5.2: Suma y resta de Fracciones con Denominadores Distintivos

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

ser capaz de sumar y restar fracciones con denominadores diferentes

Una regla básica

Existe una regla básica que se debe seguir al sumar o restar fracciones.

Una Regla Básica
Las fracciones sólo se pueden sumar o restar convenientemente si tienen denominadores similares.

Para ver por qué esta regla tiene sentido, consideremos el problema de sumar un cuarto y una moneda de diez centavos.

$\text{1 quarter + 1 dime = 35 cents}$

Ahora,

$\left \{ \begin{array} {r} {\text{1 quarter } = \dfrac{25}{100}} \\ {\text{1 dime } = \dfrac{10}{100}} \end{array} \right \} \text{ same denominations}$

$35, \cancel{c} = \dfrac{35}{100}$

$\dfrac{25}{100} + \dfrac{10}{100} = \dfrac{25 + 10}{100} = \dfrac{35}{100}$

Para combinar un cuarto y una moneda de diez centavos para producir 35¢, los convertimos en cantidades de la misma denominación.

Misma denominación$\rightarrow$ mismo denominador

Suma y resta de fracciones

Mínimo Común Múltiple (LCM) y Mínimo Común Denominador (LCD)
En [link], examinamos el mínimo común múltiplo (MCM) de una colección de números. Si estos números son utilizados como denominadores de fracciones, llamamos al mínimo común múltiplo, el mínimo común denominador (LCD).

Método de Suma o Resta Fracciones con Denominadores
Distintivos Para sumar o restar fracciones que tengan denominadores diferentes, convierta cada fracción en una fracción equivalente teniendo como denominador el mínimo común denominador (LCD) de los denominadores originales.

Conjunto de Muestras A

Encuentra las siguientes sumas y diferencias.

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}$. Los denominadores no son los mismos. Encuentra la pantalla LCD de 6 y 4.

$\left\{ \begin{array} {c} {6 = 2 \cdot 3} \\ {4 = 2^2} \end{array} \right \} \text{ The LCD = } 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

Escribe cada una de las fracciones originales como una nueva fracción equivalente que tenga el denominador común 12.

$\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{}{12} + \dfrac{}{12}$

Para encontrar un nuevo numerador, dividimos el denominador original en la LCD. Como el denominador original se está multiplicando por este cociente, debemos multiplicar el numerador original por este cociente.

$12 \div 6 = 2$

$Multiplicar 1 por 2:1 veces 2 es igual a 2. El 1 es el numerador original, y el 2, el producto de la multiplicación es el nuevo numerador.$

$12 \div 4 = 3$

$Multiplicar 3 por 3:3 veces 3 es igual a 9. 3 es el numerador original. 9 es el nuevo numerador.$

$\begin{array} {rcll} {\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}} & = & {\dfrac{1 \cdot 2}{12} + \dfrac{3 \cdot 3}{12}} & {} \\ {} & = & {\dfrac{2}{12} + \dfrac{9}{12}} & {\text{ Now the denominators are the same.}} \\ {} & = & {\dfrac{2 + 9}{12}} & {\text{ Add the numerators and place the sum over the common denominator.}} \\ {} & = & {\dfrac{11}{12}} & {} \end{array}$

Conjunto de Muestras A

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}$. Los denominadores no son los mismos. Encuentra la pantalla LCD de 2 y 3.

$\text{LCD} = 2 \cdot 3 = 6$

Escribe cada una de las fracciones originales como una nueva fracción equivalente que tenga el denominador común 6.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{}{6} + \dfrac{}{6}$

$6 \div 2 = 3$Multiplica el numerador 1 por 3.
$6 \div 2 = 3$Multiplica el numerador 2 por 2.

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}} & = & {\dfrac{1 \cdot 3}{6} + \dfrac{2 \cdot 3}{6}} \\ {} & = & {\dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6}} \\ {} & = & {\dfrac{3 + 4}{6}} \\ {} & = & {\dfrac{7}{6} \text{ or } 1 \dfrac{1}{6}} \end{array}$

Conjunto de Muestras A

$\dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{12}$. Los denominadores no son los mismos. Encuentra la pantalla LCD de 9 y 12.

$\left \{ \begin{array} {l} {9 = 3 \cdot 3 = 3^2} \\ {12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3} \end{array} \right \} \text{ LCD} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

$\dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{}{36} - \dfrac{}{36}$

$36 \div 9 = 4$Multiplica el numerador 5 por 4.
$36 \div 12 = 3$Multiplica el numerador 5 por 3.

