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# 8.6: Soluciones para Chapter6

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## Ejercicio 6.3

Deje A = {a, b}, y considere los pedidos por adelantado que se muestran aquí:$$\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}$$$$\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}$$,$$\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}$$$$\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}$$,$$\begin{array}{l} a \\ \bullet \end{array}$$$$\leftrightarrows$$$$\begin{array}{l} b \\ \bullet \end{array}$$.

1. El más a la izquierda (el preorden discreto en A) no tiene ningún objeto inicial, porque a$$nleq$$ b y b$$nleq$$ a.
2. El del medio tiene un objeto inicial, a saber, a.
3. El más a la derecha (el preorden co-discreto en A) tiene dos objetos iniciales.

## Ejercicio 6.6

Recordemos que los objetos de una categoría libre en una gráfica son los vértices de la gráfica, y los morfismos son caminos. Así, la categoría libre en una gráfica G tiene un objeto inicial si existe un vértice v que tiene una ruta única a cada objeto. En 1. y 2., el vértice a tiene esta propiedad, por lo que las categorías libres en las gráficas 1. y 2. tienen objetos iniciales. En la gráfica 3., ni a ni b tienen un camino entre sí, y así no hay objeto inicial. En la gráfica 4., el vértice a tiene muchos caminos hacia sí mismo, y de ahí su categoría libre tampoco tiene un objeto inicial.

## Ejercicio 6.7

1. Las condiciones restantes son que f (1$$_{R}$$) = 1$$_{S}$$, y que f (r 1 ∗$$_{R}$$ r 2) = f (r 1) ∗$$_{S}$$ f (r 2).

2. El objeto inicial en la categoría Rig es el rig de números naturales ($$\mathbb{N}$$, 0, +, 1, ∗).

El hecho de que sea inicial significa que para cualquier otro rig R = (R, 0$$_{R}$$$$_{R}$$, +$$_{R}$$, 1, ∗$$_{R}$$), existe un homomorfismo único de rig f:$$\mathbb{N}$$R.

¿Qué es este homomorfismo? Bueno, para ser un homomorfismo de plataforma, f debe enviar 0 a 0$$_{R}$$, 1 a 1$$_{R}$$. Además, también debemos tener f (m + n) = f (m) +$$_{R}$$ f (n), y por lo tanto

Entonces, si hay un aparejo homomorfismo f:$$\mathbb{N}$$R, debe ser dado por la fórmula anterior. Pero, ¿esta fórmula funciona correctamente para la multiplicación?
Queda por verificar f (mn) = f (m) ∗$$_{R}$$ f (n), y esto seguirá de la distributividad. Observando que f (mn) es igual a la suma de m n copias de 1$$_{R}$$, tenemos

Así ($$\mathbb{N}$$, 0, +, 1, ∗) es el objeto inicial en Rig.

## Ejercicio 6.8

En la Definición 6.1, es el objeto inicial Ø$$\in$$ C el que es universal. En este caso, todos los objetos c$$\in$$ C son 'objetos comparables'. Entonces la propiedad universal del objeto inicial es que a cualquier objeto c$$\in$$ C, hay un mapa único Ø → c proveniente del objeto inicial.

## Ejercicio 6.10

Si c$$_{1}$$ es inicial entonces por la propiedad universal, para cualquier c hay un morfismo único c$$_{1}$$c; en particular, hay un morfismo único c$$_{1}$$c$$_{2}$$, llámalo f. De igual manera, si c$$_{2}$$ es inicial entonces hay un morfismo único c$$_{2}$$c$$_{1}$$, llámalo g. Pero, ¿cómo sabemos que f y g son mutuamente inversos? Pues ya que c$$_{1}$$ es inicial hay un morfismo único c$$_{1}$$ $$_{1}$$ c. Pero podemos pensar en dos: id c 1 y f; g. Por lo tanto, deben ser iguales. De manera similar para c$$_{2}$$, entonces tenemos f; g = id$$_{c_{1}}$$ y g; f = id$$_{c_{2}}$$, que es la definición de f y g siendo mutuamente inversas.

