2.1: Una introducción a los enteros

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Como vimos en la introducción al capítulo, los números negativos tienen una historia rica e histórica. Una de las primeras solicitudes de números negativos tuvo que ver con créditos y débitos. Por ejemplo, si $5 representa un crédito o ganancia, entonces −$5 representa un débito o pérdida. Por supuesto, los antiguos tenían un sistema monetario diferente al nuestro, pero se entiende la idea. Tenga en cuenta que si un proveedor experimenta una ganancia de $5 en una venta, entonces una pérdida de −$5 en una segunda venta, el vendedor se pone de pie. Es decir, la suma de $5 y −$5 es cero. De la misma manera, cada número entero tiene una contraparte opuesta o negativa.

Lo opuesto o negativo de un número entero

Por cada número entero a, hay un número único − a, llamado lo opuesto o negativo de a, de tal manera que a + (− a) = 0.

Lo opuesto o negativo de cualquier número entero se ubica fácilmente en la línea numérica.

Ubicaciones de líneas numéricas

Para ubicar lo opuesto (o negativo) de cualquier número entero, primero localice el número entero en la recta numérica. Lo contrario es el reflejo del número entero a través del origen (cero).

Ejemplo 1

Localice el número entero 5 y su opuesto (negativo) en la recta numérica.

Solución

Dibuja una recta numérica, luego traza el número entero 5 en la línea como un punto sombreado.

$Screen Shot 2019-08-12 a las 5.58.13 PM.png$

Para encontrar su opuesto, refleje el número 5 a través del origen. Esta será la ubicación del opuesto (negativo) del número entero 5, que indicamos con el símbolo −5.

$Screen Shot 2019-08-12 at 5.58.18 PM.png$

Tenga en cuenta la simetría. El número entero 5 se ubica cinco unidades a la derecha de cero. Su negativo se ubica cinco unidades a la izquierda de cero.

Ejercicio

Localice el número -7 y su opuesto en la recta numérica.

Pronunciación importante

El símbolo −5 se pronuncia de una de dos maneras: (1) “cinco negativos” o (2) “el opuesto de cinco”.

De manera similar, podemos ubicar lo opuesto o negativo de cualquier número entero reflejando el número entero a través del origen (cero), lo que lleva a la imagen que se muestra en la Figura 2.1.

Screen Shot 2019-08-12 at 6.01.48 PM.png — Figura 2.1: Lo opuesto (negativo) de cualquier número entero es un reflejo de ese número a través del origen (cero).

Los números enteros

El conjunto de números dispuestos en la recta numérica de la Figura 2.1 se extiende indefinidamente hacia la derecha, y debido a que los números de la izquierda son reflejos a través del origen, los números también se extienden indefinidamente hacia la izquierda. Esta colección de números se llama el conjunto de números enteros.

Los números enteros

La colección infinita de números

{..., −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

se llama el conjunto de enteros.

Los puntos suspensivos.. en cada extremo de esta colección infinita significa “etcétera”, ya que los enteros continúan indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda. Así, por ejemplo, tanto 23,456 como −117, 191 son elementos de este conjunto y por lo tanto son enteros.

Ordenar los números enteros

Como vimos con los números enteros, a medida que te mueves hacia la derecha en la recta numérica, los números se hacen más grandes; a medida que te mueves hacia la izquierda, los números se hacen más pequeños.

Orden en la línea numérica

Sea a y b enteros ubicados en la línea numérica para que el punto que representa el entero a se encuentre a la izquierda del punto que representa el entero b.

$Screen Shot 2019-08-12 en 6.03.49 PM.png$

Entonces el entero a es “menor que” el entero b y escribimos

\[ a < b\nonumber \]

Alternativamente, también podemos decir que el entero b es “mayor que” el entero a y escribir

\[ b > a.\nonumber \]

Ejemplo 3

Reemplace cada cuadro sombreado con < (less than) or > (mayor que) para que la desigualdad resultante sea una declaración verdadera.

