1.7: Resolver ecuaciones por multiplicación y división
- Page ID
- 113400
En la Sección 1.6, afirmamos que dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones son equivalentes. Además, vimos que sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación producía una ecuación equivalente. Del mismo modo, restando el número de ambos lados de una ecuación también produce una ecuación equivalente. Podemos hacer declaraciones similares para multiplicación y división.
Multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad
Multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
\[ a = b\nonumber \]
luego multiplicar ambos lados de la ecuación por c produce la ecuación equivalente
\[ a \cdot c = b \cdot c\nonumber \]
siempre c ≠ 0.
Se puede hacer una declaración similar sobre la división.
Dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad
Dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad no cambia el conjunto de soluciones. Es decir, si
\[ a = b\nonumber \]
luego dividir ambos lados de la ecuación por c produce la ecuación equivalente
\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\nonumber \]
siempre c ≠ 0.
En la Sección 1.6, vimos que la suma y la resta eran operaciones inversas. Si comienzas con un número, sumas 4 y restas 4, vuelves al número original. Este concepto también funciona para la multiplicación y división.
Multiplicación y división como operaciones inversas
Dos observaciones sumamente importantes:
El inverso de la multiplicación es la división. Si empezamos con un número x y multiplicamos por un número a, entonces dividiendo el resultado por el número a nos devuelve al número original x. En símbolos,
\[ \frac{a \cdot x}{a} = x.\nonumber \]
El inverso de la división es la multiplicación. Si empezamos con un número x y dividimos por un número a, entonces multiplicando el resultado por el número a nos devuelve al número original x. En símbolos,
\[ a \cdot \frac{x}{a} = x.\nonumber \]
Pongamos a trabajar estas ideas.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 3 x = 24 para x.
Solución
Para deshacer los efectos de multiplicar por 3, dividimos ambos lados de la ecuación por 3.
\[ \begin{aligned} 3x= 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{3x}{3} = \frac{24}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{Divide both sides of the equation by 3.}} \\ x = 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, dividing by 3 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 3 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 24/3 = 8.} \end{aligned}\nonumber \]
Para verificar, sustituya la solución 8 en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} 3x = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 3(8) = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Substitute 8 for } x.} \\ 24 = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]
Ese hecho de que la última línea de nuestro cheque sea una verdadera afirmación garantiza que 8 es una solución de 3x = 24.
Ejercicio
Resolver para x: 5 x = 120.
- Contestar
-
24
Ejemplo 2
Resuelve la siguiente ecuación para x.
\[ \frac{x}{7} = 12\nonumber \]
Solución
Para deshacer los efectos de dividir por 7, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 7.
\[ \begin{aligned} \frac{x}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Original equation.}} \\ \frac{84}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides of the equation by 7.}} \\ x = 84 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiplying by 7 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of dividing by 7 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 7 \cdot 12 = 84.} \end{aligned}\nonumber \]
Para verificar, sustituya la solución 84 en la ecuación original.
\[ \begin{aligned} \frac{x}{7} = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{84}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 84 for } x.} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]
Ese hecho de que la última línea de nuestro cheque sea una declaración verdadera garantiza que 84 es una solución de x /7 = 12.
Ejercicio
Resolver para x: x /2 = 19
- Contestar
-
38
Problemas de palabras
En la Sección 1.6 introdujimos Requisitos para Soluciones de Problemas de Word. Dichos requisitos se cumplirán estrictamente en esta sección.
Ejemplo 3
Quince veces un cierto número es 45. Encuentra el número desconocido.
Solución
En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
1. Configura un Diccionario de Variables. Podemos satisfacer este requisito simplemente indicando “Que x represente un cierto número”.
2. Configura una ecuación. “Quince veces un cierto número es 45” se convierte
\[ \begin{array}{c c c c} \colorbox{cyan}{15} & \text{times} & \colorbox{cyan}{a certain number} & \text{is} & \colorbox{cyan}{45} \\ 15 & \cdot & x & = & 45 \end{array}\nonumber \]
3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” la multiplicación por 15, divide ambos lados de la ecuación por 15.
\[ \begin{aligned} 15x = 45 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. Write 15 } \cdot x \text{ as 15}x} \\ \frac{15x}{15} = \frac{45}{15} ~& \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides of the equation by 15.}} \\ x = 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, dividing by 15 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 15 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{45/15 = 3.} \end{aligned}\nonumber \]
4. Responda a la Pregunta. El número desconocido es 3.
5. Mira hacia atrás. ¿La solución 3 satisface las palabras del problema original? Nos dijeron que “15 veces un cierto número es 45”. Bueno, 15 veces 3 es 45, así que nuestra solución es correcta.