## Ejercicio 6.13

Sea (P, ≤) un preorden, y p, q$$\in$$ P. Recordemos que un preorden es una categoría con como máximo un morfismo, denotado ≤, entre dos objetos cualesquiera. También recordemos que todos los diagramas en un preorden conmutan, ya que esto significa que dos morfismos cualesquiera con el mismo dominio y codominio son iguales.
Traduciendo la Definición 6.11 a este caso, un coproducto p + q es P es un elemento de P tal que pp + q y qp + q, y tal que para todos los elementos x$$\in$$ P con mapas px y qx, tenemos p + qx. Pero esto dice exactamente que p + q es una unión: es un elemento mínimo por encima tanto de p como de q. Así, los coproductos en preordenes son exactamente los mismos que se unen.

## Ejercicio 6.16

La función [f, g] se define por

[f, g]: A B$$\longrightarrow$$ T

manzana1$$\mapsto$$ a

banana1$$\mapsto$$ b

pera1$$\mapsto$$ p

cereza1$$\mapsto$$ c

naranja1$$\mapsto$$ o

manzana2$$\mapsto$$ e

tomate2$$\mapsto$$ o

mango2$$\mapsto$$ o.

## Ejercicio 6.17

1. La ecuación ι$$_{A}$$; [f, g] = f es la conmutatividad del triángulo izquierdo en el diagrama conmutativo (6.12) definiendo [f, g].

2. La ecuación ι$$_{B}$$; [f, g] = g es la conmutatividad del triángulo derecho en el diagrama conmutativo (6.12) definiendo [f, g].

3. La ecuación [f, g]; h = [f; h, g; h] se desprende de la propiedad universal del coproducto. En efecto, el diagrama

conmuta, y la propiedad universal dice que hay un mapa único [f; h, g; h]: A + BD para el que esto ocurre.

De ahí que debemos tener [f, g]; h = [f; h, g; h]. 4. Del mismo modo, para mostrar [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$] = id$$_{A + B}$$, observe que el diagrama

trivialmente conmuta. De ahí por la singularidad en (6.12), [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$] = id$$_{A + B}$$.

## Ejercicio 6.18

Este ejercicio trata de mostrar que los coproductos y un objeto inicial dan una categoría monoidal simétrica. Como todo lo que tenemos son coproductos y un objeto inicial, y dado que estos están definidos por sus propiedades universales, la solución es utilizar estas propiedades universales una y otra vez, para demostrar que todos los datos de la Definición 4.45 pueden ser construidos.

1. Para definir un functor +: C × C → C debemos definir su acción sobre objetos y morfismos. En ambos casos, solo tomamos el coproducto. Si (A, B) es un objeto de C × C, su imagen A + B es, como de costumbre, el coproducto de los dos objetos de C.

Si (f, g): (A, B) → (C, D) es un morfismo, entonces podemos formar un morfismo f + g = [f; ι$$_{C}$$, g; ι$$_{D}$$]: A + BC + D, donde ι$$_{C}$$: CC + D y ι$$_{D}$$: DC + D son los morfismos canónicos dados por la definición del coproducto A + B.

Obsérvese que esta construcción envía morfismos de identidad a morfismos de identidad, ya que por el Ejercicio 6.17 4 tenemos

id$$_{A}$$ + id$$_{B}$$ = [id$$_{A}$$; ι$$_{A}$$, id$$_{B}$$; ι$$_{B}$$] = [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$] = id$$_{A + B}$$.

Para demostrar que + es un functor, necesitamos mostrar también que conserva la composición. Supongamos que también tenemos amorfismo (h, k): (C, D) → (E, F) en C × C. Necesitamos mostrar que (f + g); (h + k) = (f; h) + (g ; k). Se trata de una versión un poco más complicada del argumento en el Ejercicio 6.17 3. Se deduce del hecho de que el siguiente diagrama conmuta:

De hecho, nuevamente utilizamos la singularidad del copaireo en (6.12), esta vez para mostrar que (f; h) + (g; k) = [f; h; ι$$_{E}$$, k; ι$$_{F}$$] = (f + g ); (h + k), según se requiera.

2. Recordemos la propiedad universal del objeto inicial da un mapa único! $$_{A}$$: Ø → A. Entonces el copaireo [id$$_{A}$$,! $$_{A}$$] es un mapa A + Ø → A. Además, se trata de un isomorfismo con inverso i$$_{A}$$: AA + Ø.

En efecto, utilizando las propiedades del Ejercicio 6.17 y la propiedad universal del objeto inicial, tenemos ι$$_{A}$$; [id$$_{A}$$,! $$_{A}$$] = id$$_{A}$$, y

[id$$_{A}$$,! $$_{A}$$]; ι$$_{A}$$ = [id$$_{A}$$; ι$$_{A}$$,! $$_{A}$$; ι$$_{A}$$] = [ι$$_{A}$$,! $$_{A + Ø}$$] = [ι$$_{A}$$, ι$$_{Ø}$$] = id$$_{A + Ø}$$.

