1.6: Resolver ecuaciones por suma y resta

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Empecemos con la definición de una variable.

Variable

Una variable es un símbolo (generalmente una letra) que representa un valor que puede variar

A continuación seguimos con la definición de una ecuación.

Ecuación

Una ecuación es una declaración matemática que equipara dos expresiones matemáticas.

La diferencia clave entre una expresión matemática y una ecuación es la presencia de un signo igual. Entonces, por ejemplo,

2 + 3 [5 − 4 · 2], x2 + 2x − 3 y x + 2y + 3

son expresiones matemáticas (dos de las cuales contienen variables), mientras que

3 + 2 (7 − 3) = 11, x +3=4 y 3x = 9

son ecuaciones. Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene un signo igual, pero las expresiones no.

A continuación tenemos la definición de una solución de una ecuación.

Lo que significa ser una solución

Una solución de una ecuación es un valor numérico que satisface la ecuación. Es decir, cuando la variable en la ecuación es reemplazada por la solución, resulta una declaración verdadera.

Ejemplo 1

Mostrar que 3 es una solución de la ecuación x + 8 = 11.

Solución

Sustituye 3 por x en la ecuación dada y simplifica.

\[ \begin{array}{rlrl}{x+8} & {=11} & {} & { \textcolor{red}{ \text { The given equation. }}} \\ {3+8} & {=11} & {} & {\textcolor{red}{ \text { Substitute } 3 \text { for } x .}} \\ {11} & {=11} & {} & {\textcolor{red}{ \text { Simplify both sides. }}}\end{array}\nonumber \]

Dado que los lados izquierdo y derecho de la última línea son iguales, esto muestra que cuando 3 es sustituido por x en la ecuación resulta una declaración verdadera. Por lo tanto, 3 es una solución de la ecuación.

Ejercicio

Mostrar que 27 es una solución de la ecuación x − 12 = 15

Ejemplo 2

¿Es 23 una solución de la ecuación 4 = y − 11?

Solución

Sustituir 23 por y en la ecuación dada y simplificar.

\[ \begin{array}{ll}{4=y-11} & {\textcolor{red}{ \text { The given equation. }}} \\ {4=23-11} & {\textcolor{red}{ \text { Substitute } 23 \text { for } y}} \\ {4=12} & {\textcolor{red} {\text { Simplify both sides. }}}\end{array}\nonumber \]

Dado que los lados izquierdo y derecho de la última línea no son iguales, esto muestra que cuando 23 se sustituye por y en la ecuación resulta una declaración falsa. Por lo tanto, 23 no es una solución de la ecuación.

Ejercicio

¿8 es una solución de 5 = 12 − y?

Contestar: No.

Ecuaciones Equivalentes

Comenzamos con la definición de ecuaciones equivalentes.

Ecuaciones Equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Ejemplo 3

¿Las ecuaciones x + 2 = 9 y x = 7 son equivalentes?

Solución

El número 7 es la única solución de la ecuación x + 2 = 9. De igual manera, 7 es la única solución de la ecuación x = 7. Por lo tanto x + 2 = 9 y Respuesta: No. x = 7 tienen los mismos conjuntos de soluciones y son equivalentes.

Ejercicio

¿Las ecuaciones x = 4 y x + 8 = 3 son equivalentes?

Contestar: No.

Ejemplo 4

¿Las ecuaciones x ² = x y x = 1 son equivalentes?

Solución

Por inspección, la ecuación x ² = x tiene dos soluciones, 0 y 1. Por otro lado, la ecuación x = 1 tiene una única solución, a saber, 1. De ahí que las ecuaciones x ² = x y x = 1 no tienen los mismos conjuntos de soluciones y no son equivalentes.

Ejercicio

¿Son las ecuaciones x = 2 y x ² = 2 x equivalentes?

Contestar: No.

Operaciones que producen ecuaciones equivalentes

Son muchas las operaciones que producirán operaciones equivalentes. En esta sección nos fijamos en dos: suma y resta.

