10.1: Transformaciones mediante movimientos rígidos

En esta sección aprenderemos sobre isometría o movimientos rígidos. Una isometría es una transformación que preserva las distancias entre los vértices de una forma. Un movimiento rígido no afecta a la forma general de un objeto, sino que lo mueve de una ubicación inicial a una ubicación final. La cifra resultante es congruente con la figura original.

Un movimiento rígido es cuando un objeto se mueve de una ubicación a otra y el tamaño y la forma del objeto no han cambiado.

Dos figuras son congruentes si y sólo si existe un movimiento rígido que establece una correspondencia de una figura como la imagen de la otra. Las longitudes laterales siguen siendo las mismas y los ángulos interiores siguen siendo los mismos.

Un movimiento de identidad es un movimiento rígido que mueve un objeto desde su ubicación inicial a exactamente la misma ubicación. Es como si el objeto no se hubiera movido en absoluto.

Hay cuatro tipos de movimientos rígidos: traslaciones, rotaciones, reflejos y reflexiones de deslizamiento. Al describir un movimiento rígido, usaremos puntos como P y Q, ubicados en la forma geométrica, e identificaremos su nueva ubicación en la forma geométrica movida por P' y Q'.

Comenzaremos con el movimiento rígido llamado traslación. Al traducir un objeto, lo movemos en una dirección específica para una longitud específica, a lo largo de un vector.

Figura\(\PageIndex{1}\): Traducción

La traslación del triángulo azul con el punto P se movió a lo largo del vector hasta la ubicación del triángulo rojo con el punto P'. También tenga en cuenta que los otros vértices del triángulo azul también se movieron a lo largo del vector hasta los vértices correspondientes en el triángulo rojo.

P'

P

Una traslación de un objeto mueve el objeto a lo largo de un segmento de línea dirigido llamado vector para una distancia específica y en una dirección específica. El movimiento está completamente determinado por dos puntos P y P' donde P está en el objeto original y P' está en el objeto traducido.

En lenguaje regular, una traducción de un objeto es una diapositiva de una posición a otra. Se le da una figura geométrica y una flecha que representa el vector. El vector te da la dirección y la distancia a la que deslizas la figura.

Ejemplo de\(\PageIndex{1}\) traducción de un triángulo

Se le da un triángulo azul y un vector. Mueva el triángulo a lo largo del vector.

Figura\(\PageIndex{2}\): Triángulo Azul y Vector

	B
		A			C

Figura\(\PageIndex{3}\): Resultado de la Traducción

	B'
		A'			C'
	B
		A			C

Propiedades de una Traducción

1. Una traducción está completamente determinada por dos puntos P y P'
2. No tiene puntos fijos
3. Tiene movimiento de identidad

Nota: el vector tiene la misma longitud que el vector , pero apunta en la dirección opuesta.

Ejemplo de\(\PageIndex{2}\) traducción de un objeto

Dada la figura en forma de L a continuación, traduce la figura a lo largo del vector . El vector mueve horizontalmente tres unidades hacia la derecha y verticalmente dos unidades hacia arriba. Mueve cada vértice tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba. La figura roja es la posición de la figura en forma de L después de la diapositiva.

Figura\(\PageIndex{4}\): Forma de L y Vector

P

Figura\(\PageIndex{5}\): Resultado de la Forma de L Traducida por Vector

P'

P

El siguiente tipo de transformación (movimiento rígido) que discutiremos se llama rotación. Una rotación mueve un objeto alrededor de un punto fijo R llamado rotocentro y a través de un ángulo específico. El triángulo azul de abajo se ha girado 90° alrededor del punto R.

Una rotación de un objeto mueve el objeto alrededor de un punto llamado rotocentro R un cierto ángulo ya sea en sentido horario o antihorario.

Nota: el rotocentro R puede estar fuera del objeto, dentro del objeto o sobre el objeto.

Figura\(\PageIndex{6}\): Un Triángulo Girado 90° alrededor del Rotocentro R fuera del Triángulo

90°

R

Figura\(\PageIndex{7}\): Un Triángulo Girado 180° alrededor del Rotocentro R dentro del Triángulo

R

Propiedades de una Rotación

1. Una Rotación está completamente determinada por dos pares de puntos; P y P' y

Q y Q'

2. Tiene un punto fijo, el rotocentro R
3. Tiene movimiento de identidad la rotación de 360°

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Rotación de una Forma de L

Dado el siguiente diagrama, gire la figura en forma de L 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del rotocentro R. El punto Q gira 90°. Mueva cada vértice 90° en sentido horario.

Figura\(\PageIndex{8}\): Forma de L y Rotocentro R

La figura en forma de L se girará 90° en sentido horario y el vértice Q se moverá al vértice Q'. Cada vértice del objeto se girará 90°.

