7.4: Solicitantes Generales de Porcentaje
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En esta sección veremos una variedad de problemas prácticos que involucran por ciento.
Ejemplo 1
Myrna señala que el 20% de su clase está ausente. Si la clase tiene 45 alumnos, ¿cuántos estudiantes están ausentes?
Solución
Que n represente el número de alumnos que están ausentes. Entonces podemos traducir la declaración del problema en palabras y símbolos.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Number absent} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{20%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{total number of students in the class} \\ n & = & 20 \% & \cdot & 45 \end{array}\nonumber \]
Porque 20% = 0.20,
\[ \begin{aligned} n = 0.20 \cdot 45 ~ & \textcolor{red}{20% = 0.20} \\ n = 9 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 0.20 \cdot 45 = 9.} \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto, 9 estudiantes están ausentes.
Ejercicio
Aarón señala que el 15% de su clase está ausente. Si la clase tiene 80 alumnos, ¿cuántos estudiantes están ausentes?
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12
Ejemplo 2
Misty respondió correctamente el 90% de las preguntas de su examen de matemáticas. Si Misty tenía 27 respuestas correctas, ¿cuántas preguntas había en el examen?
Solución
Que N represente el número de preguntas del examen.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Number of correct answers} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{90%} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{total number of questions} \\ 27 & = & 90 \% & \cdot & N \end{array}\nonumber \]
Debido a que 90% = 0.90, esta última ecuación se puede escribir como
\[27 = 0.90N.\nonumber \]
Resolver para N.
\[ \begin{aligned} \frac{27}{0.90} = \frac{0.90N}{0.90} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 0.90.}} \\ 30 = N ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 27/0.90 = 30.}} \end{aligned}\nonumber \]
De ahí que hubo 30 preguntas sobre el examen.
Ejercicio
Erin respondió correctamente el 85% de las preguntas de su examen de inglés. Si tenía 34 respuestas correctas, ¿cuántas preguntas había en su examen?
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40
Ejemplo 3
Misty respondió correctamente 30 de 40 posibles preguntas sobre su examen de sociología. ¿Qué porcentaje del número total de preguntas marcó Misty correctamente?
Solución
Que p represente el porcentaje del número total de preguntas marcadas correctamente. Entonces podemos traducir la declaración del problema en palabras y símbolos.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Number of correct answers} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{total number of questions} \\ 30 & = & p & \cdot & 40 \end{array}\nonumber \]
Debido a que la multiplicación es conmutativa, podemos escribir la última ecuación en la forma
\[30 = 40p.\nonumber \]
Resolver para p.
\[ \begin{aligned} \frac{30}{40} = \frac{40p}{40} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 40.}} \\ \frac{3}{4} = p ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: 30/40 = 3/4.}} \end{aligned}\nonumber \]
Tenemos que cambiar p = 3/4 a un por ciento. Hay dos formas de hacer esto:
- Podemos dividir 3 por 4 para obtener
\[ \begin{aligned} p = \frac{3}{4} ~ \\ = 0.75 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: 3/4=0.75.}} \\ = 75 \% ~ & \textcolor{red}{ \text{ Move decimal point 2 places right.}} \end{aligned}\nonumber \]
- Podemos crear una fracción equivalente con un denominador de 100; es decir,
\[ \begin{aligned} p = \frac{3}{4} ~ \\ = \frac{3 \cdot \textcolor{red}{25}}{4 \cdot \textcolor{red}{25}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerator and denominator by 25.}} \\ = \frac{75}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerator and denominator.}} \\ = 75 \%. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Percent means parts per hundred.}} \end{aligned}\nonumber \]
De cualquier manera, Misty obtuvo el 75% de las preguntas de su examen de sociología correctas.
Ejercicio
Alphonso respondió correctamente 19 de 25 preguntas en su prueba de biología. ¿Qué porcentaje de las preguntas marcó correctamente?
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76%
Ejemplo 4
35 mililitros de una solución de 60 mililitros es ácido clorhídrico. ¿Qué porcentaje de la solución es ácido clorhídrico?
Solución
Dejar que p represente el porcentaje del porcentaje de la solución que es ácido clorhídrico. Entonces podemos traducir la declaración del problema en palabras y símbolos.