Adición de la misma cantidad a ambos lados de una ecuación

Agregar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si

\[a = b,\nonumber \]

luego agregar c a ambos lados de la ecuación produce la ecuación equivalente

\[a + c = b + c.\nonumber \]

Veamos si esto funciona como se anuncia. Considera la ecuación x − 4=3. Por inspección, 7 es la única solución de la ecuación. Ahora, agreguemos 4 a ambos lados de la ecuación para ver si la ecuación resultante es equivalente a x − 4 = 3.

\[ \begin{array}{rlrl}{x-4} & {=3} & {} & {\textcolor{red}{ \text{The given equation. }}} \\ {x-4+4} & {=3+4} & {} & {\textcolor{red}{ \text{Add 4 to both sides of the equation.} }} \\ {x} & {=7} & {} & {\textcolor{red}{ \text{Simplify both sides of the equation. }}}\end{array}\nonumber \]

El número 7 es la única solución de la ecuación x = 7. Así, la ecuación x = 7 es equivalente a la ecuación original x − 4 = 3 (tienen las mismas soluciones).

Punto Importante

Agregar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación no cambia sus soluciones.

También es un hecho que restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación produce una ecuación equivalente.

Restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación

Restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si

\[a = b,\nonumber \]

luego restar c de ambos lados de la ecuación produce la ecuación equivalente

\[a − c = b − c.\nonumber \]

Veamos también si esto funciona como se anuncia. Considera la ecuación

\[ x + 4 = 9.\nonumber \]

Por inspección, 5 es la única solución de la ecuación. Ahora, restemos 4 de ambos lados de la ecuación para ver si la ecuación resultante es equivalente a x + 4 = 9.

\[ \begin{array}{rlrl}{x+4} & {=9} & {} & {\textcolor{red}{ \text { The given equation. }}} \\ {x+4-4} & {=9-4} & {} & {\textcolor{red}{ \text { Subtract 4 from both sides of the equation. }}} \\ {x} & {=5} & {} & {\textcolor{red}{ \text { Simplify both sides of the equation. }}}\end{array}\nonumber \]

El número 5 es la única solución de la ecuación$x = 5$. Así, la ecuación$x = 5$ es equivalente a la ecuación original$x + 4 = 9$ (tienen las mismas soluciones).

Punto Importante

Restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación no cambia sus soluciones.

Redacción Matemáticas

Al resolver ecuaciones, observe las siguientes reglas para organizar cuidadosamente su trabajo:

1. Una ecuación por línea. Esto significa que no debes organizar tu trabajo así:

\[ x+3=7 \quad x+3-3=7-3 \quad x=4\nonumber \]

Eso son tres ecuaciones en una línea. Más bien, organice su trabajo una ecuación por línea así:

\[ \begin{aligned} x+3 &=7 \\ x+3-3 &=7-3 \\ x &=4 \end{aligned}\nonumber \]

2. Sumar y restar en línea. No hagas esto:

\[ \begin{array}{r} x -7 & = & 12 \\ +7 & & + 7 \\ \hline x & = & 19 \end{array}\nonumber \]

En su lugar, agregue 7 a ambos lados de la ecuación “inline”.

\[ \begin{aligned} x-7 &=12 \\ x-7+7 &=12+7 \\ x &=19 \end{aligned}\nonumber \]

Envolver y desenvolver

Supongamos que estás envolviendo un regalo para tu primo. Realiza los siguientes pasos en orden.

Ponle el papel de regalo.
Ponte la cinta.
Ponte el lazo decorativo.

Cuando le damos el regalo envuelto a nuestro primo, él cortésmente desenvuelve el presente, “deshaciendo” cada uno de nuestros tres pasos en orden inverso.

Quítate el lazo decorativo.
Quítate la cinta.
Quítate el papel de regalo.

Este envoltorio y desenvuelto aparentemente frívolos de un regalo contiene algunas ideas matemáticas profundamente poderosas. Considera la expresión matemática$x+ 4$. Para evaluar esta expresión a un valor particular de x, comenzaríamos con el valor dado de x, luego

Agregar 4.

