8.4: Métodos Discretos - Pujas y Marcadores Sellados
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Hay dos métodos más de división justa que tratan con objetos discretos. Es que dos herederos tienen que dividir una casa no pueden simplemente cortar la casa por la mitad. En cambio tenemos que encontrar una manera de mantener intacta la casa y aún así tener a ambos herederos que sientan que recibieron una parte justa. El método de pujas selladas se utiliza para dividir un pequeño número de objetos no necesariamente similares en valor. Si hay muchos objetos similares en valor, como una colección de joyas, el método de marcadores se puede utilizar para encontrar una división justa.
Método de ofertas selladas
El método de ofertas selladas se puede utilizar para dividir un patrimonio entre un pequeño número de herederos. Una buena característica de este método es que cada jugador en el juego termina con más que una parte justa (a sus propios ojos). El método también se puede utilizar cuando los socios comerciales desean disolver una asociación de manera equitativa o los compañeros de cuarto quieren dividir una gran lista de tareas.
Hacemos los siguientes supuestos en el método de las ofertas selladas.
- Los jugadores son los únicos involucrados en el juego y están dispuestos a aceptar el resultado.
- Los jugadores no tienen conocimiento previo de las preferencias de los demás jugadores por lo que no intentan manipular el juego. Si no se cumple esta suposición el juego podría no producir una división justa.
- Los jugadores no están apegados emocional/irracionalmente a ninguno de los elementos. Los jugadores se conformarán con cualquiera de los artículos o efectivo siempre que sea una parte justa. Por ejemplo, nadie diría “quiero la casa y haré lo que sea para conseguirla”.
La forma más fácil de explicar el método es trabajar a través de un ejemplo. Una manera fácil de mantener los pasos ordenados y organizados es hacer los pasos en una mesa grande, trabajando de arriba a abajo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Método de ofertas selladas, #1
Tres herederos, Alice, Betty y Charles heredan una finca que consiste en una casa, una pintura y un tractor. Deciden utilizar el método de las ofertas selladas para dividir el patrimonio entre ellos.
- Cada uno de los jugadores presenta una lista de ofertas por los artículos. La puja es el valor que un jugador asignaría al ítem. Las ofertas se realizan de forma privada e independiente. Las ofertas suelen estar listadas en una tabla.
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
- Por cada ítem, el jugador con la oferta más alta gana el ítem. Las pujas ganadoras se destacan en la tabla.
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
- Por cada jugador encuentra la suma de sus pujas. Esta cantidad es lo que el jugador piensa que vale todo el patrimonio. Para tres jugadores, cada jugador tiene derecho a un tercio del patrimonio. Divide cada suma por tres para obtener una parte justa para cada jugador. Recuerda que cada jugador ve los valores de manera diferente por lo que las acciones justas no serán las mismas.
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
| Pujas totales | $411,000 | $405,000 | $435,000 |
| Fair Share | $137,000 | $135,000 | 145,000 |
- Cada jugador obtiene más de su justa o menos de su parte justa cuando se otorgan los artículos. Encuentra la diferencia entre la parte justa y los artículos otorgados por cada jugador. Si a un jugador se le otorgó más que su parte justa, el jugador debe la diferencia al patrimonio. Si a un jugador se le otorgó menos de su parte justa, el patrimonio le debe la diferencia al jugador.
Alice: $137,000 - $75,000 = $62,000. El patrimonio le debe a Alice $62,000.
Betty: $135,000 - $0 = $135,000. El patrimonio le debe a Betty $135,000.
Charles: $145,000 — ($300,000 + $63.000) = -218,000 $. Charles le debe al patrimonio 218,000 dólares.
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
| Pujas totales | $411,000 | $405,000 | $435,000 |
| Fair Share | $137,000 | $135,000 | 145,000 |
| Deudado a Bienes | 218,000 | ||
| Bienes debe | $62,000 | $135,000 |
- En este punto del juego, siempre hay algo de dinero extra en la finca llamado el excedente. Para encontrar el excedente, encontramos la diferencia entre todo el dinero adeudado al patrimonio y todo el dinero que debe el patrimonio.
$218,000 — ($62,000 + $135,000) = $21,000.
Divide este superávit de manera uniforme entre los tres jugadores.
