7.3: Resolver problemas de porcentaje básico

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Hay tres tipos básicos de problemas porcentuales:

Encuentra un porcentaje dado de un número determinado. Por ejemplo, encuentra 25% de 640.
Encuentra un porcentaje dado dos números. Por ejemplo, 15 es ¿qué porcentaje de 50?
Encuentra un número que sea un porcentaje dado de otro número. Por ejemplo, ¿10% de qué número es 12?

Empecemos por el primero de estos tipos.

Encontrar un porcentaje dado de un número dado

Empecemos con nuestro primer ejemplo.

Ejemplo 1

¿Qué número es 25% de 640?

Solución

Que x represente el número desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{25%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{640} \\ x & = & 25 \% & \cdot & 640 \end{array}\nonumber \]

Ahora, resuelve la ecuación para x.

\[ \begin{aligned} x = 25 \% \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = 0.25 \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25% to a decimal: 25% = 0.25.}} \\ x = 160 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: 0.25 \cdot 640 = 160.}} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 25% de 640 es 160.

Solución alternativa

También podríamos cambiar 25% a una fracción.

\[ \begin{aligned} x = 25 \% \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = \frac{1}{4} \cdot 640 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25% to a fraction: 25% = 25/100 = 1/4.}} \\ x = \frac{640}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ x = 160 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 640/4 = 160.}} \end{aligned}\nonumber \]

Misma respuesta.

Ejercicio

¿Qué número es 36% de 120?

Responder: 43.2

Ejemplo 2

¿Cuál es el$8 \frac{1}{3} \%$ número 120?

Solución

Que x represente el número desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{8 (1/3)%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{120} \\ x & = & 8 \frac{1}{3} \% & \cdot & 120 \end{array}\nonumber \]

Ahora, resuelve la ecuación para x. Porque

\[8 \frac{1}{3} \%= 8.3 \% = 0.08 \overline{3},\nonumber \]

trabajar con decimales requiere que trabajemos con un decimal repetido. Para ello, tendríamos que truncar la representación decimal del porcentaje en algún lugar y satisfacernos con una respuesta aproximada. En cambio, cambiemos el porcentaje a una fracción y busquemos una respuesta exacta.

\[ \begin{aligned} 8 \frac{1}{3} \% = \frac{8 \frac{1}{3}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{ \frac{25}{3}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper fraction.}} \\ = \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{100} ~& \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{25}{300} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ = \frac{1}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 25.}} \end{aligned}\nonumber \]

Ahora podemos resolver nuestra ecuación para x.

\[ \begin{aligned} = 8 \frac{1}{3} \% \cdot 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = \frac{1}{12} \cdot 120 ~ & \textcolor{red}{8 \frac{1}{3} \% = 1/12.} \\ x = \frac{120}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ x = 10 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 120/12 = 10.}} \end{aligned}\nonumber \]

Así,$8 \frac{1}{3} \%$ de 120 es 10.

Ejercicio

¿Qué número es$4 \frac{1}{6} \%$ de 1,200?

Responder: 50

Ejemplo 3

¿Qué número es$105 \frac{1}{4} \%$ de 18.2?

Solución

Que x represente el número desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{What number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{105 (1/4) %} & \text{ of } & 18.2 \\ x & = & 105 \frac{1}{4} \% & \cdot & 18.2 \end{array}\nonumber \]

En este caso, la fracción termina como 1/4=0.25, entonces

\[105 \frac{1}{4} \% = 105.25% = 1.0525.\nonumber \]

Ahora podemos resolver nuestra ecuación para x.

\[ \begin{aligned} x = 105 \frac{1}{4} \% \cdot 18.2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ x = 1.0525 \cdot 18.2 ~ & \textcolor{red}{5 \frac{1}{4} \% = 1.0525.} \\ x = 19.1555 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply.}} \end{aligned}\nonumber \]

Así,$105 \frac{1}{4} \%$ de 18.2 es 19.1555.

Ejercicio

¿Qué número es$105 \frac{3}{4} \%$ de 222?

Responder: 234.765

Encuentre un porcentaje dado dos números

Ahora abordaremos nuestro segundo ítem en la lista al inicio de la sección.

Ejemplo 4

¿15 es qué porcentaje de 50?

Solución

Que x represente el porcentaje desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c} \colorbox{cyan}{15} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{50} \\ 15 & = & x & \cdot & 50 \end{array}\nonumber \]

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite cambiar el orden de multiplicación en el lado derecho de esta ecuación.

\[15 = 50x.\nonumber \]

Ahora podemos resolver nuestra ecuación para x.

\[ \begin{aligned} 15 = 50x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{15}{50} = \frac{50x}{50} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 50.}} \\ \frac{15}{50} = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify right-hand side.}} \\ x = 0.30 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 15/50 = 0.30.}} \end{aligned}\nonumber \]

Pero debemos expresar nuestra respuesta como un porcentaje. Para ello, mueva los decimales dos lugares a la derecha y anexe un símbolo de porcentaje.