Supongamos que empezamos con el número 7. Si sumamos 4, llegamos al siguiente resultado: 11.

Ahora bien, ¿cómo “desenvolveríamos” este resultado para volver a nuestro número original? Comenzaríamos con nuestro resultado, entonces

Resta 4.

Es decir, tomaríamos nuestro resultado de arriba, 11, luego restaríamos 4, lo que nos devuelve a nuestro número original, es decir, el 7.

Suma y resta como operaciones inversas

Dos observaciones sumamente importantes:

La inversa de la suma es la resta. Si empezamos con un número x y sumamos un número a, entonces restando a del resultado nos devolverá al número original x. En símbolos,

\[x + a − a = x.\nonumber \]

La inversa de la resta es la suma. Si empezamos con un número x y restamos un número a, entonces sumando a al resultado nos devolverá al número original x. En símbolos,

\[x − a + a = x.\nonumber \]

Ejemplo 5

Resolver$x − 8 = 10$ para x.

Solución

Para deshacer los efectos de restar 8, sumamos 8 a ambos lados de la ecuación.

\[ \begin{aligned} x-8=10 & \textcolor{red}{\text { Original equation. }} \\ x-8+8=10+8 & \textcolor{red}{ \text { Add 8 to both sides of the equation. }} \\ x=18 & \textcolor{red}{ \text { On the left, adding "undoes" the effect }} \\ & \textcolor{red}{ \text { of subtracting 8 and returns } x . \text { On the right, }} \\ & \textcolor{red}{10+8=18.} \end{aligned}\nonumber \]

Por lo tanto, la solución de la ecuación es 18.

Cheque

Para verificar, sustituya la solución 18 en la ecuación original.

\[ \begin{aligned} x - 8 = 10 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. }} \\ 18 - 8 = 10 & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 18 for} x. } \\ 10 = 10 & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides. }} \end{aligned}\nonumber \]

El hecho de que la última línea de nuestro cheque sea una verdadera afirmación garantiza que 18 es una solución de x − 8 = 10.

Ejercicio

Resolver$x + 5 = 12$ para x.

Contestar: 7.

Ejemplo 6

Resolver$11 = y + 5$ por y.

Solución

Para deshacer los efectos de sumar 5, restamos 5 de ambos lados de la ecuación.

\[ \begin{aligned} 11 = y + 5 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. }} \\ 1 - 5 = y + 5 - 5 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract 5 from both sides of the equation. }} \\ 6 = y & \textcolor{red}{ \text{ On the right, subtracting "undoes" the effect }} \\ & \textcolor{red}{ \text{ of adding 5 and returns } y. \text{ On the left, }} \\ & \textcolor{red}{ 11 - 5 = 6. } \end{aligned}\nonumber \]

Por lo tanto, la solución de la ecuación es 6.

Cheque

\[ \begin{aligned} 11 = y + 5 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. }} \\ 11 = 6 + 5 & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 6 for } y.} \\ 11 = 11 & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides. }} \end{aligned}\nonumber \]

El hecho de que la última línea de nuestro cheque sea una verdadera afirmación garantiza que 6 es una solución de 11 = y + 5.

Ejercicio

Resolver$y - 8 = 11$ por y.

Contestar: $y = 19.$

Problemas de palabras

La solución de un problema verbal debe incorporar cada uno de los siguientes pasos.