Ejercicio
Siete veces un cierto número es ciento cinco. Encuentra el número desconocido.
- Contestar
-
15
Ejemplo 4
El área de un rectángulo es de 120 pies cuadrados. Si la longitud del rectángulo es de 12 pies, encuentra el ancho del rectángulo.
Solución
En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word.
1. Configura un Diccionario de Variables. Cuando se trata de geometría, podemos crear nuestro diccionario de variables etiquetando un diagrama cuidadosamente construido. Con este pensamiento en mente, dibujamos un rectángulo, luego etiquetamos su longitud, ancho y área.
La figura deja claro que W representa el ancho del rectángulo. La figura también resume la información necesaria para la solución.
2. Configura una ecuación. Sabemos que el área de un rectángulo se encuentra multiplicando su longitud y anchura; en símbolos,
\[ A = LW.\nonumber \]
Se nos da el área es A = 120 pies 2 y la longitud es L = 12 pies. Sustituya estos números en la fórmula de área (1.1) para obtener
\[120 = 12W.\nonumber \]
3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” la multiplicación por 12, divida ambos lados de la ecuación por 12.
\[ \begin{aligned} 120 = 12W ~ & \textcolor{red}{ \text{ Our equation.}} \\ \frac{120}{12} = \frac{12W}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides of the equation by 12.}} \\ 10 = W ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the right, dividing by 12 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 12 and returns to } W. \text{ On the left,}} \\ ~ & \textcolor{red}{120/12 = 10.} \end{aligned}\nonumber \]
4. Responda a la Pregunta. El ancho es de 10 pies.
5. Mira hacia atrás. ¿El ancho encontrado satisface las palabras del problema original? Nos dijeron que el área es de 120 pies cuadrados y la longitud es de 12 pies. El área se encuentra multiplicando la longitud y el ancho, lo que nos da 12 pies por 10 pies, o 120 pies cuadrados. ¡La respuesta funciona!
Ejercicio
El área de un rectángulo es de 3,500 metros cuadrados. Si el ancho es de 50 metros, encuentra el largo.
- Contestar
-
70 metros
Ejemplo 5
Una clase de 23 alumnos promedió 76 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
Solución
En nuestra solución, abordaremos cuidadosamente cada paso de los Requisitos para Soluciones de Problemas de Word. 1. Configura un Diccionario de Variables. Podemos configurar nuestro diccionario de variables simplemente indicando “Que T represente el total de puntos acumulados por la clase”. 2. Configura una ecuación. Para encontrar la puntuación promedio en el examen, tomar el total de puntos acumulados por la clase, luego dividir por el número de alumnos en la clase. En palabras y símbolos,
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Total Points} & \text{divided by} & \colorbox{cyan}{ Number of Students} & \text{equals} & \text{Average Score} \\ T & \div & 23 & = & 76 \end{array}\nonumber \]
Una representación equivalente es
\[ \frac{T}{23} = 76.\nonumber \]
3. Resuelve la Ecuación. Para “deshacer” la división por 23, multiplica ambos lados de la ecuación por 23.
\[ \begin{aligned} \frac{T}{23} = 76 & \textcolor{red}{ \text{ Our equation.}} \\ 23 \cdot \frac{T}{23} = 76 \cdot 23 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides of the equation by 23.}} \\ T = 1748 & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiplying by 23 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of dividing by 23 and returns to } T. \text{ On the right, }} \\ ~ & \textcolor{red}{76 \cdot 23 = 1748.} \end{aligned}\nonumber \]
4. Responda a la Pregunta. El total de puntos acumulados por la clase en el examen es de 1,748.
5. Mira hacia atrás. ¿La solución 1,748 satisface las palabras del problema original? Para encontrar el promedio en el examen, divida el total de puntos 1,748 por 23, el número de alumnos en la clase. Tenga en cuenta que esto da una puntuación promedio de 1748 ÷ 23 = 76. ¡La respuesta funciona!
¡Pruébalo!
Una clase de 30 alumnos promedió 75 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
- Contestar
-
2,250
Ejercicios
En los Ejercicios 1-12, ¿cuáles de los números que siguen a la ecuación dada son soluciones de la ecuación dada?