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
| Pujas totales | $411,000 | $405,000 | $435,000 |
| Fair Share | $137,000 | $135,000 | 145,000 |
| Deudado a Bienes | 218,000 | ||
| Bienes debe | $62,000 | $135,000 | |
| Cuota de excedente | $7,000 | $7,000 | $7,000 |
- Terminar el problema combinando la parte del excedente con el monto adeudado al patrimonio o al monto que debe el patrimonio. Incluya los artículos otorgados en la acción final así como cualquier dinero.
Alice: $62,000 + $7,000 = $69,000
Betty: $135,000 + $7,000 = $142,000
Charles: -218,000 $ + $7,000 = -$211,000
| Alice | Betty | Charles | |
|---|---|---|---|
| Casa | 280.000 | $275,000 | $300,000 |
| Pintura | $75,000 | $70,000 | 72,000 |
| Tractor | 56.000 | $60,000 | 63,000 |
| Pujas totales | $411,000 | $405,000 | $435,000 |
| Fair Share | $137,000 | $135,000 | 145,000 |
| Deudado a Bienes | 218,000 | ||
| Bienes debe | $62,000 | $135,000 | |
| Cuota de excedente | $7,000 | $7,000 | $7,000 |
| Compartir Final |
Obtiene pintura y $69,000 efectivo |
Obtiene $142,000 en efectivo | Obtiene casa y tractor y paga $211,000 |
Alice recibe la pintura y 69,000 dólares en efectivo. Betty recibe 142,000 dólares en efectivo. Charles consigue la casa y el tractor y paga 211,000 dólares a la finca.
Ahora, encontramos el valor de la liquidación final para cada uno de los tres herederos en este ejemplo. Recuerda que cada jugador tiene su propio sistema de valores en este juego por lo que las acciones justas no son la misma cantidad.
Alice: Pintura por valor de 75,000 dólares y 69,000 dólares en efectivo para un total de $144,000. Esto es $7,000 más que su parte justa de 137.000 dólares.
Betty: $142,000 efectivo. Esto es $7,000 más que su parte justa de 135,000 dólares.
Charles: Casa por valor de 300.000 dólares, tractor por valor de 63,000 dólares y paga 211,000 dólares por una participación total de $152,000. Esto es $7,000 más que su parte justa de 145,000 dólares.
Al final del juego, cada jugador termina con más de una parte justa. Siempre funciona de esta manera siempre y cuando se cumplan los supuestos.
Resumen del método de ofertas selladas:
- Cada jugador puja de forma privada e independiente por cada artículo. Una puja es la cantidad que el jugador piensa que vale el artículo.
- Por cada ítem, el jugador con la oferta más alta gana el ítem.
- Por cada jugador encuentra la suma de las pujas y divide esta suma por el número de jugadores para encontrar la parte justa para ese jugador.
- Encuentra la diferencia (parte justa) — (total de artículos otorgados) para cada jugador. Si la diferencia es negativa, el jugador le debe al patrimonio esa cantidad de dinero. Si la diferencia es positiva, el patrimonio le debe al jugador esa cantidad de dinero.
- Encuentra el excedente encontrando la diferencia (suma de dinero adeudada a la herencia) — (suma de dinero que debe la herencia). Dividir el excedente por el número de jugadores para encontrar la parte justa del excedente.
- Encuentra la liquidación final sumando la parte del excedente ya sea al monto adeudado al patrimonio o al monto que debe el patrimonio. Incluya los artículos otorgados y cualquier efectivo adeudado en la liquidación final. La suma de todo el efectivo en la liquidación final debe ser de $0.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Método de ofertas selladas, #2
Doug, Edward, Frank y George han heredado algunos muebles de la finca de su bisabuela y desean dividirlos por igual entre ellos. Utilice el método de ofertas selladas para encontrar una división justa de los muebles.
Nota: Comenzamos con una tabla y agregamos líneas al fondo a medida que avanzamos por los pasos.
- Enumere las pujas en forma de tabla.
| Doug | Edward | Frank | George | |
|---|---|---|---|---|
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
- Otorgar cada artículo al mejor postor.
| Doug | Edward | Frank | George | |
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
- Encuentra la parte justa para cada jugador.
Doug:
Eduardo:
Calcular de manera similar para Frank y George.
| Doug | Edward | Frank | George | |
|---|---|---|---|---|
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
| Pujas totales | $3,035.00 | $3,025.00 | $3,050.00 | $3,050.00 |
| Fair Share | $758.75 | $756.25 | $762.50 | $762.50 |
- Encuentra el monto adeudado al patrimonio o el monto que debe el patrimonio.