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{12}} & = & {\dfrac{5 \cdot 4}{36} - \dfrac{5 \cdot 3}{36}} \\ {} & = & {\dfrac{20}{36} - \dfrac{15}{36}} \\ {} & = & {\dfrac{20 - 15}{6}} \\ {} & = & {\dfrac{5}{36}} \end{array}$

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16}$. Los denominadores no son los mismos. Encuentra la pantalla LCD de 6, 8 y 16

$\left \{ \begin{array} {l} {6 = 2 \cdot 3} \\ {8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3} \\ {16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4} \end{array} \right \} \text{ The LCD is} = 2^4 \cdot 3 = 48$

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{}{48} - \dfrac{}{48} + \dfrac{}{48}$

$48 \div 6 = 8$Multiplicar el numerador 5 por 8
$48 \div 8 = 6$ Multiplicar el numerador 1 por 6
$48 \div 16 = 3$ Multiplicar el numerador 7 por 3

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16}} & = & {\dfrac{5 \cdot 8}{48} - \dfrac{1 \cdot 6}{48} + \dfrac{7 \cdot 3}{48}} \\ {} & = & {\dfrac{40}{48} - \dfrac{6}{48} + \dfrac{21}{48}} \\ {} & = & {\dfrac{40 - 6 + 21}{48}} \\ {} & = & {\dfrac{55}{48} \text{ or } 1 \dfrac{7}{48}} \end{array}$

Conjunto de práctica A

Encuentra las siguientes sumas y diferencias.

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{12}$

Contestar: $\dfrac{5}{6}$

Conjunto de práctica A

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{7}$

Contestar: $\dfrac{1}{14}$

Conjunto de práctica A

$\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{8}$

Contestar: $\dfrac{3}{40}$

Conjunto de práctica A

$\dfrac{15}{16} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}$

Contestar: $\dfrac{11}{16}$

Conjunto de práctica A

$\dfrac{1}{32} - \dfrac{1}{48}$

Contestar: $\dfrac{1}{96}$

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Una regla más básica de la aritmética establece que dos fracciones pueden sumarse o restarse convenientemente sólo si tienen.

Contestar: El mismo denominador

Para los siguientes problemas, encuentra las sumas y diferencias.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2}$

Contestar: $\dfrac{5}{8}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{3}$

Contestar: $\dfrac{31}{24}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{6}{7} - \dfrac{1}{4}$

Contestar: $\dfrac{17}{28}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{4}$

Contestar: $\dfrac{19}{36}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{10}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{8}{13} - \dfrac{5}{39}$

Contestar: $\dfrac{19}{39}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{11}{12} - \dfrac{2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{12}$

Contestar: $\dfrac{29}{60}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{13}{88} - \dfrac{1}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{81}$

Contestar: $\dfrac{8}{81}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{19}{40} + \dfrac{5}{12}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$\dfrac{25}{26} - \dfrac{7}{10}$

Contestar: $\dfrac{17}{65}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$\dfrac{9}{28} - \dfrac{4}{45}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$\dfrac{22}{45} - \dfrac{16}{35}$

Contestar: $\dfrac{2}{63}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$\dfrac{56}{63} + \dfrac{22}{33}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{8}$

Contestar: $\dfrac{7}{16}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{120} + \dfrac{19}{20}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{7}{36}$

Contestar: $\dfrac{47}{18}$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$\dfrac{11}{9} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{16}{63}$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$\dfrac{12}{5} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{17}{10}$

Contestar: $\dfrac{103}{30}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$\dfrac{4}{9} + \dfrac{13}{21} - \dfrac{9}{14}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{22} + \dfrac{5}{24}$

Contestar: $\dfrac{217}{264}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$\dfrac{25}{48} - \dfrac{7}{88} + \dfrac{5}{24}$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$\dfrac{27}{40} + \dfrac{47}{48} - \dfrac{119}{126}$

Contestar: $\dfrac{511}{720}$

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$\dfrac{41}{44} - \dfrac{5}{99} - \dfrac{11}{175}$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{24}$

Contestar: $\dfrac{37}{72}$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$\dfrac{5}{9} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{15}$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$\dfrac{21}{25} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{15}$

Contestar: $\dfrac{221}{150}$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$\dfrac{5}{18} - \dfrac{1}{36} + \dfrac{7}{9}$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$\dfrac{11}{14} - \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{32}$

