9.4: Perímetro y Circunferencia de Figuras Geométricas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116271

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

saber lo que es un polígono
saber qué es el perímetro y cómo encontrarlo
saber cuál es la circunferencia, el diámetro y el radio de un círculo y cómo encontrar cada uno
conocer el significado del símbolo ππ y su valor aproximado
saber qué es una fórmula y cuatro versiones de la fórmula de circunferencia de un círculo

Polígonos

Podemos hacer uso de habilidades de conversión con números denominados para hacer mediciones de figuras geométricas como rectángulos, triángulos y círculos. Para realizar estas mediciones necesitamos estar familiarizados con varias definiciones.

Definición: Polígono

Un polígono es una figura de plano cerrado (plano) cuyos lados son segmentos de línea (porciones de líneas rectas).

Polígonos

$Cuatro formas, cada una completamente cerrada, con varios números de segmentos de línea recta como lados.$

No polígonos

$Cuatro formas. Una caja abierta de tres lados. Un óvalo. Un objeto ovalado con un lado plano y una mancha anodina.$

Perímetro

Definición: Perímetro

El perímetro de un polígono es la distancia alrededor del polígono.

Para encontrar el perímetro de un polígono, simplemente sumamos las longitudes de todos los lados.

Conjunto de Muestras A

Encuentra el perímetro de cada polígono.

$Un rectángulo con lados cortos de longitud 2 cm y lados largos de longitud 5 cm.$

Solución

$\begin{array} {rcl} {\text{Perimeter}} & = & {\text{2 cm + 5 cm + 2 cm + 5 cm}} \\ {} & = & {\text{14 cm}} \end{array}$

Conjunto de Muestras A

$Un polígono con lados de las siguientes longitudes: 9.2cm, 31mm, 4.2mm, 4.3mm, 1.52cm y 5.4mm.$

Solución

$\begin{array} {rcr} {\text{Perimeter}} & = & {\text{3.1 mm}} \\ {} & & {\text{4.2 mm}} \\ {} & & {\text{4.3 mm}} \\ {} & & {\text{1.52 mm}} \\ {} & & {\text{5.4 mm}} \\ {} & & {\underline{\text{+ 9.2 mm}}} \\ {} & & {\text{27.72 mm}} \end{array}$

Conjunto de Muestras A

$Un polígono con ocho lados. No es un octágono, sino que se puede visualizar como un rectángulo grande con dos rectángulos más pequeños conectados a él.$

Solución

Nuestra primera observación es que faltan tres de las dimensiones. Sin embargo, podemos determinar las mediciones faltantes mediante el siguiente proceso. Deje que A, B y C representen las medidas faltantes. Visualizar

$Un polígono con ocho lados. No es un octágono, sino que se puede visualizar como un rectángulo grande con dos rectángulos más pequeños conectados a él. La altura y el ancho se miden y etiquetan con variables, A, B y C.$

$\text{A = 12m - 2m = 10m}$
$\text{B = 9m + 1m - 2m = 8m}$
$\text{C = 12m - 1m = 11m}$

$\begin{array} {rcr} {\text{Perimeter}} & = & {\text{8 m}} \\ {} & & {\text{10 m}} \\ {} & & {\text{2 m}} \\ {} & & {\text{2 m}} \\ {} & & {\text{9 m}} \\ {} & & {\text{11 m}} \\ {} & & {\text{1 m}} \\ {} & & {\underline{\text{+ 1 m}}} \\ {} & & {\text{44 m}} \end{array}$

Conjunto de práctica A

Encuentra el perímetro de cada polígono.

$Un polígono de tres lados con lados de las siguientes longitudes: 3 pies, 8 pies y 9 pies.$

Contestar: 20 pies

Conjunto de práctica A

$Un polígono de cuatro lados con lados de la siguiente longitud: 6.1m, 8.6m, 6.3m y 5.8m.$

Contestar: 26.8 m

Conjunto de práctica A

$Un polígono de siete lados con lados de las siguientes longitudes: 10.07mi, 3.88mi, 4.54mi, 4.92mi, 12.61, 10.76mi, y 3.11mi.$

Contestar: 49,89 km

Circunferencia, diámetro/radio

Circunferencia
La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del círculo.

Diámetro
Un diámetro de un círculo es cualquier segmento de línea que pasa por el centro del círculo y tiene sus extremos en el círculo.

Radio
Un radio de un círculo es cualquier segmento de línea que tenga como puntos finales el centro del círculo y un punto en el círculo.
El radio es la mitad del diámetro.

