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8.3: Soluciones para el Capítulo 3

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    Ejercicio 3.3

    Hay cinco columnas sin ID en la Ecuación (3.1) y cinco flechas en la Ecuación (3.2). Esto no es una coincidencia: siempre hay una flecha por cada columna que no sea ID.

    Ejercicio 3.9

    Para hacer esto precisamente, debemos definir técnicamente la concatenación.

    Si G = (V, A, s, t) es una gráfica, defina una ruta en G para que sea una tupla de la forma (v, a\(_{1}\),.,., a\(_{n}\)) donde v\(\in\) V es un vértice, s (a\(_{1}\)) = v, y t (a\(_{i}\)) = s (a\(_{i+1}\)) para todos i\(\in\) {1,.., n − 1}; la longitud de esta ruta es n, y esta definición hace sentido para cualquier n\(\in\)\(\mathbb{N}\). Decimos que la fuente de p es s (p) := v y el objetivo de p se define como

    Screen Shot 2021-02-04 a las 3.30.18 PM.png

    Dos caminos p = (v, a\(_{1}\),..., a\(_{m}\)) y q = (w, b\(_{1}\),..., b\(_{n}\)) se pueden concatenar si t (p) = s (q), en cuyo caso la ruta concatenada p; q se define como

    (p; q) := (v, a\(_{1}\),.., a\(_{m}\), b\(_{1}\),..., b\(_{n}\)).

    Ya estamos listos para verificar la unidad y la asociatividad. Una ruta p es una identidad en Libre (G) iff p = (v) para algunos \(\in\)v V.

    Es fácil ver por lo anterior que (v) y (w, b,...\(_{1}\), b\(_{n}\)) se pueden concatenar iff v = w, en cuyo caso el resultado es (w, b\(_{1}\),..., b\(_{n}\)). De igual manera (v\(_{1}\), a,..., a\(_{m}\)) y (w) se pueden concatenar iff w = t (a\(_{m}\)), en cuyo caso el resultado es (v, a\(_{1}\),.,., a \(_{m}\)). Finalmente, para asociatividad con p y q como arriba y r = (x, c\(_{1}\),.., c o), la fórmula lee fácilmente que sea cual sea la forma en que estén concatenados, (p; q); r o p; (q; r), el resultado es

    (v, a\(_{1}\),..., a\(_{m}\), b\(_{1}\),..., b\(_{n}\), c\(_{1}\),..., c\(_{o}\)).

    Ejercicio 3.10

    A menudo nos gusta nombrar morfismos de identidad por los objetos en los que están, y lo hacemos aquí: v\(_{2}\) significa id\(_{v2}\). Escribimos ☒ cuando el compuesto no tiene sentido (es decir, cuando el objetivo del primer morfismo no concuerda con la fuente del segundo).

    Screen Shot 2021-02-04 at 3.31.59 PM.png

    Ejercicio 3.12

    1. La categoría 1 tiene un objeto v\(_{1}\) y un morfismo, el id de identidad\(_{v1}\).

    2. La categoría 0 está vacía; no tiene objetos y nomorfismos.

    3. El patrón para número de morfismos en 0, 1, 2, 3 es 0, 1, 3, 6; ¿este patrón le resulta familiar? Estos son los primeros 'números triangulares', así que podríamos adivinar que el número de morfismos en n, la categoría libre en la siguiente gráfica

    Screen Shot 2021-02-04 at 3.32.48 PM.png

    es 1 + 2 + · · · + n. Esto tiene sentido porque (y la estrategia de prueba sería verificar que) la gráfica anterior tiene n rutas de longitud 0, tiene n − 1 rutas de longitud 1, y así sucesivamente: tiene ni rutas de longitud i por cada 0 ≤ in.

    Ejercicio 3.15

    La correspondencia se dio enviando un camino a su longitud.

    Concatenar una trayectoria de longitud m con una trayectoria de longitud n da como resultado una trayectoria de longitud m + n.