$Screen Shot 2019-09-23 en 2.55.59 PM.png$

Así, 15 es 30% de 50.

Conversión alternativa

En el tercer paso de la solución de la ecuación, tuvimos

\[x = \frac{15}{50}.\nonumber \]

Podemos convertir esto en una fracción equivalente con un denominador de 100.

\[x = \frac{15 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{30}{100}\nonumber \]

Así, 15/50 = 30/100 = 30%.

Ejercicio

¿14 es qué porcentaje de 25?

Responder: 56%

Ejemplo 5

¿10 es qué porcentaje de 80?

Solución

Que x represente el porcentaje desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{10} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{80} \\ 10 & = & x & \cdot & 80 \end{array}\nonumber \]

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite escribir el lado derecho como

\[10 = 80x.\nonumber \]

Ahora podemos resolver nuestra ecuación para x.

\[ \begin{aligned} 10 = 80x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{10}{80} = \frac{80x}{80} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 80.}} \\ \frac{1}{8} = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: } 10/80 = 1/8.} \\ 0.125 = x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 1/8 = 0.125.} \end{aligned}\nonumber \]

Pero debemos expresar nuestra respuesta como un porcentaje. Para ello, mueva los decimales dos lugares a la derecha y anexe un símbolo de porcentaje.

$Screen Shot 2019-09-23 a las 3.00.38 PM.png$

Así, 10 es 12.5% de 80.

Conversión alternativa

En el tercer paso de la solución de la ecuación, tuvimos

\[x = \frac{1}{8} .\nonumber \]

Podemos convertir esto a una fracción equivalente con un denominador de 100 estableciendo la proporción

\[\frac{1}{8} = \frac{n}{100}\nonumber \]

Cruzar multiplicar y resolver para n.

\[ \begin{aligned} 8n = 100 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cross multiply.}} \\ \frac{8n}{8} = \frac{100}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 8.}} \\ n = \frac{25}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 4.}} \\ n = 12 \frac{1}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 25/2 to mixed fraction.}} \end{aligned}\nonumber \]

Por lo tanto,

\[ \frac{1}{8} = \frac{12 \frac{1}{2}}{100} = 12 \frac{1}{2} \%.\nonumber \]

Misma respuesta.

Ejercicio

¿10 es qué porcentaje de 200?

Responder: 5%

Encontrar un número que sea un porcentaje dado de otro número

Abordemos el tercer ítem de la lista al inicio de la sección.

Ejemplo 6

¿10% de qué número es 12?

Solución

Que x represente el número desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{10%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{what number} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{12} \\ 10 \% & \cdot & x & = & 12 \end{array}\nonumber \]

Cambiar 10% a una fracción: 10% = 10/100 = 1/10.

\[ \frac{1}{10} x = 12\nonumber \]

Ahora podemos resolver nuestra ecuación para x.

\[ \begin{aligned} 10 \left( \frac{1}{10} x \right) = 10(12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides by 10.}} \\ x = 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]

Así, 10% de 120 es 12.

Solución alternativa

También podemos cambiar 10% a decimal: 10% = 0.10. Entonces nuestra ecuación se convierte en

\[0.10x = 12\nonumber \]

Ahora podemos dividir ambos lados de la ecuación por 0.10.

\[ \begin{aligned} \frac{0.10x}{0.10} = \frac{12}{0.10} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 0.10.}} \\ x = 120 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 12/0.10 = 120.}} \end{aligned}\nonumber \]

Misma respuesta.

Ejercicio

¿20% de qué número es 45?

Responder: 225

Ejemplo 7

$11 \frac{1}{9} \%$de que numero es 20?

Solución

Que x represente el número desconocido. Traducir las palabras en una ecuación.

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{11 (1/9) %} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{what number} & \text{ is } \colorbox{cyan}{20} \\ 11 \frac{1}{9} \% & \cdot & x & = & 20 \end{array}\nonumber \]

Cambiar$11 \frac{1}{9} \%$ a una fracción.

\[ \begin{aligned} 11 \frac{1}{9} \% ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent: Parts per hundred.}} \\ = \frac{ \frac{100}{9}}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper: } 11 \frac{1}{9} = 100/9.} \\ = \frac{100}{9} \cdot \frac{1}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{ \cancel{100}}{9} \cdot \frac{1}{ \cancel{100}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel.}} \\ = \frac{1}{9} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]

Reemplazar$11 \frac{1}{9} \%$ con 1/9 en la ecuación y resolver para x.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{9} x = 20 ~ & ~ \textcolor{red}{11 \frac{1}{9} \% = 1/9/} \\ 9 \left( \frac{1}{9} x \right) = 9(20) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides by 9.}} \\ x = 180 \end{aligned}\nonumber \]

Así,$11 \frac{1}{9} \%$ de 180 es 20.

Ejercicio

$12 \frac{2}{3} \%$de que numero es 760?