$Un círculo con una línea directamente a través del centro, terminando en los bordes de la forma. Toda la longitud de la línea está etiquetada como diámetro, y la longitud de la porción de la línea desde el centro del círculo hasta el borde del círculo se etiqueta como radio.$

El número$\pi$

El símbolo$\pi$, que dice “pi”, representa el número decimal no terminante, no repetitivo 3.14159.... Este número se ha calculado a millones de decimales sin la aparición de un bloque repetido de dígitos.

Para fines computacionales, a menudo$\pi$ se aproxima como 3.14. Escribiremos$\pi \approx 3.14$ para denotar que$\pi$ es aproximadamente igual a 3.14. El símbolo “≈” significa “aproximadamente igual a”.

Fórmulas

Para encontrar la circunferencia de un círculo, solo necesitamos conocer su diámetro o radio. Luego usamos una fórmula para calcular la circunferencia del círculo.

Fórmula
Una fórmula es una regla o método para realizar una tarea. En matemáticas, una fórmula es una regla que nos dirige en los cálculos.

Las fórmulas suelen estar compuestas por letras que representan cantidades importantes, pero posiblemente desconocidas.

Si$C, d$, y$r$ representan, respectivamente, la circunferencia, el diámetro y el radio de un círculo, entonces las dos fórmulas siguientes nos dan instrucciones para calcular la circunferencia del círculo.

Fórmulas de circunferencia

$C = \pi d$o$C \approx (3.14) d$
$C = 2 \pi r$o$C \approx 2 (3.14) r$

Conjunto de Muestras B

Encuentra la circunferencia exacta del círculo.

$Un círculo con una línea discontinua de un borde al otro, etiquetada con d = 7 pulg.$

Solución

Usa la fórmula$C = \pi d$.

$C = \pi \cdot 7\ in.$

Por conmutatividad de multiplicación,

$C = 7\ in. \cdot \pi$

$C = 7 \pi in.$, exactamente

Este resultado es exacto ya que$\pi$ no se ha aproximado.

Conjunto de Muestras B

Encuentra la circunferencia aproximada del círculo.

$Un círculo con una línea discontinua de un borde a otro, etiquetado con d = 6.2 mm.$

Solución

Usa la fórmula$C = \pi d$.

$C \approx (3.14)(6.2)$

$C \approx 19.648 \text{ mm}$

Este resultado es aproximado ya que ππ se ha aproximado en 3.14.

Conjunto de Muestras B

Encuentra la circunferencia aproximada de un círculo con radio de 18 pulgadas.

Solución

Ya que se nos da que el radio,$r$, es de 18 pulg., usaremos la fórmula$C = 2\pi r$.

$C \approx (2)(3.14)(18 \text{ in.})$

$C \approx 113.04 \text{ in.}$

Conjunto de Muestras B

Encuentra el perímetro aproximado de la figura.

$Un objeto en forma de caña de espesor uniforme, con una porción recta y una porción conformada en semicírculo. El grosor es de 2.0cm, la longitud de la porción recta es de 5.1cm y el radio de la porción de semicírculo es de 6.2cm.$

Solución

Notamos que tenemos dos semicírculos (semicírculos).

El radio mayor es de 6.2 cm.

El radio más pequeño es$\text{6.2 cm - 2.0 cm = 4.2 cm.}$

El ancho de la parte inferior del rectángulo es de 2.0 cm.

$\begin{array} {rcll} {\text{Perimeter}} & = & {\text{2.0 cm}} & {} \\ {} & & {\text{5.1 cm}} & {} \\ {} & & {\text{2.0 cm}} & {} \\ {} & & {\text{5.1 cm}} & {} \\ {} & & {(0.5) \cdot (2) \cdot (3.14) \cdot \text{(6.2 com)}} & {\text{Circumference of outer semicircle.}} \\ {} & \ \ + & {\underline{(0.5) \cdot (2) \cdot (3.14) \cdot \text{(4.2 com)}}} & {\text{Circumference of inner semicircle.}} \\ {} & & {} & {\text{6.2 cm - 2.0 cm = 4.2 cm}} \\ {} & & {} & {\text{The 0.5 appears because we want the}} \\ {} & & {} & {\text{perimeter of only half a circle.}} \end{array}$

$\begin{array} {rcr} {\text{Perimeter}} & \approx & {\text{2.0 cm}} \\ {} & & {\text{5.1 cm}} \\ {} & & {\text{2.0 cm}} \\ {} & & {\text{5.1 cm}} \\ {} & & {\text{19.468 cm}} \\ {} & & {\underline{\text{+13.188 cm}}} \\ {} & & {\text{48.856 cm}} \end{array}$

Set de práctica B

Encuentra la circunferencia exacta del círculo.