Doug:\(\$ 758.75-\$ 1000.00=-\$ 241.25\)
Doug le debe al patrimonio $241.25.
Calcular de manera similar para Edward y Frank.
Jorge:\(\$ 762.50-\$ 300.00=\$ 462.50\)
El patrimonio le debe a George 462.50 dólares.
| Doug | Edward | Frank | George | |
|---|---|---|---|---|
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
| Pujas totales | $3,035.00 | $3,025.00 | $3,050.00 | $3,050.00 |
| Fair Share | $758.75 | $756.25 | $762.50 | $762.50 |
| Debe a Bienes | $241.25 | $393.75 | $87.50 | |
| Bienes debe | $462.50 |
- Encuentra la parte del excedente para cada jugador.
| Doug | Edward | Frank | George | |
|---|---|---|---|---|
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
| Pujas totales | $3,035.00 | $3,025.00 | $3,050.00 | $3,050.00 |
| Fair Share | $758.75 | $756.25 | $762.50 | $762.50 |
| Debe a Bienes | $241.25 | $393.75 | $87.50 | |
| Bienes debe | $462.50 | |||
| Cuota de excedente | $65.00 | $65.00 | $65.00 | $65.00 |
- Encuentra la parte final para cada jugador.
Doug:\(-\$ 241.25+\$ 65.00=-\$ 176.25\)
Calcular de manera similar para Edward y Frank.
Jorge:\(\$ 462.50+\$ 65.00=\$ 527.50\)
| Doug | Edward | Frank | George | |
|---|---|---|---|---|
| Dresser | $280.00 | $275.00 | $250.00 | $300.00 |
| Escritorio | $480.00 | $500.00 | $450.00 | $475.00 |
| Armario | $775.00 | $800.00 | $850.00 | $800.00 |
| Juego de Comedor | $1,000.00 | $800.00 | $900.00 | $950.00 |
| Cama con Poster | $500.00 | $650.00 | $600.00 | $525.00 |
| Pujas totales | $3,035.00 | $3,025.00 | $3,050.00 | $3,050.00 |
| Fair Share | $758.75 | $756.25 | $762.50 | $762.50 |
| Debe a Bienes | $241.25 | $393.75 | $87.50 | |
| Bienes debe | $462.50 | |||
| Cuota de excedente | $65.00 | $65.00 | $65.00 | $65.00 |
| Compartir Final | Juego de comedor y paga $176.25 | Escritorio y cama con dosel y paga $328.75 | Armario y paga $22.50 | Dresser y obtiene $527.50 |
Doug recibe el juego de comedor y paga $176.25. Edward consigue el escritorio y la cama con dosel y paga 328.75$. Frank consigue el vestuario y paga 22.50 dólares. George consigue la cómoda y 527.50 dólares en efectivo.
Tenga en cuenta que la suma de todo el dinero en las acciones finales es de $0 como debería ser. También tenga en cuenta que la participación final de cada jugador vale $65.00 más que la parte justa en sus ojos.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Método de ofertas selladas en la disolución de una sociedad
Jack, Kelly y Lisa son socios en una cafetería local. Los socios desean disolver la asociación para perseguir otros intereses. Utilice el método de ofertas selladas para encontrar una división justa del negocio. Jack puja $450,000, Kelly puja $420,000 y Lisa puja $480,000 por el negocio.
Haz una mesa similar a la mesa para dividir un patrimonio y sigue el mismo conjunto de pasos para resolver este problema.
| Jack | Kelly | Lisa | |
|---|---|---|---|
| Negocios | 450.000 | 420.000 | $480,000 |
| Pujas totales | 450.000 | 420.000 | $480,000 |
| Fair Share | $150,000 | $140,000 | $160,000 |
| Debe a los negocios | $320,000 | ||
| El negocio debe | $150,000 | $140,000 | |
| Cuota de excedente | $10,000 | $10,000 | $10,000 |
| Compartir Final | $160,000 efectivo | $150,000 en efectivo | Negocios y paga $310,000 |
Lisa consigue el negocio y paga a Jack 160.000 dólares y Kelly $150,000.