    Ejercicio 3.16

    Screen Shot 2021-02-04 a las 3.50.22 PM.png

    1. Los diez caminos son los siguientes

    A, A; f, A; g, A; f; h, A; g; i, B, B; h , C, C; i, D

    2. A; f; h es paralelo a A; g; i, en que ambos tienen el mismo dominio y ambos tienen el mismo codominio.

    3. A no es paralelo a ninguno de los otros nueve caminos.

    Ejercicio 3.17

    Los morfismos en el diagrama dado son los siguientes:

    A, A; f, A; g, A; j, B, B; h, C, C; i, D

    Obsérvese que A; f; h = j = A; g; i.

    Ejercicio 3.19

    Hay cuatro morfismos en D, que se muestran a continuación, a saber, z, s; s, y s; s; s; s:

    Screen Shot 2021-02-04 en 4.05.08 PM.png

    Ejercicio 3.21

    A continuación se muestran las ecuaciones que convierten las gráficas en preordenes

    Screen Shot 2021-02-04 a las 4.06.24 PM.png

    Ejercicio 3.22

    El reflejo de preorden de una categoría C tiene los mismos objetos y ya sea un morfismo o ninguno entre dos objetos, dependiendo de si existe o no un morfismo entre ellos en C. Entonces el reflejo de preorden de\(\mathbb{N}\) tiene un objeto y un morfismo de él a sí mismo, que debe ser la identidad. En otras palabras, el reflejo de preorden de\(\mathbb{N}\) es 1.

    Ejercicio 3.25

    Una función f:\(\underline{2}\)\(\underline{3}\) puede describirse como un par ordenado (f (1), f (2)). Las nueve funciones de este tipo están dadas por los siguientes pares ordenados, que organizamos en una cuadrícula bidimensional con 3 entradas en cada dimensión, solo para “funzies”:\(^{1}\)

    (1, 1) (2, 1) (3, 1)

    (1, 2) (2, 2) (3, 2)

    (1, 3) (2, 3) (3, 3)

    Ejercicio 3.30

    1. La inversa a f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 3 viene dada por

    f\(^{−1}\) (1) = b, f\(^{−1}\) 2) = a, f\(^{−1}\) (3) = c.

    2. Hay 6 isomorfismos distintos. En general, si A y B son conjuntos, cada uno con n elementos, entonces el número de isomorfismos entre ellos es n factorial, a menudo denotado n!. Entonces por ejemplo hay 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120 isomorfismos entre {1, 2, 3, 4, 5} y {a, b, c, d, e}.

    Ejercicio 3.31

    Tenemos que demostrar que para cualquier objeto c\(\in\) C, la identidad id c tiene una inversa, es decir, un morfismo f: cc tal que f; id\(_{c}\) = id\(_{c}\) e id\(_{c}\); f = id\(_{c}\). Toma f = id\(_{c}\); esto funciona.

    Ejercicio 3.32

    1. El monoide en el Ejemplo 3.13 no es un grupo, porque el morfismo s no tiene inversa.

    Efectivamente cada morfismo es de la forma s\(^{n}\) para algunos n\(\in\)\(\mathbb{N}\) y componiéndolo con s da s\(^{n+1}\), que nunca es s.\(^{0}\) p

    2. C del Ejemplo 3.18 es un grupo: la identidad es siempre un isomorfismo, y el otro morfismo s tiene s inverso.

    Ejercicio 3.33

    ¡Es posible que hayas encontrado a una persona cuyas afirmaciones matemáticas puedes confiar! Siempre que compongas dos morfismos en Libre (G), sus longitudes se suman, y las identidades son exactamente aquellos morfismos cuya longitud es 0. Para que p sea un isomorfismo, debe haber alguna q tal que p; q = id y q; p = id, en cuyo caso la longitud de p (o q) debe ser 0.