Requisitos para soluciones de problemas verbales

Configura un Diccionario de Variables. Debes dejar saber a tus lectores qué representa cada variable en tu problema. Esto se puede lograr de varias maneras:
1. Declaraciones como “Que P represente el perímetro del rectángulo”.
2. Etiquetar valores desconocidos con variables en una tabla.
3. Etiquetar cantidades desconocidas en un boceto o diagrama.
Configura una Ecuación. Toda solución a un problema de palabras debe incluir una ecuación cuidadosamente elaborada que describa con precisión las restricciones en la declaración del problema.
Resuelve la Ecuación. Siempre debes resolver la ecuación establecida en el paso anterior.
Responda a la Pregunta. Este paso se pasa por alto fácilmente. Por ejemplo, el problema podría preguntar por la edad de Jane, pero la solución de tu ecuación da la edad de la hermana de Jane, Liz. Asegúrate de responder la pregunta original hecha en el problema. Su solución debe escribirse en una oración con las unidades correspondientes.
Mira hacia atrás. Es importante señalar que este paso no implica que simplemente deba verificar su solución en su ecuación. Después de todo, es posible que tu ecuación modele incorrectamente la situación del problema, por lo que podrías tener una solución válida a una ecuación incorrecta. La pregunta importante es: “¿Tiene sentido tu respuesta con base en las palabras de la declaración original del problema”.

Demos una prueba de manejo a estos requisitos.

Ejemplo 7

Cuatro más que un cierto número es 12. Encuentra el número.

Solución

En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

1. Configura un Diccionario de Variables. Podemos satisfacer este requisito simplemente indicando “Que x represente un cierto número”.

2. Configura una Ecuación. “Cuatro más que un cierto número es 12” se convierte

\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{4} & \text{ more than } & \colorbox{cyan}{a certain number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{12} \\ 4 & + & x & = & 12 \end{aligned}\nonumber \]

3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” la suma, resta 4 de ambos lados de la ecuación.

\[ \begin{aligned} 4 + x = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 4 + x - 4 = 12 - 4 & \textcolor{red}{ \text{Subtract 4 from both sides of the equation. }} \\ x = 8 & \textcolor{red}{ \text{ On the left, subtracting 4 "undoes" the effect}} \\ & \textcolor{red}{ \text{ of adding 4 and returns } x. \text{ On the right, }} \\ & \textcolor{red}{12 - 4 = 8.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Responda a la Pregunta. El número es 8.

5. Mira hacia atrás. ¿La solución 8 satisface las palabras del problema original? Nos dijeron que “cuatro más que un cierto número son 12”. Bueno, cuatro más de 8 es 12, por lo que nuestra solución es correcta.

Ejercicio

12 más que un cierto número es 19. Encuentra el número.

Contestar: 7

Ejemplo 8

Amelie retira 125 dólares de su cuenta de ahorros. Debido al retiro, el saldo actual en su cuenta es ahora de mil 200 dólares. ¿Cuál era el saldo original en la cuenta antes del retiro?

Solución

En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

1. Configura un Diccionario de Variables. Podemos satisfacer este requisito simplemente indicando “Que B represente el saldo original en la cuenta de Amelie”.

2. Configura una Ecuación. Podemos describir la situación en palabras y símbolos.

\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Original Balance} & \text{ minus } & \colorbox{ Amelie's Withdrawal } & \text{ is } & \colorbox{cyan}{ Current Balance } \\ B & - & 125 & = & 1200 \end{aligned}\nonumber \]

3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” la resta, suma 125 a ambos lados de la ecuación.

\[ \begin{aligned} B - 125 = 1200 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. }} \\ B - 125 + 125 = 1200 + 125 & \textcolor{red}{ \text{Add 125 to both sides of the equation. }} \\ B = 1325 & \textcolor{red}{ \text{ On the left, adding 125 "undoes" the effect}} \\ & \textcolor{red}{ \text{ of subtracting 125 and returns } B. \text{ On the right, }} \\ & \textcolor{red}{ 1200 + 125 = 1325.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Responda a la Pregunta. El saldo original era de $1,325.

5. Mira hacia atrás. ¿La solución $1,325 satisface las palabras del problema original? Tenga en cuenta que si Amelie retira 125 dólares de este saldo, el nuevo saldo será de $1,200. De ahí que la solución sea correcta.

Ejercicio

Fred retira 230 dólares de su cuenta, bajando su saldo a $3,500. ¿Cuál era su saldo original?