\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Amount of hydrochloric acid} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{what percent} & \text{ of } & \colorbox{cyan}{the tota amount of solution} \\ 35 & = & p & \cdot & 60 \end{array}\nonumber \]
Debido a que la multiplicación es conmutativa, podemos escribir el lado derecho de la última ecuación de la siguiente manera.
\[35 = 60p\nonumber \]
Ahora podemos resolver para p.
\[ \begin{aligned} \frac{35}{60} = \frac{60p}{60} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 60.}} \\ \frac{7}{12} = p ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 5.}} \end{aligned}\nonumber \]
Ahora debemos cambiar p a un por ciento. Podemos hacer esto exactamente creando una fracción equivalente con un denominador de 100.
\[ \frac{7}{12} = \frac{n}{100}\nonumber \]
Resolver para n.
\[ \begin{aligned} 12n = 700 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cross multiply.}} \\ \frac{12n}{12} = \frac{700}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 12.}} \\ n = \frac{175}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce: Divide numerator and denominator by 4.}} \\ n = 58 \frac{1}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change improper to mixed fraction.}} \end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto,
\[p = \frac{7}{12} = \frac{58 \frac{1}{3}}{100} = 58 \frac{1}{3} \%.\nonumber \]
Así,\(58 \frac{1}{3} \%\) de la solución es ácido clorhídrico.
Solución aproximada
Si todo lo que se necesita es una respuesta aproximada, digamos correcta a la décima más cercana de un porcentaje, entonces tomaríamos un enfoque diferente comenzando con la línea de arriba que tiene
\[\frac{35}{60} = p.\nonumber \]
Dividiríamos 35 por 60 para conseguir
\[p \approx 0.5833.\nonumber \]
Mueve los decimales dos lugares a la derecha y añade un símbolo de porcentaje.
Redondear a la décima más cercana de un porcentaje.
Debido a que el dígito de prueba es menor que 5, deje el dígito de redondeo solo y trunca. Así, corregir a la décima más cercana de un por ciento,
\[p \approx 58.3 \%.\nonumber \]
Tenga en cuenta que p ≈ 58.3% es aproximado, pero\(p = 58 \frac{1}{3} \%\) es exacto.
Ejercicio
25 mililitros de una solución de 40 mililitros es ácido sulfúrico. ¿Qué porcentaje de la solución es ácido sulfúrico?
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62.5%
Ejercicios
1. 31 mililitros de una solución de 250 mililitros es ácido sulfúrico. ¿Qué porcentaje de la solución es ácido sulfúrico? Redondee su respuesta al décimo de un porcentaje más cercano.
2. 34 mililitros de una solución de 211 mililitros es ácido fosfórico. ¿Qué porcentaje de la solución es ácido fosfórico? Redondee su respuesta al décimo de un porcentaje más cercano.
3. Una familia ha completado 186 millas de un viaje planificado de 346 millas. Encuentra el porcentaje del viaje planificado ya viajado. Redondee su respuesta al porcentaje más cercano.
4. Una familia ha completado 153 millas de un viaje planificado de 431 millas. Encuentra el porcentaje del viaje planificado ya viajado. Redondee su respuesta al porcentaje más cercano.
5. Erin toma rollo en su clase de quinto grado y descubre que 19 de un total de 34 estudiantes en su roster están presentes. Encuentra el porcentaje de la clase que está presente, correcto al porcentaje más cercano.
6. Barbara toma rollo en su clase de quinto grado y descubre que 15 de un total de 38 estudiantes en su roster están presentes. Encuentra el porcentaje de la clase que está presente, correcto al porcentaje más cercano.
7. Raven respondió correctamente a 135 de 150 posibles preguntas sobre el examen de meteorología. ¿Qué porcentaje del número total de preguntas marcó correctamente Raven?
8. Liz respondió correctamente a 30 de 50 posibles preguntas sobre el examen de álgebra. ¿Qué porcentaje del número total de preguntas marcó Liz correctamente?
9. Una familia ha recorrido 114 millas de un viaje planificado. Esto es 37% de la distancia total que deben recorrer en el viaje. Encuentra, correcta a la milla más cercana, la distancia total que recorrerán en su viaje.
10. Una familia ha recorrido 102 millas de un viaje planificado. Esto es 23% de la distancia total que deben recorrer en el viaje. Encuentra, correcta a la milla más cercana, la distancia total que recorrerán en su viaje.
11. Trudy toma rollo en su clase en la universidad y encuentra que 65 estudiantes están presentes. Si esto es 50% de la matrícula total a clase, ¿cuántos alumnos hay en la clase?