    Ejercicio 3.37

    Los otros tres funtores 23 se muestran aquí:

    Screen Shot 2021-02-04 a las 4.30.59 PM.png

    Ejercicio 3.39

    Hay nueve morfismos en F; como de costumbre denotamos identidades por el objeto en el que están. Estos morfismos son enviados a los siguientes morfismos en C:

    A '\(\longmapsto\)A, f'\(\longmapsto\) f, g'\(\longmapsto\) g, f'; h'\(\longmapsto\) f; h, g'; i'\(\longmapsto\) f; h,

    B\(\longmapsto\) B, h\(\longmapsto\) h, C\(\longmapsto\) C, i\(\longmapsto\) i, \(\longmapsto\)D ′ D.

    Si uno de estos parece diferente al resto, probablemente sea g'; i'\(\longmapsto\) f; h.

    Pero tenga en cuenta que de hecho también g'; i '\(\longmapsto\)g; i porque g; i = f; h, entonces no es un valor atípico después de todo.

    Ejercicio 3.40

    Tenemos que dar dos funtores F, G de\(\stackrel{a}{\bullet} \stackrel{f}{\longrightarrow} \stackrel{b}{\bullet}\) a\(\stackrel{a'}{\bullet} \underset{f_{2}}{\stackrel{f_{1}}{\longrightarrow}} \stackrel{b'}{\bullet}\) cuyas partes on-objects son iguales y cuyas partes on-morfismos son diferentes. Solo hay dos formas de hacerlo, y elegimos una de ellas:

    F (a) := a ′, G (a) := a ′, F (b) := b ′, G (b) := b ′, F (f) := f\(_{1}\), y G (f) := f\(_{2}\).

    La otra manera invierte f\(_{1}\) y f\(_{2}\).

    Ejercicio 3.43

    1. Que C sea una categoría.

    Luego definir id\(_{C}\): C → C por id\(_{C}\) (x) = x para cada objeto y el morfismo en C es un functor porque conserva identidades id\(_{C}\) (id\(_{c}\)) = id\(_{c}\) = id\(_{id_{C}}\) (c) para cada objeto c\(\in\) Ob (C), y conserva la composición id\(_{C}\) (f; g) = f; g = id\(_{C}\) (f); id\(_{C}\) (\(_{g}\)) para cada par de morfismos componibles f, g en C.

    2. Dados los funtores F: C → D y G: D → E, necesitamos demostrar que F; G es un functor, es decir, que conserva identidades y composiciones. Si c\(\in\) C es un objeto entonces (F; G) (id\(_{c}\)) = G (F (id\(_{c}\))) = G (id\(_{F(c)}\)) = id\(_{G(F(c)}\)) porque F y G conservan identidades. Si f, g son morfismos componibles en C entonces

    (F; G) (f; g) = G (F (f); F (g)) = G (F (f)); G (F (g))

    porque F y G conservan la composición

    3. Se han propuesto objetos, morfismos, identidades y una fórmula de composición para una categoría Cat: son categorías, funtores, y las identidades y composiciones dadas anteriormente. Tenemos que comprobar que las dos propiedades, la unidad y la asociatividad, se mantienen. Entonces supongamos que F: C → D es un functor y lo precomponemos como arriba con id\(_{C}\); es fácil ver que el resultado volverá a ser F, y de manera similar si poscomponemos F con id\(_{D}\). Esto da unidad, y la asociatividad es igual de fácil, aunque más verdosa. Dado F como arriba y G: D →\(\mathcal{E}\) y H:\(\mathcal{E}\) → F, necesitamos mostrar que (F; G); H = F; (G; H). Es una simple aplicación de la definición: para cualquier x\(\in\) C, ya sea un objeto o morfismo, tenemos

    ((F; G); H) (c) = H ((F; G)) (c)) = H (G (F (c))) = (G; H) (F (c)) = (F (c)) = (F ; (G; H)) c).

    Ejercicio 3.45

    Deje que S\(\in\) Set sea un conjunto. Definir F\(\_{S}\): 1Establecer por F\(\_{S}\) (1) = S y F\(\_{S}\) (id\(\_{1}\)) = id\(\_{S}\). Con esta definición, F\(\_{S}\) conserva identidades y composiciones (las únicas composiciones en 1 es el compuesto de la identidad consigo misma), por lo que F\(\_{S}\) es un funtor con F\(\_{S}\) (1) = S como se desee.

