Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

8.3: Graficar ecuaciones lineales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Consideray=x+1 una ecuación en dos variables. Si sustituimos el par ordenado(x,y)=(1,2) en la ecuacióny=x+1, es decir, si reemplazamos x por 1 e y con 2, obtenemos una declaración verdadera.

y=x+1  Original equation.2=1+1  Substitute: 1 for x and 2 for y.2=2  Simplify.

Decimos que el par ordenado (1, 2) es una solución de la ecuacióny=x+1.

Solución de una ecuación en dos variables

Si sustituir el par ordenado (x, y) =( a, b) en una ecuación (reemplazar x por a e y con b) produce una declaración verdadera, entonces el par ordenado (a, b) se llama solución de la ecuación y se dice que “satisface el ecuación.”

Ejemplo 1

¿Cuáles de los pares ordenados son soluciones de la ecuacióny=2x+5: (a) (−3, −2) o (b) (5, 15)?

Solución

Sustituir los puntos en la ecuación para determinar cuáles son las soluciones.

a) Para determinar si (−3, −2) es una solución dey=2x+5, sustituya −3 por x y −2 por y en la ecuacióny=2x+5.

y=2x+5  Original equation.2=2(3)+5  Substitute: −3 for x and 2 for y.2=6+5  Multiply first: 2(3)=62=1  Add: 6+5=1.

Debido a que la declaración resultante es falsa, el par ordenado (−3, −2) no satisface la ecuación. El par ordenado (−3, −2) no es una solución dey=2x+5.

a) Determinar si (5, 15) es una solución dey=2x+5, sustituir 5 por x y 15 por y en la ecuacióny=2x+5.

y=2x+5  Original equation.15=2(5)+5  Substitute: 5 for x and 15 for y.15=10+5  Multiply first: 2(5)=1015=15  Add: 10+5=15.

La afirmación resultante es verdadera. El par ordenado (5, 15) sí satisface la ecuación. De ahí, (5, 15) es una solución dey=2x+5.

Ejercicio

¿Cuáles de los pares ordenados (1, 7) y (2, 9) son solución de la ecuacióny=3x+4?

Contestar

(1, 7)

La Gráfica de una Ecuación

Volvemos nuestra atención a la gráfica de una ecuación.

La Gráfica de una Ecuación

La gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los pares ordenados que son soluciones de la ecuación.

En la ecuacióny=2x+5, la variable y depende del valor de la variable x. Por esta razón, llamamos y la variable dependiente y x la variable independiente. Somos libres de tomar decisiones para x, pero el valor de y dependerá de nuestra elección para x.

También asignaremos el eje horizontal a la variable independiente x y el eje vertical a la variable dependiente y (ver Figura 8.7).

La gráfica dey=2x+5 consiste en todos los pares ordenados que son soluciones de la ecuacióny=2x+5. Entonces, nuestra primera tarea es encontrar pares ordenados que sean soluciones dey=2x+5. Esto se logra fácilmente seleccionando un número arbitrario de valores, sustituyéndolos por x en la ecuacióny=2x+5, luego calculando los valores resultantes de y. Con este pensamiento en mente, elegimos enteros arbitrarios −7, −6,.., 2, los sustituimos por x en la ecuacióny=2x+5, calcular el valor resultante de y, y almacenar los resultados en una tabla.

y=2x+5xy(x, y)y=2(7)+5=979(7,9)y=2(6)+5=767(6,7)y=2(5)+5=555(5,5)y=2(4)+5=343(4,3)y=2(3)+5=131(3,1)y=2(2)+5=121(2,1)y=2(1)+5=313(1,3)y=2(0)+5=505(0,5)y=2(1)+5=717(1,7)y=2(2)+5=929(2,9)

El resultado son 10 pares ordenados que satisfacen la ecuacióny=2x+5. Por lo tanto, tenemos 10 pares ordenados que pertenecen a la gráfica dey=2x+5. Se trazan en la Figura 8.7 (a).

Sin embargo, no hemos terminado, porque la gráfica de la ecuacióny=2x+5 es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación y sólo hemos trazado 10 de esos puntos. Vamos a trazar algunos puntos más. Seleccione algunos valores x más, calcule el valor y correspondiente y registre los resultados en una tabla.

y=2x+5xy(x,y)y=2(7.5)+5=107.510(7.5,10)y=2(6.5)+5=86.58(6.5,8)y=2(5.5)+5=65.56(5.5,6)y=2(4.5)+5=44.54(4.5,4)y=2(3.5)+5=23.52(3.5,2)y=2(2.5)+5=02.50(2.5,0)y=2(1.5)+5=21.52(1.5,2)y=2(0.5)+5=40.54(0.5,4)y=2(0.5)+5=60.56(0.5,6)y=2(1.5)+5=81.58(1.5,8)y=2(2.5)+5=102.510(2.5,10)

Eso son 11 puntos adicionales que agregamos a la gráfica de la Figura 8.7 (b).