Un argumento análogo muestra [! $$_{A}$$, id$$_{A}$$]: Ø + AA es un isomorfismo.

3. Simplemente anotaremos los mapas y sus inversos; te dejamos a ti, si quieres, que compruebes que efectivamente son inversos

a) El mapa [id$$_{A + ι_{B},ι_{C}}$$] = [[ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$; ι$$_{B + C}$$], ι$$_{C}$$; ι$$_{B + C}$$]: (A + B) + CA + (B + C) es un isomorfismo, con inversa [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$ + id$$_{C}$$]: A + (B + C) → (A + B) + C.

b) El mapa [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$]: A + BB + A es un isomorfismo.

Tenga en cuenta que nuestra notación aquí es un poco confusa: hay dos mapas llamados ι$$_{A}$$, (i) ι$$_{A}$$: A → A + B, y (ii) ι$$_{A}$$: A → B + A, y de manera similar para ι$$_{B}$$. En lo anterior nos referimos al mapa (ii). Tiene inversa [ι$$_{A}$$, ι$$_{B}$$]: B + AA + B, donde en este caso nos referimos al mapa (i).

## Ejercicio 6.24

1. Supongamos que se le da un diagrama arbitrario de la forma B ← AC en Disco$$_{S}$$; necesitamos demostrar que tiene un pushout. Los únicos morfismos en Disco$$_{S}$$ son las identidades, por lo que en particular A = B = C, y el cuadrado que consiste en todas las identidades es su pushout.

2. Supongamos que Disc$$_{S}$$ tiene un objeto inicial s. ¡Entonces S no puede estar vacía! Pero tampoco puede tener más de un objeto, porque si s ′ es otro objeto entonces hay un morfismo s → s ′, pero los únicos morfismos en S son identidades así que s = s ′. De ahí que el conjunto S debe constar exactamente de un elemento.

## Ejercicio 6.26

El pushout es el conjunto$$\underline{4}$$, como se representa en la parte superior derecha en el diagrama de abajo, equipado también con las funciones representadas:

Queremos ver que esto se comprueba con la descripción del Ejemplo 6.25, es decir, que es el conjunto de clases de equivalencia$$\underline{5}$$ en 3 generado por la relación {f (a) ∼ g (a) | a$$\in$$$$\underline{4}$$}. Si denotamos elementos de 5 como {1,..., 5} y los de$$\underline{3}$$ como {1′, 2′, 3′}, podemos redibujar las funciones f, g:

que dice tomamos la relación de equivalencia en$$\underline{5}$$$$\underline{3}$$ generada por: 1 ∼ 1′,, 3 ∼ 1′, 5 ∼ 2′, y 5 ∼ 3′. Las clases de equivalencia son {1, 1′, 3}, {2}, {4} y {5, 2′, 3′}. Estos cuatro son exactamente los cuatro elementos del conjunto etiquetados como 'pushout' en la Ec. (A.1).

## Ejercicio 6.28

1. El diagrama a la izquierda conmuta porque Ø es inicial, y así tiene un mapa único Ø → X + Y. Esto implica que debemos tener f; ι$$_{X}$$ = g; ι$$_{Y}$$.

2. Existe un mapa único X + YT que hace que el diagrama en (6.21) desplazamientos implique por la propiedad universal del coproducto (6.12) aplicado a los mapas x: XT e y: YT.

3. Supongamos que X +$$_{Ø}$$ Y existe. Por la propiedad universal de Ø, dado cualquier par de flechas x: XT e y: YT, el diagrama

desplazamientos. Esto quiere decir, por la propiedad universal del pushout X +$$_{Ø}$$ Y, existe un mapa único t: X +$$_{Ø}$$ YT tal que ι$$_{X}$$; t = x y ι$$_{Y}$$; t = y.

Así X +$$_{Ø}$$ Y es el coproducto X + Y.