Método de Marcadores
El método de marcadores se utiliza para dividir una colección de muchos objetos de aproximadamente el mismo valor. Los herederos podrían utilizar el método de los marcadores para dividir la colección de joyas de su abuela. La idea básica del método es organizar los objetos en una línea. Entonces, cada jugador pone marcadores entre los objetos dividiendo la línea de objetos en distintas partes. Cada parte es una parte justa para ese jugador en particular. Con base en la colocación de los marcadores, los objetos se asignan a los jugadores. Si hay jugadores, cada jugador coloca
marcadores entre los objetos. Utilizaremos la notación A1 para representar el primer marcador para el jugador A, A2 para representar el segundo marcador para el jugador A, y así sucesivamente.
Muchas veces cuando los jugadores han hecho todos los pasos en el método de marcadores quedan algunos objetos sobrantes. Si quedan muchos objetos, los jugadores pueden alinearlos y volver a hacer el método de marcadores. Si solo quedan unos pocos objetos, un enfoque común es elegir aleatoriamente un orden para los jugadores, luego dejar que cada jugador elija un objeto hasta que todos los objetos se hayan ido.
Es interesante ver que un jugador solo puede recibir uno o dos objetos mientras que otro jugador puede recibir cuatro o cinco objetos. El número de objetos asignados depende del sistema de valores de cada jugador. Primero veremos la asignación de las piezas después de que se hayan colocado los marcadores. Una vez que entendamos eso, veremos colocar los marcadores en los lugares correctos para cada jugador.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Método de Marcadores, #1
Tres jugadores Albert (A), Bertrand (B) y Charles (C), desean dividir una colección de 15 objetos usando el método de marcadores. Determinar la asignación final de objetos a cada jugador. Como hay tres jugadores, cada jugador usa dos marcadores.
Empecemos por mirar la línea de objetos y los marcadores de Albert.
Los marcadores dividen la línea de objetos en tres piezas. Cada pieza de la línea es una parte justa en el sistema de valores de Albert. Quedaría satisfecho con alguna de las tres piezas en la asignación final. Por ahora, no te preocupes por cómo Albert determinó dónde colocar los marcadores. Vamos a ver eso en Ejemplo\(\PageIndex{6}\).
Ahora agreguemos los marcadores para Bertrand y Charles.
Paso 1: Al examinar los objetos de izquierda a derecha, encuentra el primer marcador, B1. Dale a Bertrand todos los objetos desde el inicio de la línea hasta el marcador B1. Bertrand se quita el resto de sus marcadores y deja el juego por ahora.
Paso 2: Ahora, continuando de izquierda a derecha, encuentra el primer marcador del segundo grupo de marcadores (A2 y C2). El primer marcador de este grupo con el que nos encontramos es A2. Dale a Albert todos los objetos desde su primer marcador A1 hasta su segundo marcador A2. Recuerda que una parte justa va de un marcador a otro. El objeto #4 no forma parte de la parte justa de Albert ya que es antes de su primer marcador. Albert se quita el resto de sus marcadores y deja el juego por ahora.
Paso 3: Charles es el único jugador que queda en el juego. Considera que todo, desde su segundo marcador hasta el final de la línea, es una parte justa así que dáselo. Quedan todos los objetos no asignados en este punto.
Paso 4: Normalmente algunos objetos quedan en este punto. Los objetos numerados 4, 9, 10 y 11 quedan en este juego. Los tres jugadores podrían sacar pajitas para determinar un orden. Entonces cada jugador en orden elegiría un objeto hasta que se asignen todos los objetos.
Nota: Normalmente cuando hacemos el método de marcadores, solo dibujamos la figura una vez.
Resumen del Método de Marcadores para n jugadores:
- Organizar los objetos en una línea. Cada uno de los n jugadores coloca n-1 marcadores entre los objetos.
- Encuentra el primer primer marcador, digamos A1. Dale al jugador A todos los objetos desde el inicio de la línea hasta el 1er primer marcador. El jugador A elimina sus marcadores restantes y deja el juego por ahora.
- Encuentra el primer segundo marcador, digamos B2. Regale al jugador B todos los objetos desde el primer segundo marcador hasta el marcador anterior B1 de B. Es decir, todos los objetos de B1 a B2. El jugador B quita sus marcadores restantes y deja el juego por ahora.
- Encuentra el 1er tercer marcador, digamos C3. Regale al jugador C todos los objetos desde el primer tercer marcador hasta el marcador anterior C2 de C. Es decir, todos los objetos de C2 a C3. El jugador C quita sus marcadores restantes y deja el juego por ahora.
- Continúa este patrón hasta que quede un jugador. Dale al último jugador todos los objetos desde su último marcador hasta el final de la línea de objetos.
