6.1: Proporción y Proporción

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Desde los inicios de la raza humana, desde hace mucho tiempo hemos comparado una cantidad con otra, una comparación que se llama ratio en matemáticas. “Su tribu tiene el doble de ganado que la nuestra” o “Dos canastas de trigo cuestan 12 ducados” son ejemplos de proporciones que suenen desde tiempos lejanos. En efecto, el concepto de relación no puede asignarse a ningún individuo o clase de individuo. En su Historia de las Matemáticas, D. E. Smith escribe:

Es más bien lucrativo especular sobre el dominio en el que apareció por primera vez el concepto de ratio. La idea de que una tribu es dos veces más grande que otra y la idea de que una correa de cuero es sólo la mitad de largo que otra implican la noción de ratio; ambas son tales que se desarrollarían temprano en la historia de la raza, y sin embargo una tiene que ver con la proporción de números y la otra con la proporción de geométricos magnitudes. En efecto, cuando llegamos a los escritores griegos encontramos a Nicomachus incluyendo ratio en su aritmética, Eudoxus en su geometría, y Teón de Esmirna en su capítulo sobre música.

Los ejemplos y aplicaciones de ratios son ilimitados: la velocidad es una relación que compara los cambios en la distancia con respecto al tiempo, la aceleración es una relación que compara los cambios en la velocidad con respecto al tiempo, y los porcentajes comparan la pieza con el conjunto. Ya hemos estudiado una relación clásica, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, lo que nos da la definición de$π$.

Una de las proporciones más famosas de la historia implica la división de un segmento de línea AB en dos segmentos AC y CB seleccionando un punto C en el segmento AB.

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La idea es seleccionar un punto C en el segmento AB para que

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}.\nonumber \]

Esta relación tiene un nombre especial, la proporción áurea, y tiene un valor exacto igual a$(1+ \sqrt{5})/2$. La Relación Áurea se conoce desde la época de Euclides. Los arquitectos antiguos y modernos han sostenido durante mucho tiempo que la forma rectangular más agradable es aquella cuya relación de largo a ancho es igual a la proporción áurea.

La comparación de dos relaciones, como AB/AC = AC/CB, se denomina proporción. Las proporciones se utilizan de varias maneras prácticas. Por ejemplo, si 5 latas de salsa de tomate cuestan 2 dólares, podemos encontrar el número de latas que se pueden comprar con 10 dólares comparando dos proporciones en una proporción:

\[ \frac{ \text{5 cans of tomato sauce}}{\text{2 dollars}} = \frac{ \text{x cans of tomato sauce}}{\text{10 dollars}}\nonumber \]

Cualquier discusión de relación implica comparar dos cantidades, por lo que las unidades de cada cantidad se vuelven extremadamente importantes. Se utilizan dos sistemas diferentes de unidades para medir la longitud, la capacidad y el tiempo: el sistema americano de unidades y el sistema métrico de unidades. En este capítulo discutiremos ambos sistemas y explicaremos cómo convertir las cantidades medidas en un sistema a cantidades medidas en el otro sistema.

Comencemos el viaje.