$Screen Shot 2019-08-12 at 6.07.02 PM.png$

Solución

Para el primer caso, ubique −3 y 5 en la recta numérica como puntos sombreados.

$Screen Shot 2019-08-12 at 6.07.08 PM.png$

Tenga en cuenta que −3 se encuentra a la izquierda de 5, entonces:

$Screen Shot 2019-08-12 at 6.07.11 PM.png$

Es decir, −3 es “menor que” 5.

En el segundo caso, ubique −2 y −4 como puntos sombreados en la recta numérica.

$Screen Shot 2019-08-12 at 6.09.21 PM.png$

Tenga en cuenta que −2 se encuentra a la derecha de −4, entonces:

$Screen Shot 2019-08-12 at 6.09.26 PM.png$

Es decir, −2 es “mayor que” −4.

Ejercicio

Compara −12 y −11.

Contestar: −12 < −11

Observación Importante

En el Ejemplo 3, tenga en cuenta que el “extremo puntiagudo” del símbolo de desigualdad siempre apunta hacia el número menor.

Declaramos anteriormente que cada entero tiene un número único llamado su “opuesto” o “negativo”. Así, el entero −5 es el opuesto (negativo) del entero 5. Así, podemos decir que el par −5 y 5 son opuestos. Cada uno es lo opuesto al otro. Lógicamente, esto nos lleva a la conclusión de que lo contrario de −5 es 5. En símbolos, escribiríamos

\[ -(-5) = 5.\nonumber \]

Opuestos de los opuestos

Deja que a sea un entero. Entonces lo “opuesto de lo contrario de a es a”. En símbolos, escribimos

\[ -(-a) = a.\nonumber \]

También podemos afirmar que el “negativo de un negativo a es a.

Ejemplo 4

Simplificar − (−13) y − (−119).

Solución

Lo contrario de lo contrario de un número devuelve el número original. Es decir,

− (−13) = 13 y − (−119) = 11.

Ejercicio

Simplificar: − (−50).

Contestar: 50

Positivo y Negativo

Ahora definimos los términos entero positivo y entero negativo.

Enteros Positivos

Si a es un número entero que se encuentra a la derecha de cero (el origen) en la línea numérica, entonces a es un entero positivo. Esto significa que a es un entero positivo si y solo si a > 0.

Así, 2, 5 y 117 son enteros positivos.

Entero negativo

Si a es un número entero que se encuentra a la izquierda de cero (el origen) en la línea numérica, entonces a es un entero negativo. Esto significa que a es un entero negativo si y solo si a < 0.

Así, −4, −8 y −1, 123 son números enteros negativos.

Cero

El número entero cero no es ni positivo ni negativo.

Ejemplo 5

Clasifique cada uno de los siguientes números como negativos, positivos o ninguno: 4, −6 y 0.

Solución

Localice 4, −6 y 0 en la recta numérica.

$Screen Shot 2019-08-12 a las 6.18.15 PM.png$

Así:

4 se encuentra a la derecha de cero. Es decir, 4 > 0, haciendo 4 un entero positivo.
−6 se encuentra a la izquierda de cero. Es decir, −6 < 0, haciendo −6 un entero negativo.
El número 0 es neutral. No es ni negativo ni positivo.

Ejercicio

Clasifique −11 como positivo, negativo o ninguno.

Contestar: Negativo

Valor Absoluto

Definimos el valor absoluto de un entero.

Valor Absoluto

El valor absoluto de un entero se define como su distancia desde el origen (cero).

Es importante señalar que la distancia es siempre una cantidad no negativa (no negativa); es decir, la distancia es positiva o cero. Como ejemplo, hemos sombreado los enteros −4 y 4 en una recta numérica.