Contestar: $3730

Ejemplo 9

El perímetro de un triángulo es de 114 pies. Dos lados del triángulo miden 30 pies y 40 pies, respectivamente. Encuentra la medida del tercer lado del triángulo.

Solución

En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.

1. Configura un Diccionario de Variables. Cuando se trata de geometría, podemos crear nuestro diccionario de variables etiquetando un diagrama cuidadosamente construido. Con este pensamiento en mente, dibujamos un triángulo, luego etiquetamos sus lados conocidos y desconocidos y su perímetro.

$Screen Shot 2019-08-09 at 2.12.56 PM.png$

La figura deja claro que x representa la longitud del lado desconocido del triángulo. La figura también resume la información necesaria para la solución. 2. Configura una ecuación. Sabemos que el perímetro de un triángulo se encuentra encontrando la suma de sus tres lados; en palabras y símbolos,

\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{ Perimeter } & \text{ is } & \colorbox{cyan}{ First Side } & \text{ plus } & \colorbox{cyan}{ Second Side } & \text{ plus } & \colorbox{cyan}{ Third Side } \\ 114 & = & x & + & 30 & + & 40 \end{aligned}\nonumber \]

Simplifica el lado derecho agregando 30 y 40; es decir,$30 + 40 = 70$.

\[ 114 = x + 70\nonumber \]

3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” sumando 70, resta 70 de ambos lados de la ecuación.

\[ \begin{aligned} 114 = x + 70 & \textcolor{red}{ \text{ Our equation. }} \\ 114 - 70 = x + 70 - 70 & \textcolor{red}{ \text{ Subtract 70 from both sides. }} \\ 44 = x & \textcolor{red}{ \text{ On the right, subtracting 70 "undoes" the effect}} \\ & \textcolor{red}{ \text{of adding 70 and returns to } x. \text{ On the left,}} \\ & \textcolor{red}{ 114 - 70 = 44.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Responda a la Pregunta. El lado desconocido del triángulo es de 44 pies.

5. Mira hacia atrás. ¿La solución 44 pies satisface las palabras del problema original? Nos dijeron que el perímetro es de 114 pies y dos de los lados tienen una longitud de 30 pies y 40 pies respectivamente. Encontramos que el tercer lado tiene una longitud de 44 pies. Ahora, sumando los tres lados, 30+ 40+ 44 = 114, lo que equivale al perímetro dado de 114 pies. ¡La respuesta funciona!

Ejercicio

El perímetro de un cuadrilátero es de 200 metros. Si tres de los lados miden 20, 40 y 60 metros, cuál es la longitud del cuarto lado.

Contestar: 80 metros

Ejercicios

En los Ejercicios 1-12, ¿cuáles de los números que siguen a la ecuación dada son soluciones de la ecuación dada? Apoye su respuesta con un trabajo similar al mostrado en los Ejemplos 1 y 2.

1. x − 4 = 6; 10, 17, 13, 11

2. x − 9 = 7; 17, 23, 19, 16

3. x + 2 = 6; 5, 11, 7, 4

4. x + 3 = 9; 6, 9, 7, 13

5. x + 2 = 3; 8, 1, 4, 2

6. x + 2 = 5; 10, 3, 6, 4

7. x − 4 = 7; 12, 11, 18, 14

8. x − 6 = 7; 13, 16, 20, 14

9. x + 3 = 4; 8, 4, 2, 1

10. x + 5 = 9; 5, 11, 7, 4

11. x − 6 = 8; 17, 21, 14, 15

12. x − 2 = 9; 11, 14, 12, 18

En los Ejercicios 13-52, resuelve la ecuación dada para x.