## Ejercicio 6.35

Tenemos que verificar que el colimit del diagrama que se muestra a la izquierda realmente se da tomando tres pushouts como se muestra a la derecha:

Es decir, necesitamos mostrar que S, junto con los mapas de A, B, X, Y y Z, tiene la propiedad universal requerida. Así que supongamos dado un objeto T con dos diagramas de desplazamiento como se muestra:

Tenemos que mostrar que hay un mapa único ST haciendo que todo viaje. Como Q es un pushout de XAY, hay un mapa único QT haciendo un triángulo conmutativo con Y, y como R es el pushout de YBZ, hay un mapa único RT haciendo un triángulo conmutativo con Y. Esto implica que hay un cuadrado de desplazamiento (Y, Q, R, T), y de ahí un mapa único ST de su pushout haciendo que todo se conmute. Esto es lo que queríamos mostrar.

## Ejercicio 6.41

La fórmula en el Teorema 6.37 dice que el pushout X +$$_{N}$$ Y viene dado por el conjunto de clases de equivalencia de X N Y bajo la relación de equivalencia generada por xn si x = f (n), e yn si y (n), donde x$$\in$$ X, y$$\in$$ Y, n$$\in$$ N. Ya que por cada $$\in$$n N existe una x$$\in$$ X tal que x = f (n), este conjunto es igual al conjunto de clases de equivalencia de X Y bajo la relación de equivalencia generado por xy si existe n tal que x = f (n) e y = g (n). Esta es exactamente la descripción del Ejemplo 6.25.

## Ejercicio 6.48

El producto monoidal es

## Ejercicio 6.49

Que x e y sean cospanes componibles en Cospan$$_{FinSet}$$. En términos de cables y componentes conectados, la regla de composición en Cospan$$_{FinSet}$$ dice que (i) el cospan compuesto tiene un elemento único en el ápice para cada componente conectado de la concatenación de los diagramas de cables x e y, y (ii) en el cable diagrama para x; y, cada elemento de los pies está conectado por un cable al elemento que representa el componente conectado al que pertenece.

## Ejercicio 6.57

Los morfismos 1, 4 y 6 son iguales, y los morfismos 3 y 5 son iguales. El morfismo 3 no es igual a ningún otro morfismo representado. Esta es una consecuencia inmediata del Teorema 6.55.

## Ejercicio 6.59

2. La salida de g debe etiquetarse D, ya que sabemos por las etiquetas en la parte superior derecha que h es un morfismo BD D.
3. ¡El cuarto cable de salida del compuesto también debe estar etiquetado como D!

## Ejercicio 6.62

Dibujamos las representaciones de funciones arriba, y las representaciones de cableado a continuación. Tenga en cuenta que representamos el conjunto vacío con espacio en blanco.

## Ejercicio 6.63

La ley especial dice que el compuesto de cospans

es la identidad. Esto se reduce a comprobar que la plaza

es un cuadrado de pushout. Es trivial ver que la plaza conmuta. Supongamos ahora que tenemos mapas f: XY y g: XY tal que

Escribe$$_{1}$$: XX + X para el mapa en la primera copia de X en X + X, dada por la definición de coproducto. Entonces, usando el hecho de que ι$$_{1}$$; [id, id] = id del Ejercicio 6.17 1, y la conmutatividad del cuadrado anterior, tenemos f = ι$$_{1}$$; [id, id]; f = ι$$_{1}$$; [id, id]; g = g. Esto quiere decir que f: XT es el mapa único tal que

## Ejercicio 6.67

El diagrama que falta es

## Ejercicio 6.70

Deje que A$$\subseteq$$ S y B$$\subseteq$$ T. Entonces

\ varphi_ {S^ {\ prime}, T^ {\ prime}}\ izquierda (\ left (\ mathrm {im} _ {f}\ veces\ mathrm {im} _ {g}\ derecha) (A\ veces B)\ derecha) &=\ varphi_ {S^ {\ prime}, T^ {\ prime}} (\ {f (a)\ mediados a\ en A\}\ veces\ {g (b)\ mediados b\ en B\})\\
&=\ {(f (a), g (b))\ mediados a\ en A, b\ en B\}\\
& amp; =\ nombreoperador {im} _ {f\ veces g} (A\ veces B)\\
&=\ nombreoperador {im} _ {f\ veces g}\ left (\ varphi_ {S, T} (A, B)\ derecha)

## Ejercicio 6.78

Significan que cada categoría Cospan$$_{C}$$ es igual a una categoría Cospan$$_{F}$$, para algunos F bien elegidos. También te dicen cómo elegir esta F: tomar el functor F: C → Set que envía cada objeto de C al conjunto {∗}, y cada morfismo de C a la función de identidad en {∗}. Por supuesto, habrá que comprobar que este functor es un functor monoidal simétrico laxo, pero de hecho esto no es difícil de hacer.
Para comprobar que Cospan$$_{C}$$ es igual a Cospan$$_{F}$$, primero observe que tienen los mismos objetos: los objetos de C. A continuación, observe que un morfismo en Cospan$$_{F}$$ es un cospan XNY en C junto con un elemento de FN = {∗}. Pero FN también tiene un elemento único, ∗! Entonces no hay otra opción aquí, y podemos considerar los morfismos de Cospan$$_{F}$$ solo para ser cospans en C.

