10.2: Conexión de transformaciones y simetría

Los humanos llevan mucho tiempo asociado la simetría con la belleza y el arte En esta sección, definimos la simetría y la conectamos a movimientos rígidos.

Definición: Simetría

Una simetría de un objeto es un movimiento rígido que mueve un objeto de nuevo sobre sí mismo.

Hay dos categorías de simetría en dos dimensiones, simetrías de reflexión y simetrías de rotación.

Definiciones

Una simetría de reflexión ocurre cuando un objeto tiene una línea de simetría que atraviesa el centro del objeto, y se puede doblar el objeto en esta línea y las dos mitades “coincidirán”. Un objeto puede no tener simetría de reflexión o puede tener una o más simetrías de reflexión.

Una simetría de rotación ocurre cuando un objeto tiene un rotocentro en el centro del objeto, y el objeto puede girarse alrededor del rotocentro algún grado menor o igual a 360° y es una “coincidencia” con el objeto original. Cada objeto tiene una o más simetrías de rotación.

Simetría tipo D: Los objetos que tienen simetrías de reflexión y simetrías de rotación son Tipo\(D_n\) donde\(n\) es el número de simetrías de reflexión o el número de simetrías de rotación. Si un objeto tiene simetrías tanto de reflexión como de rotación, entonces siempre es el mismo número,\(n\), de cada tipo de simetría.

Simetría de tipo Z: Los objetos que no tienen simetrías de reflexión y solo simetrías de rotación son Tipo\(Z_n\) donde\(n\) está el número de las simetrías de rotación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Symmetries of a Pentagon

Identificar las simetrías de reflexión y rotación del pentágono. Las cinco líneas discontinuas que se muestran en la siguiente figura son líneas de reflexión. El pentágono se puede plegar a lo largo de estas líneas sobre sí mismo y las dos mitades “coincidirán”, lo que significa que el pentágono tiene una simetría de reflexión a lo largo de cada línea.

Figura\(\PageIndex{1}\): Simmetrías de reflexión de un Pentágono

Además, hay cinco vértices del pentágono y hay cinco simetrías de rotación. El ángulo de rotación para cada simetría de rotación se puede calcular dividiendo 360° por el número de vértices del objeto:. Entonces, si giras el vértice superior del pentágono a cualquier otro vértice, el objeto resultante será una coincidencia con el objeto original, y por lo tanto una simetría.

Figura\(\PageIndex{2}\): Simetrías de rotación de un Pentágono

72° 144° 216°

288° 360°

Cuando un objeto tiene el mismo número de simetrías de reflexión que simetrías de rotación, decimos que tiene tipo de simetría Por lo tanto, el pentágono tiene tipo de simetría porque tiene cinco simetrías de reflexión y cinco simetrías de rotación.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Symmetries of a Smiley Face

Identificar la rotación y las simetrías de reflexión de la cara sonriente. Hay una línea de reflexión que producirá una simetría de reflexión como se muestra a continuación, y la única simetría de rotación es 360°, también se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{3}\): La cara sonriente tiene el tipo de simetría

360°

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Symmetry Type \(D_1\)

Figura\(\PageIndex{4}\): Algunas letras con tipo de simetría

Las siguientes letras son todas ejemplos de tipo simetría ya que cada una tiene un solo eje de reflexión que producirá una simetría como se muestra a continuación, y cada una de ellas tiene solo una simetría de rotación, 360°.

B C A E T

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Symmetries of a Pinwheel

Identificar las simetrías de rotación y reflexión de un Molinete.

Figura\(\PageIndex{5}\): No hay simetrías de reflexión del Molinete

Figura\(\PageIndex{6}\): Hay cinco simetrías de rotación del Molinete

Encontramos el ángulo dividiendo 360° por cinco puntos del Molinete;. Las simetrías de rotación del torno son 72°, 144°, 216°, 288° y 360°.

72° 144° 216°

288° 360°

Cuando un objeto no tiene simetrías de reflexión y solo simetrías de rotación, decimos que tiene tipo de simetría. El Molinete tiene tipo simetría.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Symmetries of the Letter S

Identificar la rotación y las simetrías de reflexión de la letra S.

Solución

Figura\(\PageIndex{7}\): La letra S

No hay simetrías de reflexión y dos simetrías de rotación; 180° y 360°, por lo tanto la letra S tiene tipo simetría

S S 180° y 360°

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Symmetries of the Card the Eight of Hearts

Identificar las simetrías de rotación y reflexión de la tarjeta del ocho de corazones.

Solución

La tarjeta que se muestra a continuación no tiene simetrías de reflexión ya que cualquier reflexión cambiaría la orientación de la tarjeta. Al principio, puede parecer que la tarjeta tiene tipo simetría. Sin embargo, cuando se gira 180°, los cinco corazones superiores girarán boca abajo y no será lo mismo. Por lo tanto, esta tarjeta solo tiene la simetría de rotación de 360°, y por lo tanto tiene tipo de simetría.

Figura\(\PageIndex{8}\): El Ocho de Corazones y su Rotación de 180º

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Other Examples of Symmetry Type \(Z^n\)

Figura\(\PageIndex{9}\): Un diseño y la letra K

a. b. K
a. El diseño tiene tipo de simetría, simetrías sin reflexión y seis simetrías de rotación. Para encontrar los grados para las simetrías de rotación, divida 360° por el número de puntos del diseño:. Así, las seis simetrías de rotación son 60°, 120°, 180°, 240°, 300° y 360°.

b. La letra K tiene el tipo de simetría, sin simetrías de reflexión y una simetría de rotación (360°).