Responder: 6,000

Ejercicios

1. ¿Qué número es 22.4% de 125?

2. ¿Qué número es 159.2% de 125?

3. ¿60% de qué número es 90?

4. ¿25% de qué número es 40?

5. 200% de qué número es 132?

6. 200% de que numero es 208?

7. ¿162.5% de qué número es 195?

8. ¿187.5% de qué número es 90?

9. ¿126.4% de qué número es 158?

10. ¿132.5% de qué número es 159?

11. 27 es ¿qué porcentaje de 45?

12. 9 es ¿qué porcentaje de 50?

13. ¿37.5% de qué número es 57?

14. ¿162.5% de qué número es 286?

15. ¿Qué número es 85% de 100?

16. ¿Qué número es 10% de 70?

17. ¿Qué número es 200% de 15?

18. ¿Qué número es 50% de 84?

19. ¿50% de qué número es 58?

20. 132% de lo que número es 198?

21. 5.6 es ¿qué porcentaje de 40?

22. 7.7 es ¿qué porcentaje de 35?

23. ¿Qué número es 18.4% de 125?

24. ¿Qué número es 11.2% de 125?

25. 30.8 es ¿qué porcentaje de 40?

26. 6.3 es ¿qué porcentaje de 15?

27. 7.2 es ¿qué porcentaje de 16?

28. 55.8 es ¿qué porcentaje de 60?

29. ¿Qué número es 89.6% de 125?

30. ¿Qué número es 86.4% de 125?

31. 60 es ¿qué porcentaje de 80?

32. 16 es ¿qué porcentaje de 8?

33. ¿Qué número es 200% de 11?

34. ¿Qué número es 150% de 66?

35. 27 es ¿qué porcentaje de 18?

36. 9 es ¿qué porcentaje de 15?

37. $133 \frac{1}{3} \%$de que numero es 80?

38. $121 \frac{2}{3} \%$de que numero es 73?

39. ¿Qué número es$54 \frac{1}{3} \%$ de 6?

40. ¿Qué número es$82 \frac{2}{5} \%$ de 5?

41. ¿Qué número es$62 \frac{1}{2} \%$ de 32?

42. ¿Qué número es$118 \frac{3}{4} \%$ de 32?

43. $77 \frac{1}{7} \%$de que numero es 27?

44. $82 \frac{2}{3} \%$de que numero es 62?

45. ¿Qué número es$142 \frac{6}{7} \%$ de 77?

46. ¿Qué número es$116 \frac{2}{3} \%$ de 84?

47. $143 \frac{1}{2} \%$de que numero es 5.74?

48. $77 \frac{1}{2} \%$de que numero es 6.2?

49. $141 \frac{2}{3} \%$de que numero es 68?

50. $108 \frac{1}{3} \%$de que numero es 78?

51. ¿Qué número es$66 \frac{2}{3} \%$ del 96?

52. ¿Qué número es$79 \frac{1}{6} \%$ de 48?

53. $59 \frac{1}{2} \%$de que numero es 2.38?

54. $140 \frac{1}{5} \%$de que numero es 35.05?

55. $78 \frac{1}{2} \%$de que numero es 7.85?

56. $73 \frac{1}{2} \%$de que numero es 4.41?

57. ¿Qué número es$56 \frac{2}{3} \%$ de 51?

58. ¿Qué número es$64 \frac{1}{2} \%$ de 4?

59. ¿Qué número es$87 \frac{1}{2} \%$ de 70?

60. ¿Qué número es$146 \frac{1}{4} \%$ de 4?

61. Se informó que 80% del precio al por menor de la leche fue para envasado y distribución. El 20% restante se pagó al productor lechero. Si un galón de leche cuesta $3.80, ¿cuánto del precio minorista recibió el agricultor?

62. A $1.689 por galón de gas el costo se distribuye de la siguiente manera:

\[ \begin{aligned} \text{Crude oil supplies } & ~ $0.95 \\ \text{Oil Companies } & ~ $0.23 \\ \text{State and City taxes } & ~ $0.23 \\ \text{Federal tax } & ~ $0.19 \\ \text{Service Station } & ~ $0.10 \end{aligned}\nonumber \]

Los datos son de Money, marzo de 2009 p. 22, con base en promedios de Estados Unidos en diciembre de 2008. Contesta las siguientes preguntas redondeadas al porcentaje entero más cercano.

a) ¿Cuál es el% del costo que se paga por los suministros de petróleo crudo?

b) ¿Qué% del costo se paga a la estación de servicio?

RESPUESTAS

1. 28

3. 150

5. 66

7. 120

9. 125

11. 60

13. 152

15. 85

17. 30

19. 116

21. 14

23. 23

25. 77

27. 45

29. 112

31. 75

33. 22

35. 150

37. 60

39. 3.26

41. 20

43. 35

45. 110

47. 4

49. 48

51. 64

53. 4

55. 10

57. 28.9

59. 61.25

61. $0.76