    Ejercicio 3.48

    Se nos pregunta qué tipo de datos “tiene sentido” para los esquemas a continuación?

    Screen Shot 2021-02-04 a las 5.43.25 PM.png

    Esta es una pregunta subjetiva, por lo que proponemos una respuesta para su consideración.
    1. Los datos de este esquema, es decir, un functor de valor establecido, asignan un conjunto D (z) y una función D (s): D (z) → D (z), de tal manera que aplicar esa función dos veces es la identidad. Este tipo de función se llama involución

    del conjunto D z:

    Screen Shot 2021-02-04 a las 5.43.59 PM.png

    Es un do-si-do, un “movimiento de pareja”, donde todos eligen una pareja (posiblemente ellos mismos) y

    intercambios con ellos. Un ejemplo se podría tomar D como el conjunto de píxeles en una fotografía, y tomar s para ser la función que envía cada píxel a su imagen especular a través de la línea central vertical de la fotografía.

    2. Podríamos hacer D (c) estasetofpeopleata “SecretSanta” fiesta de Navidad, donde cada uno da un regalo a alguien, posiblemente a sí mismos. Tomar D (b) para ser el conjunto de regalos, g la función de dador (cada regalo es dado por una persona), y h la función receptora (cada regalo es recibido por una persona), D (a) es el conjunto de personas que se dan un regalo a sí mismas, y d f): D (a) → D (b) es la inclusión.

    Ejercicio 3.5

    1. ¡El experto empaca tanta información en tan poco espacio! Supongamos dados tres objetos F, G, H\(\in\) D\(^{C}\); estos son los funtores F, G, H: C → D. Los morfismos α: FG y β: GH son transforaciones naturales. La mayoría de los principiantes parecen pensar en una transformación natural en cuanto a sus cuadrados de naturalidad, pero lo principal a tener en cuenta son sus componentes; los cuadrados de naturalidad constituyen un cheque que viene después.

    Entonces para cada c\(\in\) C, α tiene un componente α\(_{c}\): F (c) → G (c) y β tiene un componente β\(_{c}\): G (c) → H (c) en D. El experto nos ha dicho que define (α; β)\(_{c}\): = (α\(_{c}\); β\(_{c}\)), y de hecho eso es un morfismo F (c) → H (c).
    Ahora hacemos el chequeo. Para cualquier f: cc ′ en C, los cuadrados internos del siguiente diagrama conmutan porque α y β son naturales; de ahí que el rectángulo exterior también lo haga:

    Screen Shot 2021-02-08 a las 11.40.12 AM.png

    2. Proponemos que la identidad de transformación natural id\(_{F}\) en un functor F: C → D tiene como componente c el morfismo (id\(_{F}\))\(_{c}\): = id\(_{F}\) (\(_{c}\)) en D, para cualquier c. La plaza de la naturalidad

    Screen Shot 2021-02-08 a las 11.47.41 AM.png

    obviamente viaja por cualquier f: cc ′. Y es unital: postcomponer id F con cualquier β: FG (y de manera similar para precomponer con cualquier α: EF) da como resultado una transformación natural id\(_{F}\); β con componentes (id\(_{F}\))\(_{c}\) ; β\(_{c}\) = (id\(_{F}\) (\(_{c}\)); β\(_{c}\)) = β\(_{c}\), y esto es solo β como se desee.

    Ejercicio 3.58

    Tenemos una categoría C y una preorden P, considerada como categoría.
    1. Supongamos que F, G: C → P son funtores y α, β: FG son transformaciones naturales; necesitamos mostrar que α = β.

    Basta con comprobar que α c\(_{c}\) = β\(_{c}\) para cada objeto c\(\in\) Ob (C). Pero α\(_{c}\) y β\(_{c}\) son morfismos F (c) → G (c) en P, que es un preorden, y la definición de un preorden considerado como categoría es que tiene como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. Así α\(_{c}\) = β\(_{c}\), según se desee.