$Screen Shot 2019-08-12 a las 6.21.51 PM.png$

La línea numérica anterior muestra dos casos:

El entero −4 es 4 unidades a partir de cero. Porque el valor absoluto mide la distancia desde cero, | − 4| = 4.
El entero 4 es también 4 unidades a partir de cero. Nuevamente, el valor absoluto mide la distancia desde cero, por lo que |4| = 4.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 6

Determinar el valor de cada expresión: a) | − 7|, b) |3|, y c) |0|.

Solución

El valor absoluto de cualquier entero es igual a la distancia que ese número está desde el origen (cero) en la línea numérica. Así:

a) El entero −7 es 7 unidades del origen; por lo tanto, | − 7| = 7.

b) El entero 3 es 3 unidades del origen; por lo tanto, |3| = 3.

c) El entero 0 es 0 unidades del origen; por lo tanto, |0| =0.

Ejercicio

Simplificar: | − 33|.

Contestar: 33

Ejemplo 7

Determinar el valor de cada expresión: a) − (−8) y b) −| − 8|

Solución

Estos son problemas claramente diferentes.

a) Lo opuesto de −8 es 8. Es decir, − (−8) = 8.

b) Sin embargo, en este caso, tomamos primero el valor absoluto de −8, que es 8, luego lo contrario de ese resultado para obtener −8. Es decir,

\[ \begin{aligned} - | -8 | = -(8) & \textcolor{red}{ \text{ First: } |-8| = 8.} \\ = -8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Second: The opposite of 8 is } -8.} \end{aligned}\nonumber \]

Ejercicio

Simplificar: −| − 50|.

Contestar: 50

Aplicaciones

Hay una serie de aplicaciones que se benefician del uso de enteros.

Ejemplo 8

Las ganancias y pérdidas correspondientes a los primeros seis meses del ejercicio fiscal para una pequeña empresa se muestran en el Cuadro 2.1. Las ganancias y pérdidas se miden en miles de dólares. Un número positivo representa una ganancia, mientras que un número negativo representa una pérdida. Crear un gráfico de barras que represente las ganancias y pérdidas de esta pequeña empresa por cada mes del primer semestre del año fiscal.

Mes	Ene	Feb	Mar	Abr	Mayo	Jun
Ganancia/Pérdida	10	12	7	-2	-4	5

Cuadro 2.1: Las ganancias y pérdidas se miden en miles de dólares.

Solución

Comience por etiquetar el eje horizontal con los meses del ejercicio fiscal. Una vez que hayas completado esa tarea, escala el eje vertical para acomodar los valores de Ganancias/Pérdidas registrados en la Tabla 2.1. Finalmente, comenzando en el nivel 0 en el eje horizontal, las barras de croquis tienen alturas iguales a las ganancias y pérdidas de cada mes.

Screen Shot 2019-08-12 at 6.32.04 PM.png — La figura 2.2 para los meses enero, febrero, marzo y junio tienen alturas mayores a cero, lo que representa una ganancia en cada uno de esos meses. Las barras para los meses abril y mayo tienen alturas que son menores a cero, lo que representa una pérdida para cada uno de esos meses.

Ejercicio

La siguiente tabla contiene bajas temperaturas récord (grados Fahrenheit) para Jackson Hole, Wyoming para los meses indicados.

Mes	Temp
Sept.	14
Oct.	2
Nov.	−27
Dic.	−49
Ene.	−50

Crear gráficos de barras de temperatura versus meses.

Ejemplo 9

El Cuadro 2.2 contiene los registros de baja temperatura (grados Fahrenheit) en cinco días consecutivos en Fairbanks, Alaska, 1995. Crear un gráfico de líneas para los datos de la Tabla 2.2.

Fecha	Ene 21	Ene 22	Ene 23	Ene 24	Ene 25
Baja Temp	1	10	5	−20	−28

Solución

Comience etiquetando el eje horizontal con los días de enero en que ocurrieron las temperaturas. Escala el eje vertical para acomodar las temperaturas dadas en el Cuadro 2.2. Por último, trazar puntos en cada día a una altura que sea igual a la temperatura para ese día dado. Conecte pares consecutivos de puntos con segmentos de línea para producir el gráfico de líneas que se muestra en la Figura 2.3.