Screen Shot 2019-09-29 en 1.28.50 PM.png
Figura 8.7: Trazando puntos que satisfacen la ecuacióny=2x+5.

Tenga en cuenta que podemos continuar indefinidamente de esta manera, sumando puntos a la tabla y trazándolos. No obstante, tarde o temprano, tenemos que dar un salto de fe, e imaginar cómo será la gráfica final cuando se trazen todos los puntos que satisfacen la ecuación y = 2x+ 5. Lo hacemos en la Figura 8.8, donde la gráfica final toma la apariencia de una línea.

Uso de regla

Todas las líneas deben ser dibujadas con una regla. Esto incluye los ejes x e y.

Observación Importante. Cuando usamos una regla para dibujar una línea a través de los puntos trazados en la Figura 8.7 (b), llegando al resultado final en la Figura 8.8, debemos entender que esta es una técnica de atajo para trazar todos los pares ordenados restantes que satisfacen la ecuación. Realmente no estamos dibujando una línea a través de los puntos trazados. Más bien, estamos sombreando todos los pares ordenados que satisfacen la ecuacióny=2x+5.

Screen Shot 2019-09-29 en 1.32.40 PM.png
Figura 8.8: La gráfica de la ecuacióny=2x+5.

El Resultado. El gráfico de la ecuacióny=2x+5, representado en la Figura 8.8, es una línea. En realidad, la gráfica es una colección infinita de puntos que satisfacen la ecuacióny=2x+5 que toma la forma de una línea, pero está bien decir que la gráfica dey=2x+5 es una línea.

Pares Ordenados y la Gráfica

Debido a que la gráfica de una ecuación es la colección de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación, tenemos dos resultados importantes:

  1. Si un par ordenado satisface una ecuación, entonces el punto en el plano cartesiano representado por el par ordenado está en la gráfica de la ecuación.
  2. Si un punto está en la gráfica de una ecuación, entonces la representación de par ordenado de ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo 2

Encuentra el valor de k para que el punto (2, k) esté en la gráfica de la ecuacióny=3x2.

Solución

Si el punto (2, k) está en la gráfica dey=3x2, entonces debe satisfacer la ecuacióny=3x2.

y=3x2  Original equation.k=3(2)2  The point (2, k) is on the graph. Substitute 2 for x and k for y in y=3x2.k=62  Multiply: 3(2)=6.k=4  Subtract: 62=4.

Así, k = 4.

Ejercicio

Encuentra el valor de k para que el punto (k, −3) esté en la gráfica de la ecuacióny=4x+2.

Contestar

k = −5/4

Ecuaciones Lineales

Vamos a trazar la gráfica de otra ecuación.

Ejemplo 3

Esbozar la gráfica dey=2x+1.

Solución

Seleccionar valores arbitrarios de x: −4, −3,.., 5. Sustituya estos valores en la ecuacióny=2x+1, calcule el valor resultante de y, luego, organice sus resultados en una tabla.

y=2x+1xy(x,y)y=2(4)+1=949(4,9)y=2(3)+1=737(3,7)y=2(2)+1=525(2,5)y=2(1)+1=313(1,3)y=2(0)+1=101(0,1)y=2(1)+1=111(1,1)y=2(2)+1=323(2,3)y=2(3)+1=535(3,5)y=2(4)+1=747(4,7)y=2(5)+1=959(5,9)

Hemos trazado los puntos en la tabla en la Figura 8.9 (a). Hay suficiente evidencia en la Figura 8.9 (a) para imaginar que si trazamos todos los puntos que satisfacían la ecuacióny=2x+1, el resultado sería la línea que se muestra en la Figura 8.9 (b).

Screen Shot 2019-09-29 en 1.47.44 PM.png
Figura 8.9: La gráfica de la ecuacióny=2x+1 es una línea.

Ejercicio

Esbozar la gráfica dey=2x2.

Contestar

Screen Shot 2019-09-29 en 1.47.57 PM.png

La gráfica dey=2x+5 la Figura 8.8 es una línea. La gráfica dey=2x+1 la Figura 8.9 (b) es también una línea. Esto llevaría a sospechar que la gráfica de la ecuacióny=mx+b, donde m y b son constantes, siempre será una línea. En efecto, este es siempre el caso.