Además, la composición de los morfismos en Cospan$$_{F}$$ es simplemente la composición habitual de los cospanes vía pushout, por lo que Cospan$$_{F}$$ = Cospan$$_{C}$$.
(Más técnicamente, podríamos decir que Cospan$$_{C}$$ y Cospan$$_{F}$$ son isomórficos, donde el isomorfismo es el funtor de identidad sobre objetos Cospan$$_{C}$$Cospan$$_{F}$$ que simplemente decora cada cospan con ∗, y su inverso es el que olvida esto ∗. Pero esto está lo suficientemente cerca como para igualar a que muchos teóricos de categoría, nosotros incluidos, no les importa decir igual en este caso).

## Ejercicio 6.79

Podemos representar el circuito en la Ec. (6.71) por la tupla (V, A, s, t, l) donde V = {ul, ur, dl, dr}, A = {r1, r2, r3, c1, i1}, y s, t, y l están definidos por la tabla

## Ejercicio 6.80

El circuito Circ (f) (c) es

## Ejercicio 6.82

El circuito ψ$$_{\underline{2, 2}}$$ (b, s) es la unión disjunta de las dos gráficas etiquetadas b y s:

## Ejercicio 6.83

El cospan es el cospan$$\underline{1} \stackrel{f}{\rightarrow} \underline{2} \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{1}$$, donde f (1) y g (1) = 2. La decoración es el C-ciruit ($$\underline{2}$$, {a}, s, t, l), donde s (a) = 1, t (a) = 2 y l (a) = batería.

## Ejercicio 6.86

Recordemos el circuito C = (V, A, s, t, l) de la solución al Ejercicio 6.79. Entonces el primer cospan decorado viene dado por el cospan$$\underline{1} \stackrel{f}{\rightarrow} V \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{2}$$, f (1) = ul, (1) = ur, y g (2) = ur, decorado por el circuito C. El segundo cospan decorado viene dado por el cospan$$\underline{1} \stackrel{f'}{\rightarrow} V' \stackrel{g'}{\leftarrow} \underline{2}$$ y el circuito C′: = (V ′, A′, s ′, t ′, l′), donde V ′ = {l, r, d}, A ′ = {r1′, r2′}, y las funciones están dadas por las tablas

Para componer estos, primero tomamos el pushout de$$V \stackrel{g}{\leftarrow} \underline{2} \stackrel{f'}{\leftarrow} V'$$.

Esto da el nuevo ápice V ′′ = {ul, dl, dr, m, r} con cinco elementos, y cospan compuesto$$\underline{1} \stackrel{h}{\rightarrow} V'' \stackrel{k}{\leftarrow} \underline{2}$$ dado por h (1) = ul, k (1) = r y k (2) = m. El nuevo circuito viene dado por (V, ′′ A + A ′, s, ′′ t, ′′ l′′) donde las funciones están dadas por

Esto es exactamente lo que se representa en la Ec. (6.74).

## Ejercicio 6.88

Componiendo η y x tenemos

y componiendo el resultado de$$\mathcal{E}$$ da

## Ejercicio 6.96

1. El cospan que se muestra a la izquierda corresponde al diagrama de cableado mostrado a la derecha:

Tiene dos círculos internos, cada uno con dos puertos. Un puerto del primero está cableado a un puerto del segundo. Un puerto del primero está cableado al círculo exterior, y un puerto del segundo está cableado al círculo exterior. Esto es exactamente lo que dice hacer el cospan.

2. El cospan que se muestra a la izquierda corresponde al diagrama de cableado mostrado a la derecha:

3. El compuesto g$$_{1}$$ f tiene arity (2, 2, 2, 2; 0); hay una representación a la izquierda:

4. El diagrama de cableado asociado se muestra a la derecha arriba. Se puede ver que un diagrama ha sido sustituido por un círculo del otro.

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