12. Sandra toma rollo en su clase en la universidad y encuentra que 104 estudiantes están presentes. Si esto es 80% de la matrícula total a clase, ¿cuántos alumnos hay en la clase?
13. Bill gana una comisión por todas las ventas que realiza. Vende una cama por 591 dólares y gana una comisión de 43 dólares. Encuentra la comisión por ciento, redondeada a la décima de un porcentaje más cercana.
14. Ira gana una comisión por todas las ventas que realiza. Vende un sofá por 408 dólares y gana una comisión de 39 dólares. Encuentra la comisión por ciento, redondeada a la décima de un porcentaje más cercana.
15. Tami respondió correctamente el 70% de las preguntas del examen de física. Si Tami tenía 98 respuestas correctas, ¿cuántas preguntas había en el examen?
16. Trinity respondió correctamente al 90% de las preguntas del examen de química. Si Trinity tenía 99 respuestas correctas, ¿cuántas preguntas había en el examen?
17. Un estado cobra 8% de impuesto sobre las ventas en todas las ventas. Si el impuesto a las ventas en una computadora es de $20, encuentre el precio de venta de la computadora, correcto al dólar más cercano.
18. Un estado cobra 6.5% de impuesto sobre las ventas en todas las ventas. Si el impuesto sobre las ventas en una cama es de 33 dólares, encuentra el precio de venta de la cama, correcto al dólar más cercano.
19. Kenon gana 6% de comisión todas sus ventas. Si la venta de una computadora le gana una comisión de $37, encuentre el precio de venta de la computadora, correcto al dólar más cercano.
20. Donald gana 4.5% de comisión todas sus ventas. Si la venta de una secadora le gana una comisión de 24 dólares, encuentra el precio de venta de la secadora, correcto al dólar más cercano.
21. Una solución de ácido nítrico al 23% contiene 59 mililitros de ácido nítrico. ¿Cuántos mililitros totales de solución están presentes? Redondee su respuesta al mililitro más cercano.
22. Una solución de ácido sulfúrico al 27% contiene 67 mililitros de ácido sulfúrico. ¿Cuántos mililitros totales de solución están presentes? Redondee su respuesta al mililitro más cercano.
23. En un estado, a una televisión que se vende por 428 dólares se le cobra un impuesto a las ventas de 45 dólares. Encuentre la tasa del impuesto sobre las ventas, redondeada a la décima de porcentaje más cercana.
24. En un estado, a un refrigerador que se vende por 503 dólares se le cobra un impuesto a las ventas de 44 dólares. Encuentre la tasa del impuesto sobre las ventas, redondeada a la décima de porcentaje más cercana.
25. Gravedad de Marte. La fuerza de gravedad en Marte es solo 38% de la fuerza de gravedad en la tierra. Si pesas 150 libras en la tierra, ¿cuánto pesarás en Marte?
26. Las escuchas telefónicas. En 2008, hubo un total de 1,891 solicitudes a jueces federales y estatales para autorizar la interceptación de comunicaciones cableadas, orales o electrónicas. Si 94% de todas las aplicaciones de escucha telefónica fueran para un dispositivo portátil como un celular o buscapersonas, ¿cuántas aplicaciones se hicieron para tocar dispositivos móviles? Redondeo a la aplicación más cercana. Horarios de Prensa Asociados Estándar 4/28/09
27. Adultos mayores. El 13% de la población del condado de Humboldt tiene 65 años o más, alrededor de 2% más que el promedio del estado. Si la población del condado de Humboldt es de aproximadamente 130 mil, ¿cuántas personas en el condado de Humboldt tienen 65 años o más? Times-Standard 6/10/2009
28. Antibióticos. “Estados Unidos usó alrededor de 35 millones de libras de antibióticos el año pasado. El 70 por ciento de los medicamentos fueron a cerdos, pollos y vacas”. ¿Cuántos millones de libras de antibióticos fueron a los cerdos, pollos y vacas? Associated Press-Times-Standard 12/29/09 Se eleva la presión para detener los antibióticos en la agricultura.
29. Crece más rápido. “Aproximadamente 28 millones de libras de antibióticos fueron alimentados a animales de granja en Estados Unidos durante 2008. El trece por ciento de eso fue alimentado a animales sanos para hacerlos crecer más rápido”. ¿Cuántas libras de antibióticos se alimentaron a animales sanos? Associated Press-Times-Standard 12/29/09 Se eleva la presión para detener los antibióticos en la agricultura.