Ecuaciones Lineales

La gráfica dey=mx+b, donde m y b son constantes, siempre será una línea. Por esta razón, la ecuacióny=mx+b se denomina ecuación lineal.

Ejemplo 4

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación lineal? 1. y=3x+4, 2. y=23x+3, y 3. y=2x2+4.

Solución

Comparar cada ecuación con la forma general de una ecuación lineal,y=mx+b.

  1. Tenga en cuenta quey=3x+4 tiene la formay=mx+b, donde m = −3 y b = 4. De ahí,y=3x+4 es una ecuación lineal. Su gráfica es una línea.
  2. Tenga en cuenta quey=23x+3 tiene la formay=mx+b, donde m = 2/3 y b = 3. De ahí,y=23x+3 es una ecuación lineal. Su gráfica es una línea.
  3. La ecuacióny=2x2+4 no tiene la formay=mx+b. El exponente de 2 sobre la x evita que esta ecuación sea lineal. Esta es una ecuación no lineal. Su gráfica no es una línea.

Ejercicio

¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación lineal? a)y=2x3+5 b)y=3x5

Contestar

y=3x5

El hecho de quey=mx+b sea una ecuación lineal nos permite esbozar rápidamente su gráfica.

Ejemplo 5

Esbozar la gráfica dey=32x+4.

Solución

La ecuacióny=32x+4 tiene la formay=mx+b. Por lo tanto, la ecuación es lineal y la gráfica será una línea. Debido a que dos puntos determinan una línea, solo necesitamos encontrar dos puntos que satisfagan la ecuacióny=32x+4, trazarlos, luego dibujar una línea a través de ellos con una regla. Elegimos x = −2 y x = 2, calculamos y y registramos los resultados en una tabla.

y=32x+4xy(x,y)y=32(2)+4=3+4=727(2,7)y=32(2)+4=3+4=121(2,1)

Traza los puntos (−2, 7) y (2, 1) y dibuja una línea a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 8.10.

Screen Shot 2019-09-29 en 2.08.20 PM.png
Figura 8.10: La gráfica dey=32x+4 es una línea.

Ejercicio

Esbozar la gráfica dey=12x+2.

Contestar

Screen Shot 2019-09-29 a las 2.08.30 PM.png

Es posible que haya notado en el Ejemplo 5 que son opciones de −2 y 2 para x aligeraron el cálculo de los valores y correspondientes debido a la cancelación resultante.

Elección de Valores Estratégicos

Al trazar una ecuación lineal, es una buena estrategia elegir valores de x que simplifiquen el cálculo de los valores y correspondientes.

Ejemplo 6

Dibuja la gráfica de y =\ frac {1} {3} x + 3.

Solución

La ecuacióny=13x+3 tiene la formay=mx+b. Por lo tanto, la ecuación es lineal y la gráfica será una línea. Debido a que dos puntos determinan una línea, solo necesitamos encontrar dos puntos que satisfagan la ecuación y = 1 3x + 3, trazarlos, luego dibujar una línea a través de ellos con una regla. Elegimos x = −6 y x = 6, calculamos y y registramos los resultados en una tabla.

y=13x+3xy(x,y)y=13(6)+3=2+3=161(6,1)y=13(6)+3=2+3=565(6,5)

Traza los puntos (−6, 1) y (6, 5) y dibuja una línea a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 8.11.

Screen Shot 2019-09-29 en 2.07.03 PM.png
Figura 8.11: La gráfica dey=13x+3 es una línea.

Ejercicio

Esbozar la gráfica dey=23x+1.

Contestar

Screen Shot 2019-09-29 en 2.02.40 PM.png

Ejercicios

1. ¿Cuál de los puntos (2, −14), (−1, −6), (−8, 11) y (3, −13) es una solución de la ecuacióny=2x8?

2. ¿Cuál de los puntos (1, −2), (8, 23), (−3, −23) y (8, 24) es una solución de la ecuacióny=4x9?

3. ¿Cuál de los puntos (1, −1), (−2, 20), (−4, 31) y (−9, 64) es una solución de la ecuacióny=6x+7?

4. ¿Cuál de los puntos (−8, −61), (4, 42), (−3, −18) y (−6, −46) es una solución de la ecuacióny=9x+8?

5. ¿Cuál de los puntos (2, 15), (−8, −74), (2, 18) y (5, 40) es una solución de la ecuacióny=9x3?

6. ¿Cuál de los puntos (−9, −52), (−8, −44), (−7, −37) y (8, 35) es una solución de la ecuacióny=5x5?

7. ¿Cuál de los puntos (−2, 12), (−1, 12), (3, −10) y (−2, 14) es una solución de la ecuacióny=5x+4?