Contestar: $\dfrac{1.465}{2,016}$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$\dfrac{21}{33} + \dfrac{12}{22} + \dfrac{15}{55}$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$\dfrac{5}{51} + \dfrac{2}{34} + \dfrac{11}{68}$

Contestar: $\dfrac{65}{204}$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$\dfrac{8}{7} - \dfrac{16}{14} + \dfrac{19}{21}$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$\dfrac{7}{15} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{34}{60}$

Contestar: $\dfrac{1}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$\dfrac{14}{15} - \dfrac{3}{10} - \dfrac{6}{25} + \dfrac{7}{20}$

Ejercicio$\PageIndex{41}$

$\dfrac{11}{6} - \dfrac{5}{12} + \dfrac{17}{30} + \dfrac{25}{18}$

Contestar: $\dfrac{607}{180}$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

$\dfrac{1}{9} + \dfrac{22}{21} - \dfrac{5}{18} - \dfrac{1}{45}$

Ejercicio$\PageIndex{43}$

$\dfrac{7}{26} + \dfrac{28}{65} - \dfrac{51}{104} + 0$

Contestar: $\dfrac{109}{520}$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

Un viaje matutino de San Francisco a Los Ángeles tomó$\dfrac{13}{12}$ horas. El viaje de regreso tomó$\dfrac{57}{60}$ horas. ¿Cuánto tiempo tardó el viaje matutino?

Ejercicio$\PageIndex{45}$

A principios de semana, las acciones de Starlight Publishing Company se vendían por$\dfrac{115}{8}$ dólares por acción. Al final de la semana, los analistas habían señalado que la acción había subido$\dfrac{11}{4}$ dólares por acción. ¿Cuál era el precio de la acción, por acción, al final de la semana?

Contestar: $$\dfrac{137}{8}$ o $$17 \dfrac{1}{8}$

Ejercicio$\PageIndex{46}$

Una receta de ponche de frutas requiere$\dfrac{23}{3}$ tazas de jugo de piña,$\dfrac{1}{4}$ taza de jugo de limón,$\dfrac{15}{2}$ tazas de jugo de naranja, 2 tazas de azúcar, 6 tazas de agua y 8 tazas de refresco carbonatado sin cola. ¿Cuántas tazas de ingredientes habrá en la mezcla final?

Ejercicio$\PageIndex{47}$

El lado de un tipo particular de caja mide$8 \dfrac{3}{4}$ pulgadas de largo. ¿Es posible colocar tres cajas de este tipo una al lado de la otra en una repisa de$26 \dfrac{1}{5}$ pulgadas de largo? ¿Por qué o por qué no?

Contestar: No; 3 cajas suman$26 \dfrac{1''}{4}$, que es más grande que$25 \dfrac{1''}{5}$.

Ejercicio$\PageIndex{48}$

Cuatro resistencias,$\dfrac{3}{8}$ ohmios,$\dfrac{1}{4}$ ohmios,$\dfrac{3}{5}$ ohmios y$\dfrac{7}{8}$ ohmios, están conectadas en serie en un circuito eléctrico. ¿Cuál es la resistencia total en el circuito debido a estas resistencias? (“En serie” implica adición.)

Ejercicio$\PageIndex{49}$

Una tubería de cobre tiene un diámetro interior de$2 \dfrac{3}{16}$ pulgadas y un diámetro exterior de$2 \dfrac{5}{34}$ pulgadas. ¿Qué tan gruesa es la tubería?

Contestar: Ninguna tubería en absoluto; el diámetro interior es mayor que el diámetro exterior

Ejercicio$\PageIndex{50}$

Originalmente se pensó que la probabilidad de un evento era$\dfrac{15}{32}$. Información adicional disminuyó la probabilidad por$\dfrac{3}{14}$. ¿Cuál es la probabilidad actualizada?

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{51}$

Encuentra la diferencia entre 867 y 418.

Contestar: 449

Ejercicio$\PageIndex{52}$

¿Es 81.147 divisible por 3?

Ejercicio$\PageIndex{53}$

Encuentra el LCM de 11, 15 y 20.

Contestar: 660

Ejercicio$\PageIndex{54}$

Hallar$\dfrac{3}{4}$ de$4 \dfrac{2}{9}$.

Ejercicio$\PageIndex{55}$

Encuentra el valor de$\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{15} + \dfrac{2}{15}$.

Contestar: $\dfrac{7}{15}$