 16, y 16 es igual al máximo de los valores posibles de la cuota, este sistema es válido. En este sistema, todos los jugadores deben votar a favor de una moción para que ésta pase.

\([9: 10,3,2]\)

El cupo es 9 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 15 es 7.5, por lo que la cuota debe ser. Dado que la cuota es 9, y 9 está entre 7.5 y 15, este sistema es válido.

\([8: 5,4,2]\)

El cupo es 8 en este ejemplo. El peso total es. La mitad de 11 es 5.5, por lo que la cuota debe ser. Dado que la cuota es 8, y 8 está entre 5.5 y 11, el sistema es válido.

En Ejemplo\(\PageIndex{2}\), algunos de los sistemas de votación ponderados son sistemas válidos. Examinemos estos para algunos conceptos. En el sistema, el jugador uno tiene un peso de 10. Dado que la cuota es de nueve, este jugador puede pasar cualquier movimiento que quiera. Entonces, el jugador uno tiene todo el poder. Un jugador con todo el poder que puede pasar cualquier movimiento por sí solo se llama dictador. En el sistema, cada jugador tiene la misma cantidad de potencia ya que todos los jugadores son necesarios para pasar un movimiento. Eso también significa que cualquier jugador puede impedir que pase una moción. Se dice que un jugador que puede impedir que pase una moción tiene poder de veto. En el sistema, el jugador tres tiene un peso de dos. Los jugadores uno y dos pueden unirse y pasar cualquier movimiento sin el jugador tres, y el jugador tres no tiene suficiente peso para unirse con el jugador uno o el jugador dos para pasar un movimiento. Entonces el jugador tres no tiene poder. A un jugador que no tiene poder se le llama maniquí.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Dictator, Veto Power, or Dummy?

En el sistema de votación ponderada\([57: 23,21,16,12]\), es alguno de los jugadores un dictador o un maniquí o alguno tiene poder de veto.

Solución

Dado que ningún jugador tiene un peso mayor o igual que la cuota, entonces no hay dictador. Si los jugadores uno y dos se unen, no pueden pasar una moción sin el jugador tres, por lo que el jugador tres tiene poder de veto. Bajo la misma lógica, los jugadores uno y dos también tienen poder de veto. El jugador cuatro no puede unirse a ningún jugador para pasar una moción, por lo que los votos del jugador cuatro no importan. Así, el jugador cuatro es un maniquí.

Ahora que tenemos una comprensión de algunos de los conceptos básicos, ¿cómo cuantificamos la cantidad de poder que tiene cada jugador? Hay dos métodos diferentes. Uno se llama el Índice de Poder de Banzhaf y el otro es el Índice de Poder Shapely-Shubik. Vamos a ver cada uno de estos índices por separado.

Índice de potencia de Banzhaf

Una coalición es un conjunto de jugadores que unen fuerzas para votar juntos. Si hay tres jugadores\(P_{1}\),\(P_{2}\), y\(P_{3}\) entonces las coaliciones serían:\(\left\{P_{1}\right\},\left\{P_{2}\right\},\left\{P_{3}\right\},\left\{P_{1}, P_{2}\right\},\left\{P_{1}, P_{3}\right\},\left\{P_{2}, P_{3}\right\},\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\).

No todas estas coaliciones están ganando coaliciones. Para saber si una coalición está ganando o no mirar la suma de los pesos en cada coalición y luego comparar esa suma con la cuota. Si la suma es la cuota o más, entonces la coalición es una coalición ganadora.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Coalitions with Weights

En el sistema de votación ponderada\([17: 12,7,3]\), el peso de cada coalición y si gana o pierde está en la siguiente tabla.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Listado de Coaliciones
Coalición	Peso	¿Ganar o perder?
\(\left\{P_{1}\right\}\)	12	Pierde
\(\left\{P_{2}\right\}\)	7	Pierde
\(\left\{P_{3}\right\}\)	3	Pierde
\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\)	19	Gana
\(\left\{P_{1}, P_{3}\right\}\)	15	Pierde
\(\left\{P_{2}, P_{3}\right\}\)	10	Pierde
\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)	22	Gana