1. \(\frac{x}{6} = 4\); 24, 25, 27, 31
2. \(\frac{x}{7} = 6\); 49, 42, 43, 45
3. \(\frac{x}{2} = 3\); 6, 9, 13, 7
4. \(\frac{x}{9} = 5\); 45, 46, 48, 52
5. \(5x = 10\); 9, 2, 3, 5
6. \(4x = 36\); 12, 16, 9, 10
7. \(5x = 25\); 5, 6, 8, 12
8. \(3x = 3\); 1, 8, 4, 2
9. \(2x = 2\); 4, 8, 1, 2
10. \(3x = 6\); 2, 9, 5, 3
11. \(\frac{x}{8} = 7\); 57, 59, 63, 56
12. \(\frac{x}{3} = 7\); 24, 21, 28, 22
En los Ejercicios 13-36, resuelve la ecuación dada para x.
13. \(\frac{x}{6} = 7\)
14. \(\frac{x}{8} = 6\)
15. \(2x = 16\)
16. \(2x = 10\)
17. \(2x = 18\)
18. \(2x = 0\)
19. \(4x = 24\)
20. \(2x = 4\)
21. \( \frac{x}{4} = 9\)
22. \( \frac{x}{5} = 6\)
23. \(5x = 5\)
24. \(3x = 15\)
25. \(5x = 30\)
26. \(4x = 28\)
27. \( \frac{x}{3} = 4\)
28. \( \frac{x}{9} = 4\)
29. \( \frac{x}{8} = 9\)
30. \( \frac{x}{8} = 2\)
31. \( \frac{x}{7} = 8\)
32. \( \frac{x}{4} = 6\)
33. \(2x = 8\)
34. \(3x = 9\)
35. \( \frac{x}{8} = 5\)
36. \(\frac{x}{5} = 4\)
37. El precio de una librería es de 370 dólares. Una organización benéfica compra un número desconocido de librerías y el precio total de la compra es de $4,810. Encuentra el número de librerías compradas.
38. El precio de una computadora es de 330 dólares. Una organización benéfica compra un número desconocido de computadoras y el precio total de la compra es de $3,300. Encuentra el número de computadoras compradas.
39. Cuando un número desconocido se divide por 3, el resultado es 2. Encuentra el número desconocido.
40. Cuando un número desconocido se divide por 8, el resultado es 3. Encuentra el número desconocido.
41. Una clase de 29 alumnos promedió 80 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
42. Una clase de 44 alumnos promedió 87 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
43. Cuando un número desconocido se divide por 9, el resultado es 5. Encuentra el número desconocido.
44. Cuando un número desconocido se divide por 9, el resultado es 2. Encuentra el número desconocido.
45. El área de un rectángulo es de 16 cm cuadrados. Si la longitud del rectángulo es de 2 cm, encuentra el ancho del rectángulo.
46. El área de un rectángulo es de 77 pies cuadrados. Si la longitud del rectángulo es de 7 pies, encuentre el ancho del rectángulo.
47. El área de un rectángulo es de 56 cm cuadrados. Si la longitud del rectángulo es de 8 cm, encuentra el ancho del rectángulo.
48. El área de un rectángulo es de 55 cm cuadrados. Si la longitud del rectángulo es de 5 cm, encuentra el ancho del rectángulo.
49. El precio de un estéreo es de 430 dólares. Una organización benéfica compra un número desconocido de equipos de música y el precio total de la compra es de $6,020. Encuentra el número de equipos de música comprados.
50. El precio de una computadora es de 490 dólares. Una organización benéfica compra un número desconocido de computadoras y el precio total de la compra es de $5,880. Encuentra el número de computadoras compradas.
51. Una clase de 35 alumnos promedió 74 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
52. Una clase de 44 alumnos promedió 88 puntos en un examen. ¿Cuántos puntos totales fueron acumulados por la clase en su conjunto?
53. 5 veces un número desconocido es 20. Encuentra el número desconocido.
54. 5 veces un número desconocido es 35. Encuentra el número desconocido.
55. 3 veces un número desconocido es 21. Encuentra el número desconocido.
56. 2 veces un número desconocido es 10. Encuentra el número desconocido.
RESPUESTAS
1. 24
3. 6
5. 2
7. 5
9. 1
11. 56
13. 42
15. 8
17. 9
19. 6
21. 36
23. 1
25. 6
27. 12
29. 72
31. 56
33. 4
35. 40
37. 13
39. 6
41. 2,320
43. 45
45. 8 cm
47. 7 cm
49. 14
51. 2,590
53. 4
55. 7