30. Emisiones de CO2. El acuerdo acordado por Estados Unidos en las conversaciones sobre el clima de Copenhague tuvo las emisiones de gases de efecto invernadero mantenidas al 3.5% de los niveles de 1990. Si los niveles de 1990 fueran 5022 MMT (millones de toneladas métricas), ¿a cuántos millones de toneladas métricas podrían retenerse las emisiones de efecto invernadero? Redondear el resultado al MMT más cercano. Associated Press-Times-Standard 12/19/09 Elementos del nuevo acuerdo de Copenhague.
31. Abastecimiento de agua Una nueva planta desalinizadora de agua, la más grande del hemisferio occidental, podría estar en línea para 2012 en Carlsbad, California, proporcionando 50 millones de galones de agua potable por día, o el 10% del suministro para el condado de San Diego. ¿Cuál es la cantidad total de agua potable que se suministra diariamente al condado de San Diego? Associated Prensa-Times-Estándar
32. Daños sísmicos. Después del reciente sismo en Chile, se estima que se perdieron 33 millones de galones de vino chileno, o 13% de la producción anual. Estimar la producción anual total de vino chileno redondeada a los millones de galones más cercanos. Associated Press-Times Standard 03/24/10 Hemorragia cabernet: Terremoto golpea a enólogos en Chile.
33. Snowpack. En una pradera cerca de Echo Summit en el norte de Sierra Nevada, los funcionarios del agua midieron la nieve a 65.7 pulgadas. El contenido de agua fue de 25.9 pulgadas, lo que representa 92% del promedio para esta época del año. Determinar el contenido promedio de agua para esta época del año redondeado a la décima de pulgada más cercana. Associated Press-Times Standard 04/02/10 La nieve Sierra de California está ligeramente por encima de lo normal.
34. Escaballerías. Según el Times-Standard, a abril de 2008 el Bayshore Mall tenía 55 escaparates ocupados y 17 escaparates vacantes. ¿Qué porcentaje del total de escaparates están vacantes? Redondee su respuesta al número entero más cercano. Times-Standard 4/19/09
35. Recuperado. En el condado de Humboldt, California, 427 de los 499 vehículos robados entre agosto de 2008 y agosto de 2009 fueron recuperados. ¿Qué porcentaje de los vehículos robados se recuperaron? Redondee su resultado a la décima de porcentaje más cercana. Times-Standard CHP ofrece consejos para evitar el robo de vehículos.
36. Admisiones de primer año. La Universidad de Stanford envió cartas de aceptación a 2, 300 de 32, 022 aspirantes de primer año. ¿Qué porcentaje de los aspirantes de primer año obtuvieron cartas de aceptación, redondeadas al porcentaje más cercano? Associated Prensa-Times-Standard 03/30/10 Stanford U. reporta tasa récord de admisión baja.
37. Reducir. Cada año, los estadounidenses tiran un promedio de alrededor de 1.600 libras de desechos por persona. Michael Winkler, residente de Arcata, CA, solo usa una bolsa de basura cada año, con un total de 40 libras como máximo. Encuentre el porcentaje de desperdicio promedio anual por persona que el señor Winkler arroja a una décima de por ciento. Times-Standard Allison Blanco 12/26/09 Residuos no...
38. Disminución poblacional. En la siguiente tabla se muestra la población de Detroit, Michigan. Associated Press-Times-Standard 03/09/10 Detroit quiere salvarse al encogerse.
\[ \begin{array}{c c} \text{ Year } & \text{ Population } \\ 1950 & 1,849,568 \\ 1990 & 1,027,974 \\ 2005 & 890,963 \end{array}\nonumber \]
¿Cuál es la población de Detroit en 2005 como porcentaje de la población en 1950? Redondee su resultado al porcentaje más cercano.
RESPUESTAS
1. 12.4
3. 54
5. 56
7. 90
9. 308 mi
11. 130 alumnos
13. 7.3
15. 140
17. $250
19. 617$
21. 257 ml
23. 10.5
25. 57 libras
27. 16,900
29. 3.84 millones de libras
31. 500 millones de galones
33. El contenido promedio de agua es de 28.2 pulgadas.
35. El 85.6% de los vehículos robados fueron recuperados.
37. El señor Winkler arroja 2.5% del desperdicio promedio del estadounidense.