En cada una de las coaliciones ganadoras notarás que puede haber un jugador o jugadores que si dejaran la coalición, la coalición se convertiría en una coalición perdedora. Si hay tal jugador o jugadores, se les conoce como el/los jugador (s) crítico (s) en esa coalición.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Critical Players

En el sistema de votación ponderada\([17: 12,7,3]\), determine qué jugador (es) es (n) jugador (s) crítico (es). Obsérvese que ya hemos determinado qué coaliciones están ganando coaliciones para este sistema de votación ponderada en Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Así, cuando continuamos determinando el/los jugador (s) crítico (s), solo necesitamos enumerar las coaliciones ganadoras.

Tabla\(\PageIndex{2}\): Coaliciones ganadoras y jugadores críticos
Coalición	Peso	¿Ganar o perder?	Jugador Crítico
\(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\)	19	Gana	P 1, P 2
\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}\)	22	Gana	P 1, P 2

Observe que el jugador uno y el jugador dos son jugadores críticos dos veces y el jugador tres nunca es un jugador crítico.

Índice de potencia de Banzhaf

El índice de poder de Banzhaf es una medida del poder de los jugadores en un sistema de votación ponderada. En este índice, el poder de un jugador está determinado por la relación entre el número de veces que ese jugador es crítico con el número total de veces que cualquiera y todos los jugadores son críticos.

Definición: Índice de potencia de Banzhaf

Índice de potencia de Banzhaf para jugador

\[p_i=\dfrac{B_i}{T} \nonumber \]

donde\(B_i\) es el número de veces que el jugador\(P_i\) es crítico y\(T\) es el número total de veces que todos los jugadores son críticos

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Banzhaf Power Index

En el sistema de votación ponderada\([17: 12,7,3]\), determinar el índice de poder de Banzhaf para cada jugador.

Solución

Al usar la Mesa\(\PageIndex{2}\), el Jugador uno es crítico dos veces, el Jugador dos es crítico dos veces y el Jugador tres nunca es crítico. Entonces T = 4, B 1 = 2, B 2 = 2 y B 3 = 0. Así:

El índice de potencia Banzhaf de P 1 es = 0.5 = 50%
El índice de potencia Banzhaf de P 2 es = 0.5 = 50%
El índice de potencia de Banzhaf de P 3 es = 0%

Así que los jugadores uno y dos tienen cada uno el 50% de la potencia. Esto significa que tienen igual poder, a pesar de que el jugador uno tiene cinco votos más que el jugador dos. Además, el jugador tres tiene 0% de la potencia y así el jugador tres es un maniquí.

¿Cuántas coaliciones hay? De los últimos ejemplos, sabemos que si hay tres jugadores en un sistema de votación ponderada, entonces hay siete coaliciones posibles. ¿Qué tal cuando hay cuatro jugadores?

Tabla\(\PageIndex{3}\): Coaliciones con cuatro jugadores
1 Jugador	2 Jugadores	3 Jugadores	4 Jugadores
\(\left\{P_{1}\right\},\left\{P_{2}\right\},\left\{P_{3}\right\},\left\{P_{4}\right\}\)			\(\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right\}\)

Entonces cuando hay cuatro jugadores, resulta que hay 15 coaliciones. Cuando hay cinco jugadores, hay 31 coaliciones (hay demasiadas para enumerar, así que toma mi palabra para ello). No parece que haya un patrón en el número de coaliciones, hasta que te des cuenta de que 7, 15 y 31 son todos uno menos que un poder de dos. De hecho, siete es uno menos que, 15 es uno menos que, y 31 es uno menos que. Entonces parece que el número de coaliciones para N jugadores es.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Banzhaf Power Index

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) tenía el sistema de votación ponderada de\([58: 30,25,22,14,9]\). Encuentra el índice de potencia de Banzhaf para cada jugador.