Screen Shot 2019-08-12 a las 6.39.40 PM.png — Figura 2.3: Trazando temperaturas bajas diarias versus la fecha en que ocurrieron.

Obsérvese que los puntos de la Figura 2.3 tienen alturas mayores a cero para el 21-23 de enero, lo que representa temperaturas mayores a cero. Los puntos que representan del 24 al 45 de enero tienen alturas negativas correspondientes a las temperaturas negativas del Cuadro 2.2.

Ejercicio

Un hombre se para en el techo de un edificio de varios pisos y lanza una pelota de béisbol verticalmente hacia arriba. La altura (en pies) de la bola por encima del borde del techo en tiempos medidos (en segundos) se da en la siguiente tabla.

Tiempo	Altura
0	0
1	24
2	16
3	−24
4	−96

Crea un gráfico de líneas de la altura de la pelota versus el tiempo en el aire.

Ejercicios

En los Ejercicios 1-12, para cada una de las siguientes preguntas, proporcione un boceto de línea numérica con su respuesta.

1. ¿Qué número se encuentra tres unidades a la izquierda de 4 en la línea numérica?

2. ¿Qué número se encuentra tres unidades a la izquierda de 1 en la línea numérica?

3. ¿Qué número se encuentra tres unidades a la izquierda de 6 en la línea numérica?

4. ¿Qué número se encuentra cuatro unidades a la izquierda de −2 en la recta numérica?

5. ¿Qué número se encuentra dos unidades a la derecha de 0 en la recta numérica?

6. ¿Qué número se encuentra cuatro unidades a la derecha de −2 en la recta numérica?

7. ¿Qué número se encuentra dos unidades a la derecha de 1 en la línea numérica?

8. ¿Qué número hay dos unidades a la derecha de −4 en la recta numérica?

9. ¿Qué número se encuentra cuatro unidades a la izquierda de 6 en la línea numérica?

10. ¿Qué número se encuentra dos unidades a la izquierda de 0 en la recta numérica?

11. ¿Qué número hay dos unidades a la derecha de −5 en la recta numérica?

12. ¿Qué número se encuentra tres unidades a la derecha de −6 en la recta numérica?

En los Ejercicios 13-24, para cada uno de los siguientes conjuntos de enteros, realice las siguientes tareas:

Trace cada uno de los números enteros en una línea numérica.
Enumere los números en orden, de menor a mayor.

13. 6, 1, −3 y −5

14. 5, −3, −5 y 2

15. 5, −6, 0 y 2

16. 4, 2, 6 y −4

17. −3, −5, 3 y 5

18. −4, 5, 2 y −6

19. −5, 4, 2 y −3

20. 6, 1, −3 y −1

21. 3, 5, −5 y −1

22. −4, 6, −2 y 3

23. −2, −4, 3 y −6

24. 2, −6, −4 y 5

En los Ejercicios 25-36, en cada uno de los siguientes ejercicios, ingresa el símbolo de desigualdad < or the symbol > en la casilla para que la desigualdad resultante sea una verdadera declaración.

25. $ -4 \square 0$

26. $-4 \square 3$

27. $-2 \square -1$

28. $3 \square 0$

29. $-3 \square -1$

30. $6 \square 5$

31. $3 \square 6$

32. $-4 \square -2$

33. $-3 \square -6$

34. $0 \square -3$

35. $-1 \square 4$

36. $1 \square -4$

En los Ejercicios 37-52, simplifique cada una de las siguientes expresiones.

37. − (−4).

38. − (−6).

39. |7|.

40. |1|.

41. |5|.

42. |3|.

43. −| − 11|.

44. −| − 1|.

45. | − 5|.