    2. Esto es falso. Dejar P: = 1, dejar C: =\(\stackrel{a}{\bullet} \frac{f_{1}}{f_{2}} \text { b }\), dejar F (1) := a, dejar G (1) := b, dejar α\(_{1}\) := f\(_{1}\), y dejar β\(_{1}\) := g\(_{2}\).

    Ejercicio 3.62

    Tenemos que anotar lo siguiente

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.05.51 PM.png

    como una instancia Gr, como en la Ec. (3.61). La respuesta es la siguiente:

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.06.19 PM.png

    Ejercicio 3.64

    Sea G, H las siguientes gráficas:

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.07.16 PM.png

    y vamos a creer a los autores que existe una gráfica única homomorfismo α: GH para la cual α\(_{Arrow}\) (a) = d.

    1. Tenemos α\(_{Arrow}\) (b) = e y α\(_{Vertex}\) (1) = 4, α\(_{Vertex}\) (2) = 5, y α\(_{Vertex}\) (3) = 5.
    2. Copiamos aproximadamente las tablas y luego dibujamos las líneas (mostradas en negro; ignoramos las líneas discontinuas por ahora):

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.07.40 PM.png

    3. ¡Funciona! Un ejemplo de la naturalidad se muestra con la ayuda de líneas azules discontinuas arriba. ¿Ves cómo ambos caminos empiezan por un final a las 5?

    Ejercicio 3.67

    Solo necesitamos escribir el compuesto de los siguientes funtores

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.13.18 PM.png

    en forma de base de datos, y luego dibujar la gráfica. Los resultados se dan a continuación.

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.13.49 PM.png

    Ejercicio 3.73

    Nos interesa cómo\(^{B}\) deben actuar los funtores − × B y (−) sobre los morfismos para un determinado conjunto B.

    No especificamos esto en el texto —solo especificamos − × B y (−)\(^{B}\) en objetos así que en algún sentido este ejercicio es abierto: puedes inventar lo que quieras, bajo la condición de que sea funciontorial. Sin embargo, los autores no pueden pensar en ninguna de esas respuestas excepto la que damos a continuación.

    1. Dada una función arbitraria f: XY, necesitamos una función X × BY × B. Sugerimos la función que podría ser denotada f × B; envía (x, b) a (f (x), b). Esta asignación es funcionaria: aplicada a id\(_{X}\) devuelve id\(_{X x B}\) y conserva la composición.

    2. Dada una función f: XY, necesitamos una función X\(^{B}\)Y\(^{B}\). La función canónica se denotaría f\(^{B}\); envía una función g: BX al compuesto (g; f): BXY. Esto es funciontorial: aplicado a id\(_{X}\) envía g a g, es decir, f\(^{B}\) (id\(_{X}\)) = id\(_{X}\)\(^{B}\), y aplicado al compuesto (f\(_{1}\); f\(_{2}\)): XY Z, tenemos

    (f\(_{1}\); f\(_{2}\))\(^{B}\) (g) = g; (f\(_{1}\); f\(_{2}\)) = (g; f\(_{1}\)); f\(_{2}\) = (f\(_{1}\)\(^{B}\); f\(_{2}\)\(^{B}\)) g

    para cualquier g\(\in\)\(^{B}\) X.

    3. Si p:\(\mathbb{N}\)\(\mathbb{N}\)\(^{\mathbb{N}}\) es el resultado de currying +:\(\mathbb{N}\) ×\(\mathbb{N}\)\(\mathbb{N}\), entonces p (3) es un elemento de\(\mathbb{N}\)\(^{\mathbb{N}}\), es decir tenemos p (3):\(\mathbb{N}\)\(\mathbb{N}\) ¿qué función es? Es la función la que suma tres. Eso es p (3) (n) := n + 3.