Q

90°

Q'

R

Figura\(\PageIndex{9}\): Resultado de la rotación de 90° en sentido horario

Q

Q'

R

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Rotación de 45° en sentido horario de un rectángulo

Figura\(\PageIndex{10}\): Rectángulo y Rotocentro R

Q

45°

Q'

R

Figura\(\PageIndex{11}\): Resultado de rotación de 45° en sentido horario

Q

Q'

R

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Rotación de 180° en sentido horario de una forma de L

Figura\(\PageIndex{12}\): Forma de L y Rotocentro R

			A
			B				R	180°

Figura\(\PageIndex{13}\): Resultado de la rotación de 180° en sentido horario

			A
			B			R				B'
										A'

El siguiente tipo de transformación (movimiento rígido) se llama reflexión. Un reflejo es una imagen especular de un objeto, o puede pensarse como “voltear” un objeto.

Reflexión: Si cada punto en una línea corresponde a sí mismo, y cada otro punto en el plano corresponde a un punto único en el plano, tal que es la bisectriz perpendicular de, entonces la correspondencia se llama la reflexión en línea .

En lenguaje regular, una reflexión es una imagen especular a través de una línea. La línea es el punto medio de la línea entre los dos puntos, P en la figura original y P' en la reflexión. P va a P'.

Figura\(\PageIndex{14}\): Reflejo de un objeto alrededor de una línea l

C

B

A

l

Figura\(\PageIndex{15}\): Resultado de la reflexión sobre la línea l

El reflejo coloca cada vértice a lo largo de una línea perpendicular a l y equidistante de l.

C'

C

B'

B

A'

A

l

Propiedades de una reflexión

1. Una reflexión está completamente determinada por un solo par de puntos; P y P'
2. Tiene infinitamente muchos puntos fijos: la línea de reflexión l
3. Tiene movimiento de identidad la reflexión inversa

Ejemplo\(\PageIndex{6}\) Reflejar una Forma de L a través de una Línea l

Figura\(\PageIndex{16}\): Forma de L y Línea l

B

C

A

l

Refleja la forma de L a través de la línea L. La forma de L roja que se muestra a continuación es el resultado después de la reflexión La posición original de cada vértice está en una línea con la posición reflejada de cada vértice. Esta línea que conecta las posiciones original y reflejada del vértice es perpendicular a la línea l y las posiciones original y reflejada de cada vértice son equidistantes a la línea l.

Figura\(\PageIndex{17}\): Resultado de la reflexión sobre la línea l

B'

C'

l

A'

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Reflejar otra Forma de L a través de la Línea

Primero identificar los vértices de la figura. De cada vértice, dibuja un segmento de línea perpendicular a la línea l y asegúrate de que su punto medio se encuentre en la línea l. Ahora dibuja las nuevas posiciones de los vértices, haciendo de la figura transformada una imagen especular de la figura original.

Figura\(\PageIndex{18}\): Forma de L y Línea l

					B
			A						l
						C
	D

Figura\(\PageIndex{19}\): Resultado de la reflexión sobre la línea l

					B
			A
						C
	D						C'		B'
								A'
						D'

La transformación final (movimiento rígido) que estudiaremos es una reflexión de deslizamiento, que es simplemente una combinación de dos de los otros movimientos rígidos.

Una reflexión de deslizamiento es una combinación de una reflexión y una traducción.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\) Deslizamiento Reflejo de una Cara Sonriente por Vector y Línea l

Figura\(\PageIndex{20}\): Cara Sonriente, Vector y Línea l

								l

Figura\(\PageIndex{21}\): Cara Sonriente Deslizamiento Reflejo Paso Uno

Primero deslice la cara sonriente dos unidades a la derecha a lo largo del vector.

								l

Figura\(\PageIndex{22}\): Cara Sonriente Deslizamiento Reflejo Paso Dos

Luego refleja la cara sonriente a través de la línea l. El resultado final es la cara sonriente verde al revés.

								l

Propiedades de una reflexión de deslizamiento

1. Una reflexión está completamente determinada por un solo par de puntos; P y P.
2. Tiene puntos infinitamente fijos: la línea de reflexión l.
3. Tiene movimiento de identidad el deslizamiento inverso de reflexión.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Reflexión de deslizamiento de un triángulo azul

Figura\(\PageIndex{23}\): Triángulo Azul, Vector y Línea l

							l

Figura\(\PageIndex{24}\): Triángulo Deslizamiento Reflejo Paso Uno

Primero, deslice el triángulo a lo largo del vector.

							l
					P*
		P

Figura\(\PageIndex{25}\): Triángulo Deslizamiento Reflejo Paso Dos

Luego, refleje el triángulo a través de la línea l. El resultado final es el triángulo verde debajo de la línea l.

			Q*
					P*
			S*
						P'
					S'		Q'

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Reflejo de deslizamiento de una forma de L

Figura\(\PageIndex{26}\): Forma de L, Vector y Línea l

									l

Figura\(\PageIndex{27}\): Paso uno de reflexión de deslizamiento en forma de L

Primero deslice la forma de L a lo largo del vector.

									B*
				B						A*
				A

Figura\(\PageIndex{28}\): Paso dos de reflexión de deslizamiento en forma de L

Luego refleje la forma de L a través de la línea L. El resultado es la forma verde abierta debajo de la línea l.

									B*
									A'
				B
										B'