Solución

Ya que hay cinco jugadores, hay 31 coaliciones. Esto es demasiado para escribir, pero si tenemos cuidado, podemos simplemente escribir las coaliciones ganadoras. Ningún jugador puede ganar solo, así que podemos ignorar todas las coaliciones con un solo jugador. Además, tampoco puede ganar ninguna coalición de dos jugadores. Entonces podemos comenzar con las coaliciones de tres jugadores.

Tabla\(\PageIndex{4}\): Coaliciones ganadoras y jugadores críticos
Coalición ganadora	Jugador Crítico

Entonces el jugador uno es crítico ocho veces, el jugador dos es crítico seis veces, el jugador tres es crítico seis veces, el jugador cuatro es crítico cuatro veces y el jugador cinco es crítico dos veces. Así, el número total de veces que cualquier jugador es crítico es T = 26.

Índice de potencia Banzhaf para P 1 = = 0.308 = 30.8%
Índice de potencia de Banzhaf para P 2 = = 0.231 = 23.1%
Índice de potencia de Banzhaf para P 3 = = 0.231 = 23.1%
Índice de potencia Banzhaf para P 4 = = 0.154 = 15.4%
Índice de potencia Banzhaf para P 5 = = 0.077 = 7.7%

Cada jugador tiene algo de poder. El jugador uno tiene la mayor potencia con 30.8% de la potencia. Nadie tiene poder de veto, ya que ningún jugador está en todas las coaliciones ganadoras.

Índice de potencia Shapely-Shubik

Shapely-Shubik adopta un enfoque diferente para calcular la potencia. En lugar de solo mirar qué jugadores pueden formar coaliciones, Shapely-Shubik decidió que todos los jugadores formaran una coalición juntos, pero el orden en que los jugadores se unan a una coalición es importante. A esto se le llama coalición secuencial. En lugar de mirar a un jugador que abandona una coalición, este método examina lo que sucede cuando un jugador se une a una coalición. Si cuando un jugador se une a la coalición, la coalición cambia de una coalición perdedora a una ganadora, entonces ese jugador es conocido como un jugador fundamental. Ahora contamos cuántas veces cada jugador es fundamental, y luego dividimos por el número de coaliciones secuenciales. Tenga en cuenta, que en realidad cuando se formen coaliciones para aprobar una moción, no todos los jugadores se sumarán a la coalición. La coalición secuencial se utiliza únicamente para averiguar el poder que posee cada jugador.

Como ejemplo, supongamos que tiene el sistema de votación ponderada de. Una de las coaliciones secuenciales es lo que significa que P 1 se une primero a la coalición, seguido de P 2 que se une a la coalición, y finalmente, P 3 se une a la coalición. Cuando el jugador uno se une a la coalición, la coalición es una coalición perdedora con sólo 12 votos. Entonces, cuando el jugador dos se une, la coalición ahora tiene suficientes votos para ganar (12 + 7 = 19 votos). La incorporación del jugador tres no cambia el estatus ganador de la coalición por lo que es irrelevante. Así, el jugador dos es el jugador fundamental para esta coalición. Otra coalición secuencial es. Cuando el jugador uno se une a la coalición, la coalición es una coalición perdedora con sólo 12 votos. Entonces el jugador tres se une pero la coalición sigue siendo una coalición perdedora con sólo 15 votos. Entonces el jugador dos se une y la coalición es ahora una coalición ganadora con 22 votos. Entonces el jugador dos también es el jugador fundamental para esta coalición.

¿Cuántas coaliciones secuenciales hay para N jugadores? Veamos primero a tres jugadores. Las coaliciones secuenciales para tres jugadores (P 1, P 2, P 3) son:.

Nota: La diferencia en notación: Utilizamos para coaliciones y coaliciones secuenciales.

Por lo que hay seis coaliciones secuenciales para tres jugadores. ¿Podemos llegar a una fórmula matemática para el número de coaliciones secuenciales? Para el primer jugador de la coalición secuencial, hay 3 jugadores para elegir. Una vez que eliges uno para el primer lugar, entonces solo hay 2 jugadores para elegir para el segundo lugar. El tercer puesto sólo tendrá un jugador para poner en ese spot. Aviso, 3*2*1 = 6. Parece que si tienes N jugadores, entonces puedes encontrar el número de coaliciones secuenciales multiplicando. Esta expresión se llama N factorial, y se denota con N! .