    Ejercicio 3.76

    ¡El funtor! : C → 1 de la Ec. (3.75) envía cada objeto \(\in\)c C al objeto único\(\in\) 1 1 y envía cada morfismo f: cd en C al morfismo único id\(_{1}\): 1 → 1 en 1.

    Ejercicio 3.78

    Queremos dibujar la gráfica correspondiente a la instancia I: G → Conjunto que se muestra a continuación:

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.20.48 PM.png

    Aquí está, con nombres y correos electrónicos acortados (por ejemplo, B=Bob, 3=Em_3):

    Screen Shot 2021-02-08 a las 12.21.09 PM.png

    Ejercicio 3.81

    Un objeto z es terminal en alguna categoría C si, por cada c\(\in\) C existe un morfismo único cz. Cuando C es la categoría subyacente a un preorden, hay como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera, por lo que la condición simplifica: un objeto z es terminal iff, por cada \(\in\)c C existe un morfismo cz. Los morfismos en un preorden se escriben con ≤ signos, por lo que z es terminal iff, por cada c\(\in\) P tenemos cz, y esta es la definición de elemento superior.

    Ejercicio 3.82

    El objeto terminal en Cat es 1 porque por el Ejercicio 3.76 hay un morfismo único (functor) C → 1 para cualquier objeto (categoría) C\(\in\) Cat.

    Ejercicio 3.83

    Considera la gráfica 2 V: = • • con dos vértices y sin flechas, y deja C = Libre (2 V); tiene dos objetos y dos morfismos (las identidades). Esta categoría no tiene un objeto terminal porque no tiene morfismos de un objeto a otro.

    Ejercicio 3.88

    Un producto de x e y en P es un objeto z\(\in\) P equipado con mapas zx y zy de manera que para cualquier otro objeto z′ y mapas z ′ → x y z ′ → y, hay un morfismo único z ′ → z haciendo que los triángulos evidentes viajen. Pero en un preorden, los mapas se denotan ≤, son únicos si existen, y todos los diagramas se desplazan. Así lo anterior se convierte en: un producto de x e y en P es un objeto z con zx y zy tal que para cualquier otro z ′, si z ′ ≤ x y z ′ ≤ y luego z ′ ≤ z. Esta es exactamente la definición de meet, z = x\(\land\) y.

    Ejercicio 3.90

    1. El morfismo de identidad sobre el objeto (c, d) en la categoría de producto C × D es (id\(_{c}\), id (_ {d}\)).

    2. Supongamos dados tres morfismos componibles en C × D

    \((c\(_{1}\), d\(_{1}\))\ stackrel {(f\(_{1}\), g\(_{1}\)})} {\ rightarrow} (c\(_{2}\), d\(_{2}\)\ stackrel {(f\(_{2}\), g\(_{2}\)})} {\ rightarrow} (c\(_{3}\), d\(_{3}\)\ stackrel {(f\(_{3}\), g\(_{3}\)})} {\ rightarrow} (c\(_{4}\), d \(_{4}\)\)

    Queremos verificar que ((f\(_{1}\), g\(_{1}\)); (f, g); (f\(_{2}\), g\(_{2}\)) = (f\(_{3}\), g\(_{3}\)); (f\(_{1}\), g\(_{1}\)); ((f\(_{2}\), g \(_{2}\)); (f\(_{3}\), g\(_{3}\)). Pero la composición en una categoría de producto se da en cuanto a componentes. Eso significa que el lado izquierdo es ((f\(_{1}\); f\(_{2}\)); f\(_{3}\), (g\(_{1}\); g\(_{2}\)); g\(_{3}\)), mientras que el lado derecho es (f\(_{1}\); (f; (f \(_{2}\); f\(_{3}\)), g\(_{1}\); (g\(_{2}\); g\(_{3}\))), y estos son iguales porque tanto C como D individualmente tienen composición asociativa.

    3. La categoría de producto 1 × 2 tiene dos objetos (1, 1) y (1, 2) y un morfismo no identitario (1,1) → (1,2). No es difícil ver que se ve igual que 2. De hecho, para cualquier C hay un isomorfismo de categorías 1 × C\(\cong\) C.