8. ¿Cuál de los puntos (6, 25), (−8, −14), (8, 33) y (−7, −9) es una solución de la ecuacióny=3x+9?


9. Determinar k para que el punto (9, k) sea una solución dey=6x+1.

10. Determinar k para que el punto (−9, k) sea una solución dey=2x+3.

11. Determinar k para que el punto (k, 7) sea una solución dey=4x+1.

12. Determinar k para que el punto (k, −4) sea una solución dey=8x+3.

13. Determinar k para que el punto (k, 1) sea una solución dey=4x+8.

14. Determinar k para que el punto (k, −7) sea una solución dey=7x+5.

15. Determinar k para que el punto (−1, k) sea una solución dey=5x+3.

16. Determinar k para que el punto (−3, k) sea una solución dey=3x+3.


En los Ejercicios 17-24, ¿cuál de las ecuaciones dadas es una ecuación lineal?

17. y=6x2+4, y=x2+6x+4, y=6x+4, y=6x+4

18. y=2x+1, y=x22x+1, y=2x+1, y=2x2+1

19. y=x+7, y=x+7, y=x2+7, y=x2+x+7

20. y=x2+5x+1, y=5x2+1, y=5x+1, y=5x+1

21. y=x22x2, y=2x22, y=2x2, y=2x2

22. y=x2+5x8, y=5x28, y=5x8, y=5x8

23. y=x2+7x3, y=7x23, y=7x3, y=7x3

24. y=4x3, y=x24x3, y=4x3, y=4x23


En los Ejercicios 25-28, ¿cuál de las ecuaciones dadas tiene la gráfica dada?

25. y=32x+2, y=32x3, y=3x+1, y=2x+1

Screen Shot 2019-09-29 a las 2.30.05 PM.png

26. y=3x2, y=32x+1, y=2x1, y=52x+2

Screen Shot 2019-09-29 en 2.30.21 PM.png

27. y=52x2, y=3x+3, y=32x+1, y=12x+1

Screen Shot 2019-09-29 en 2.30.34 PM.png

28. y=3x+1, y=52x1, y=52x3, y=32x2

Screen Shot 2019-09-29 en 2.30.44 PM.png


29. y=3x2

30. y=52x+1

31. y=2x1

32. y=52x+2

33. y=2x+2

34. y=52x2

35. y=2x2

36. y=52x+1

37. y=2x2

38. y=52x1

39. y=32x+1

40. y=2x+2

41. y=2x3

42. y=52x1

43. y=32x+3

44. y=3x+1


45. Dibuja las líneasy=12x1 yy=52x2 en papel cuadriculado. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea se eleva más rápido?

46. Dibuja las líneasy=52x+1 yy=3x+1 en papel cuadriculado. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea se eleva más rápido?

47. Dibuje la líneay=12x+1 yy=3x+3. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea cae más rápido?

48. Dibuje la líneay=3x1 yy=52x2. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea cae más rápido?

49. Dibuje la líneay=3x1 yy=12x2. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea cae más rápido?

50. Dibuje la líneay=3x1 yy=12x+1. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea cae más rápido?

51. Dibuja las líneasy=32x2 yy=3x+1 en papel cuadriculado. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea se eleva más rápido?

52. Dibuja las líneasy=12x+3 yy=52x+1 en papel cuadriculado. Al barrer los ojos de izquierda a derecha, ¿qué línea se eleva más rápido?


RESPUESTAS

1. (−1, −6)

3. (−4, 31)

5. (2, 15)

7. (−2, 14)

9. k = −53

11. k =32

13. k =74

15. k = 8

17. y=6x+4

19. y=x+7

21. y=2x2

23. y=7x3

25. y=3x+1

27. y=32x+1

29. y=3x2

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.07 PM.png

31. y=2x1

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.12 PM.png

33. y=2x+2

Screen Shot 2019-09-29 a las 2.37.18 PM.png

35. y=2x2

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.27 PM.png

37. y=2x2

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.33 PM.png

39. y=32+1

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.40 PM.png

41. y=2x3

Screen Shot 2019-09-29 en 2.37.54 PM.png

43. y=32x+3

Screen Shot 2019-09-29 en 2.38.06 PM.png

45. La gráfica dey=52x2 sube más rápidamente.

47. El gráfico dey=3x+3 caídas más rápido.

49. El gráfico dey=3x1 caídas más rápido.

51. La gráfica dey=3x+1 sube más rápidamente.


This page titled 8.3: Graficar ecuaciones lineales is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by David Arnold.

Support Center

How can we help?