46. | − 1|.

47. −| − 20|.

48. −| − 8|.

49. | − 4|.

50. | − 3|.

51. − (−2).

52. − (−17).

En los Ejercicios 53-64, para cada uno de los siguientes ejercicios, proporcione un boceto de líneas numéricas con su respuesta.

53. Encuentra dos enteros en la recta numérica que estén a 2 unidades del entero 2.

54. Encuentra dos números enteros en la línea numérica que están a 2 unidades del entero −3.

55. Encuentra dos números enteros en la línea numérica que están a 4 unidades del entero −3.

56. Encuentra dos números enteros en la línea numérica que están a 2 unidades del entero −2.

57. Encuentra dos números enteros en la línea numérica que están a 3 unidades del número entero −2.

58. Encuentra dos enteros en la línea numérica que están a 4 unidades del número entero 1.

59. Encuentra dos enteros en la recta numérica que estén a 2 unidades del entero 3.

60. Encuentra dos enteros en la recta numérica que están a 3 unidades del entero 3.

61. Encuentra dos enteros en la línea numérica que están a 3 unidades del número entero 0.

62. Encuentra dos números enteros en la línea numérica que están a 4 unidades del número entero 2.

63. Encuentra dos enteros en la línea numérica que están a 2 unidades del número entero 0.

64. Encuentra dos enteros en la línea numérica que están a 3 unidades del número entero 1.

65. Presa. El punto de elevación más bajo de Utah es de 2,350 pies sobre el nivel del mar y ocurre en Beaver Dam Wash. Exprese la altura como un entero. 66. Planeador Subacuático. El planeador submarino de la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica toma muestras del fondo del Océano Atlántico a 660 pies bajo el nivel del mar. Expresar esa profundidad como un entero. Prensa Asociada Times-Estándar 4/19/09 67. Las ganancias y pérdidas correspondientes a los primeros seis meses del ejercicio fiscal para una pequeña empresa se muestran en el siguiente gráfico de barras.

$Screen Shot 2019-08-13 at 8.08.03 PM.png$

Crear una tabla que muestre las ganancias y pérdidas de cada mes. Utilice enteros positivos para la ganancia y enteros negativos para la pérdida. Crea una gráfica de líneas utilizando los datos de tu tabla. 68. Las ganancias y pérdidas correspondientes a los primeros seis meses del ejercicio fiscal para una pequeña empresa se muestran en el siguiente gráfico de barras.

$Screen Shot 2019-08-13 at 8.08.35 PM.png$

Crear una tabla que muestre las ganancias y pérdidas de cada mes. Utilice enteros positivos para la ganancia y enteros negativos para la pérdida. Crea una gráfica de líneas utilizando los datos de tu tabla. 69. El siguiente gráfico de líneas muestra las grabaciones de baja temperatura (grados Fahrenheit) en cinco días consecutivos en Big Bear, California. ¿Cuál fue la lectura de temperatura más baja de la semana y en qué fecha ocurrió?

$Screen Shot 2019-08-13 a las 8.10.27 PM.png$

70. El siguiente gráfico de líneas muestra las grabaciones de baja temperatura (grados Fahrenheit) en cinco días consecutivos en Ogden, Utah. ¿Cuál fue la lectura de temperatura más baja de la semana y en qué fecha ocurrió?

$Screen Shot 2019-08-13 a las 8.10.31 PM.png$

71. La siguiente tabla contiene las grabaciones de baja temperatura (grados Fahrenheit) en cinco días consecutivos en Littletown, Ohio. Cree un gráfico de líneas para los datos.

Fecha	Feb 11	Feb 12	Feb 13	Feb 14	Feb 15
Baja Temp	10	-2	-5	-12	8

72. La siguiente tabla contiene las grabaciones de baja temperatura (grados Fahrenheit) en cinco días consecutivos en MyTown, Ottawa. Cree un gráfico de líneas para los datos.