    4. Que P y Q sean prepedidos, que X = P × Q sean su preorden de producto como se define en el Ejemplo 1.56, y dejar que P, Q y X sean las categorías correspondientes. Entonces X = P × Q.

    Ejercicio 3.91

    Un producto de X e Y es un objeto Z equipado con morfismos\(X \stackrel{px}{\leftarrow} Z \stackrel{py}{\rightarrow} Y\) tales que para cualquier otro objeto Z' equipado con morfismos\(X \stackrel{p'x}{\leftarrow} Z \stackrel{p'y}{\rightarrow} Y\), hay un morfismo único f: ZZ haciendo que los triángulos viajen, f; p\(_{X}\) = p\(_{X}\) y f; p\(_{Y}\) = p\(_{Y}\). Pero “un objeto equipado con morfismos a X e Y” es exactamente la definición de un objeto en Cono (X, Y), y un morfismo f haciendo que los triángulos viajen es exactamente la definición de un morfismo en Cono ( X, Y). Entonces la definición anterior se convierte en: un producto de X e Y es un objeto Z\(\in\) Cono (X, Y) tal que para cualquier otro objeto Z ′ hay un morfismo único Z ′ → Z en Cono (X, Y). Esta es exactamente la definición de Z siendo terminal en Cono (X, Y).

    Ejercicio 3.97

    Supongamos que J es la gráfica\(\begin{array}{l} v1 \\ \bullet \end{array}\)\(\begin{array}{l} v2 \\ \bullet \end{array}\) y D: J → Conjunto viene dado por dos conjuntos, D (v\(_{1}\)) = A y D (v\(_{2}\)) = B para los conjuntos A, B. El producto de estos dos juegos es A × B. Comprobemos que la fórmula límite en Teorema 3.95 da la misma respuesta. Dice

    \ (\ begin {aligned}
    &\ lim _ {g} D: =\ left\ {\ left (d_ {1},\ ldots, d_ {n}\ right)\ mid d_ {i}\ in D\ left (v_ {i}\ right)\ text {para todos} 1\ leq i\ leq n\ derecho. \ texto {y}\\
    &\ texto {para todos} a: v_ {i}\ fila derecha v_ {j}\ en A,\ texto {tenemos}\ izquierda.d (a)\ izquierda (d_ {i}\ derecha) =d_ {j}\ derecha\ derecha\}
    \ fin {alineada}\)

    Pero en nuestro caso n = 2, no hay flechas en la gráfica, y D (v\(_{1}\)) = A y D (v\(_{2}\)) = B. Entonces la fórmula se reduce a

    lim\(_{J}\) D := (d\(_{1}\), d\(_{2}\)) | d\(_{1}\)\(\in\) A y d\(_{2}\)\(\in\) B.

    que es exactamente la definición de A × B.

    Ejercicio 3.101

    Dado un functor F: C → D, definimos su opuesto F\(^{op}\): C\(^{op}\) → D de la\(^{op}\) siguiente manera.

    Para cada objeto c\(\in\) Ob (C\(^{op}\)) = Ob (C), ponga F\(^{op}\) (c) := F (c). Por cada morfismo f: c\(_{1}\)c\(_{2}\) en C\(^{op}\), tenemos un morfismo correspondiente f ′: c\(_{2}\)c\(_{1}\) en C y así un morfismo F (f ′): F (c\(_{2}\)) → F (c\(_{1}\)) en D, y así un morfismo F (f): F\(^{op}\) (c\(_{1}\)) → F\(^{op}\) (c\(_{2}\)).

    De ahí que podamos definir F\(^{op}\) (f) := F (f') '. Tenga en cuenta que los primos (−') son bastante carentes de sentido, solo los ponemos ahí para diferenciar entre cosas que están muy estrechamente relacionadas. Es fácil comprobar que nuestra definición de F op es funcionaria: envía identidades a identidades y composites a composites.


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