- Divida los objetos restantes. Si quedan muchos objetos, vuelva a hacer el método de marcadores. Si solo quedan unos pocos objetos, elige aleatoriamente una orden y luego deja que cada jugador elija un objeto en orden hasta que todos los objetos se hayan ido.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Método de Marcadores, #2
Cuatro primos, Amy, Becky, Connie y Debbie desean utilizar el método de los marcadores para dividir una colección de joyas. Las joyas están alineadas y los primos colocan sus marcadores como se muestra a continuación en la Figura\(\PageIndex{23}\). ¿Cuál es la asignación final de las joyas?
El 1er primer marcador es C1 así que dale a Connie todas las joyas desde el inicio de la línea hasta su primer marcador. Connie le quita los marcadores restantes y deja el juego por ahora.
El primer segundo marcador es D2 así que dale a Debbie todas las joyas entre los marcadores D1 y D2. Debbie le quita los marcadores restantes y deja el juego por ahora.
El 1er tercer marcador es un empate entre A3 y B3 así que elige uno al azar. Una posibilidad es que Amy y Becky echen una moneda y el ganador obtenga la siguiente parte justa. Supongamos que Becky gana el lanzamiento de la moneda. Dale a Becky todas las joyas entre los marcadores B2 y B3. Becky se quita sus marcadores restantes y deja el juego por ahora.
Amy es la última jugadora del juego. Dale a Amy todas las joyas desde su último marcador hasta el final de la línea.
Quedan joyas numeradas 4, 8 y 9. Los jugadores pueden sacar pajitas para determinar un orden. Cada jugador, en orden, elige una joya hasta que se hayan asignado todas las joyas.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Determinar dónde colocar los marcadores
Cuatro compañeros de cuarto quieren dividir una colección de fruta que consiste en 8 naranjas (O), 8 plátanos (B), 4 peras (P) y 4 manzanas (A). Los frutos se alinean como se muestra a continuación en la Figura\(\PageIndex{28}\).
Para determinar dónde colocar los marcadores, cada jugador asigna un valor a cada tipo de fruta. A Jack le encantan las naranjas, le gustan las manzanas y las peras por igual, pero no le gustan los plátanos. Asigna un valor de $1 a cada manzana y cada pera, un valor de $2 a cada naranja, y un valor de $0 a cada plátano. En el sistema de valores de Jack, la recolección de fruta vale 24 dólares. La parte justa de Jack es de 6 dólares. Necesita colocar sus marcadores para que el fruto se divida en grupos con un valor de 6 dólares. Puede ser útil trabajar desde ambos extremos de la línea. Jack no tiene otra opción sobre la colocación de su primer y tercer marcador. Debido a que ve que los plátanos valen 0 dólares tiene tres posibles lugares para su segundo marcador. Estas posibilidades se muestran a continuación en la Figura\(\PageIndex{29}\) como líneas punteadas.
A Kent no le gustan las manzanas y las naranjas, como los plátanos y realmente le encantan las peras. Asigna un valor de $0 a cada manzana o naranja, un valor de $1 a cada plátano y un valor de $3 a cada pera. En el sistema de valores de Kent, la recolección de fruta vale 20 dólares. Dado que hay cuatro jugadores, la parte justa de Kent es de 5 dólares. Necesita colocar sus marcadores para que el fruto se divida en grupos que valen 5 dólares. Jack no tiene otra opción sobre la colocación de su tercer marcador. Tiene algunas posibilidades para sus dos primeros marcadores. Las posibilidades se muestran a continuación en la Figura\(\PageIndex{30}\) como líneas punteadas.
Los otros dos compañeros seguirían el mismo proceso para colocar sus marcadores. Una vez colocados todos los marcadores, comienza la asignación por el método de marcadores.
Imagínese si se reorganizara el orden de la fruta en\(\PageIndex{6}\) Ejemplo. Tal vez no sea posible que Kent divida la línea de frutas en grupos por valor de 5 dólares. Podría tener que usar un grupo que valga 6 dólares al lado de un grupo que valga 4 dólares. Este es un buen momento para recordar que ninguno de nuestros métodos de división justa son perfectos. Funcionan bien la mayor parte del tiempo pero a veces solo tenemos que conformarnos. Si a Kent se le asignara un grupo de frutas por valor de solo 4 dólares podría recuperar parte del valor faltante cuando se asignen las frutas sobrantes.