13. x +5=6

14. x + 6 = 19

15. 5=4+ x

16. 10 = 8 + x

17. 13 + x = 17

18. 7+ x = 15

19. 9+ x = 10

20. 14 + x = 17

21. 19 = x − 3

22. 2= x − 11

23. x − 18 = 1

24. x − 20 = 8

25. x − 3 = 11

26. x − 17 = 18

27. 2+ x = 4

28. 1+ x = 16

29. x − 14 = 12

30. x − 1 = 17

31. x +2=8

32. x + 11 = 14

33. 11 + x = 17

34. 11 + x = 18

35. x + 13 = 17

36. x + 1 = 16

37. 20 = 3 + x

38. 9=3+ x

39. 20 = 8 + x

40. 10 = 3 + x

41. 3= x − 20

42. 13 = x − 15

43. x + 16 = 17

44. x + 6 = 12

45. 5= x − 6

46. 10 = x − 7

47. 18 = x − 6

48. 14 = x − 4

49. 18 = 13 + x

50. 17 = 5 + x

51. x − 9 = 15

52. x − 11 = 17

53. 12 menos que un cierto número es 19. Encuentra el número.

54. 19 menos que un cierto número es 1. Encuentra el número.

55. Un triángulo tiene un perímetro de 65 pies. También tiene dos lados que miden 19 pies y 17 pies, respectivamente. Encuentra la longitud del tercer lado del triángulo.

56. Un triángulo tiene un perímetro de 55 pies. También tiene dos lados que miden 14 pies y 13 pies, respectivamente. Encuentra la longitud del tercer lado del triángulo.

57. Burt realiza un depósito en una cuenta que tiene un saldo de 1900 dólares. Después del depósito, el nuevo saldo en la cuenta es de $8050. Encuentra el monto del depósito.

58. Dave realiza un depósito en una cuenta que tiene un saldo de $3500. Después del depósito, el nuevo saldo en la cuenta es de 4600 dólares. Encuentra el monto del depósito.

59. 8 más que un cierto número es 18. Encuentra el número.

60. 3 más que un cierto número es 19. Encuentra el número.

61. Michelle retira 120 dólares de su cuenta bancaria. Como resultado, el saldo de la nueva cuenta es de $1000. Encuentra el saldo de la cuenta antes del retiro.

62. Mercy retira 430 dólares de su cuenta bancaria. En consecuencia, el saldo de la nueva cuenta es de 1200 dólares. Encuentra el saldo de la cuenta antes del retiro.

63. Las ejecuciones hipotecarias. Entre enero y marzo del año pasado, 650 mil viviendas recibieron un aviso de ejecución hipotecaria. Entre los tres primeros meses de este año, hubo 804 mil avisos de ejecución hipotecaria. ¿Cuál fue el incremento en los avisos de ejecución hipotecaria de viviendas? Tiempos de Prensa Asociados Estándar 4/22/09

64. Precio del Hogar. Según el Índice Económico Humboldt del Departamento de Economía de la Universidad Estatal de Humboldt, el precio medio de la vivienda en EU cayó 1500 dólares en el último mes a 265.000 dólares. ¿Cuál era el precio medio de la vivienda antes de la caída del precio?

65. Vehículo Areal No Tripulado. El dron no tripulado Global Hawk de Northrup Grumman puede volar a 65.000 pies, 40.000 pies más alto que los aviones no tripulados Ikhana de la NASA. ¿Qué tan alto puede volar el Ikhana?

66. Tierra Tribal. La Tribu Yurok tiene la opción de adquirir 47 mil acres para incrementar su territorio ancestral. La primera fase incluiría 22,500 acres en las cuencas hidrográficas de Cappel y Pecman. La segunda fase planea la superficie en el área de Blue Creek. ¿Cuántos acres se podrían comprar en la segunda fase? Times-Standard 4/15/09

RESPUESTAS

1. 10

3. 4

5. 1

7. 11

9. 1

11. 14

13. 1

15. 1

17. 4

19. 1

21. 22

23. 19

25. 14

27. 2

29. 26

31. 6

33. 6

35. 4

37. 17

39. 12

41. 23

43. 1

45. 11

47. 24

49. 5

51. 24

53. 31

55. 29

57. $6150

59. 10

61. $1120

63. 154,000

65. 25,000 pies