La mayoría de las calculadoras tienen un botón factorial. El proceso para encontrar un factorial sobre el TI-83/84 se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Finding a Factorial on the TI-83/84 Calculator

¡Encuentra 5! en la Calculadora TI-83/84.

Primero, tenga en cuenta que, lo cual es fácil de hacer sin el botón especial en la calculadora, ya sea que lo usaremos de todos modos. Primero, ingresa el número cinco en la pantalla de inicio de la calculadora.

Figura\(\PageIndex{5}\): Cinco ingresados en la pantalla de inicio

Después presiona el botón MATH. Verás lo siguiente:

Ahora presione la tecla de flecha derecha para pasar a la abreviatura PRB, que significa probabilidad.

Número 4:! es el botón factorial. O bien flecha hacia abajo hasta el número cuatro y presione ENTRAR, o simplemente presione el botón cuatro. Esto pondrá el! junto a tus cinco en la pantalla de inicio.

Figura\(\PageIndex{8}\): ¡5! en la pantalla de inicio

Ahora presiona ENTRAR y verás el resultado.

Figura\(\PageIndex{9}\): ¡Respuesta a 5!

¡Observe que 5! es un número muy grande. Entonces, si tienes 5 jugadores en el sistema de votación ponderada, necesitarás enumerar 120 coaliciones secuenciales. Esto es bastante grande, por lo que la mayoría de los cálculos que utilizan el índice de potencia Shapely-Shubik se realizan con una computadora.

Ahora tenemos los conceptos para calcular el índice de potencia Shapely-Shubik.

Índice de potencia Shapely-Shubik para el jugador P i

donde es la frecuencia con la que el jugador es fundamental

N es el número de jugadores y N! es el número de coaliciones secuenciales

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Shapely-Shubik Power Index

En el sistema de votación ponderada\([17: 12,7,3]\), determinar el índice de poder Shapely-Shubik para cada jugador.

Solución

Primero enumere cada coalición secuencial. Después determinar qué jugador es fundamental en cada coalición secuencial. ¡Hay 3! = 6 coaliciones secuenciales.

Tabla\(\PageIndex{10}\): Coaliciones Secuenciales y Jugadores Pivotales
Coalición secuencial	Jugador pivotal
	P 2
	P 2
	P 1
	P 1
	P 2
	P 1

Entonces,,, y.

Índice de potencia Shapely-Shubik para P 1 = 0.5 = 50%

Índice de potencia Shapely-Shubik para P 2 = 0.5 = 50%

Índice de potencia Shapely-Shubik para P 3 = 0%

Esta es la misma respuesta que el índice de poder de Banzhaf. Los dos métodos no suelen producir la misma respuesta exacta, pero sus respuestas serán cercanas al mismo valor. Observe que el jugador tres es un ficticio usando ambos índices.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Calculating the Power

Para el sistema de votación, encuentre:

El índice de poder de Banzhaf para cada jugador

Lo primero que hay que hacer es enumerar todas las coaliciones y determinar cuáles están ganando y cuáles están perdiendo. Después determinar el/los jugador (s) crítico (s) en cada coalición ganadora.

\(\PageIndex{11}\)Coaliciones de Mesa y Jugadores Críticos
Coalición	Peso	¿Ganar o perder?	Jugador Crítico
	6	Pierde
	4	Pierde
	2	Pierde
	10	Gana	P 1, P 2
	8	Gana	P 1, P 3
	6	Pierde
	12	Gana	P 1

Entonces,

Índice de potencia Banzhaf de P 1 = 0.6 = 60%

Índice de potencia Banzhaf de P 2 = 0.2 = 20%

Índice de potencia Banzhaf de P 3 = 0.2 = 20%

El índice de potencia Shapely-Shubik para cada jugador

Lo primero que hay que hacer es enumerar todas las coaliciones secuenciales, para luego determinar el jugador fundamental en cada coalición secuencial.