$Un círculo con una línea a través del medio, que termina en los bordes del círculo. La línea está etiquetada, d = 9.1in.$

Contestar: $9.1 \pi$pulg.

Set de práctica B

Encuentra la circunferencia aproximada del círculo.

$Un círculo con una línea a través del medio, que termina en los bordes del círculo. La línea está etiquetada, d = 1.8in.$

Contestar: 5.652 mm

Set de práctica B

Encuentra la circunferencia aproximada del círculo con radio 20.1 m.

Contestar: 126.228 m

Set de práctica B

Encuentra el perímetro exterior aproximado de

$Una forma mejor visualizada como un semicírculo hueco. El grosor es de 1.8mm y el diámetro de la porción más ancha del semicírculo es de 16.2mm.$

Contestar: 41.634 mm

Ejercicios

Encuentra cada perímetro o circunferencia aproximada. Uso$\pi = 3.14$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$Un rectángulo con lados de longitud 2.3cm y 8.6cm.$

Contestar: 21.8 cm

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$Un triángulo con lados de 8 mm de longitud, 9.3 mm y 3.8 mm.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$Un triángulo con lados de longitud 4.8in, 16.11in y 17.23in.$

Contestar: 38.14 pulgadas

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$Un polígono de cuatro lados con lados de longitud 0.04ft, 0.07ft, 0.04ft, y 0.095ft de longitud.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$Un paralelogramo de cuatro lados con lados cortos de longitud 0.12m y lados largos de longitud 0.31m.$

Contestar: 0.86 m

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$Un círculo de radio 6m.$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$Un círculo de radio 14m.$

Contestar: 87.92 m

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$Un círculo de 8 mm de diámetro.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$Un círculo de 2.6cm de diámetro.$

Contestar: 16.328 cm

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$Un semicírculo de 1.1mm de diámetro.$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$Un semicírculo de 0.03cm de diámetro.$

Contestar: 0.0771 cm

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$Un cuarto de círculo de radio de 5 pulg.$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$Tres cuartas partes de círculo. El radio es de 18m.$

Contestar: 120.78 m

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$Una forma mejor visualizada como un rectángulo conectado a un semicírculo en la parte superior. La altura del rectángulo es 4.1in, y el ancho del rectángulo es 7.8in.$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$Una forma mejor visualizada como un rectángulo conectado a un semicírculo en la parte superior. La altura del rectángulo es 4.1in, y el ancho del rectángulo es 7.8in.$

Contestar: 21.71 pulgadas

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$Una forma mejor descrita como un rectángulo con dos rebanadas de semicírculo sacadas de la parte superior e inferior. La altura del rectángulo es de 18m y el radio de los círculos es de 6m.$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$Una forma mejor descrita como un cono de helado, o un triángulo con un semicírculo unido a la parte superior. Los lados del triángulo se miden para ser 14mm, y el diámetro del semicírculo es de 10mm.$

Contestar: 43.7 mm

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$Un tubo en forma de semicírculo con extremos rectos. Los extremos tienen un ancho de 2mm, y el lado interno del tubo circular tiene un radio de 7mm.$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$Un rectángulo que tiene tres recortes semicirculares y tres adiciones semicirculares. El borde recto vertical es de 4 cm de longitud, y el radio de los recortes circulares y adiciones son de 2cm.$

Contestar: 45.68 cm

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$Una forma compleja.$

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Encuentra el valor de$2 \dfrac{8}{13} \cdot \sqrt{10 \dfrac{9}{16}}$.

Contestar: 8.5 o$\dfrac{17}{2}$ o$8 \dfrac{1}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Encuentra el valor de$\dfrac{8}{15} + \dfrac{7}{10} + \dfrac{21}{60}$.

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Convertir$\dfrac{7}{8}$ a decimal.

Contestar: 0.875

Ejercicio$\PageIndex{20}$

¿Cuál es el nombre que se le da a una cantidad que se utiliza como comparación para determinar la medida de otra cantidad?

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Agrega 42 min 26 s a 53 min 40 s y simplifica el resultado.

Contestar: 1 hora 36 minutos 6 segundos

Polígonos

Perímetro

Circunferencia, diámetro/radio

El número\(\pi\)

Fórmulas

Ejercicios

Ejercicios para la revisión