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8.3: Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

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    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver ecuaciones usando las Propiedades de División y Multiplicación de Igualdad
    • Resolver ecuaciones que necesitan simplificarse
    ¡prepárate!

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Simplificar: −7\(\left(\dfrac{1}{−7}\right)\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.3.10.
    2. ¿De qué es el recíproco\(− \dfrac{3}{8}\)? Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.4.11.
    3. Evalúa 9x + 2 cuando x = −3. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.8.10.

    Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

    Presentamos las propiedades de multiplicación y división de la igualdad en Resolver ecuaciones usando números enteros; La propiedad de división de la igualdad y Resolver ecuaciones con fracciones. Modelamos cómo funcionaban estas propiedades usando envolventes y contadores y luego las aplicamos a la resolución de ecuaciones (Ver Resolver ecuaciones usando enteros; La propiedad de división de la igualdad). Los volvemos a repetir aquí mientras nos preparamos para volver a usar estas propiedades.

    Definición: División y Multiplicación Propiedades de Igualdad

    División Propiedad de Igualdad: Para todos los números reales a, b, c y c ≠ 0, si a = b, entonces\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\).

    Multiplicación Propiedad de Igualdad: Para todos los números reales a, b, c, si a = b, entonces ac = bc.

    Cuando divides o multiplicas ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, todavía tienes igualdad.

    Revisemos cómo se pueden aplicar estas propiedades de igualdad para resolver ecuaciones. Recuerde, el objetivo es 'deshacer' la operación sobre la variable. En el siguiente ejemplo la variable se multiplica por 4, por lo que dividiremos ambos lados por 4 para 'deshacer' la multiplicación.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    Resolver: 4x = −28.

    Solución

    Utilizamos la División Propiedad de Igualdad para dividir ambas partes por 4.

    Divide ambos lados por 4 para deshacer la multiplicación. $$\ dfrac {4x} {\ textcolor {rojo} {4}} =\ dfrac {-28} {\ textcolor {rojo} {4}} $$
    Simplificar. $$x = -7$$
    Comprueba tu respuesta. Dejar x = −7. $$\ begin {split} 4x &= -28\\ 4 (\ textcolor {rojo} {-7}) &\ stackrel {?} {=} -28\\ -28 &= -28\;\ marca de verificación\ end {split} $$

    Dado que esta es una declaración verdadera, x = −7 es una solución a 4x = −28.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\):

    Resolver: 3y = −48.

    Responder

    y = -16

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\):

    Resolver: 4z = −52.

    Responder

    z = -13

    En el ejemplo anterior, para 'deshacer' la multiplicación, dividimos. ¿Cómo crees que 'deshacemos' la división?

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

    Resolver:\(\dfrac{a}{−7}\) = −42.

    Solución

    Aquí a se divide por −7. Podemos multiplicar ambos lados por −7 para aislar a.

    Multiplica ambos lados por −7. $$\ textcolor {rojo} {-7}\ izquierda (\ dfrac {a} {-7}\ derecha) =\ textcolor {rojo} {7} (-42) $$
    Simplificar. $$a = 294$$
    Comprueba tu respuesta. Dejar a = 294. $$\ begin {split}\ dfrac {a} {-7} &= -42\\\ dfrac {\ textcolor {rojo} {294}} {-7} &\ stackrel {?} {=} -42\\ -42 &= -42\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\):

    Resolver:\(\dfrac{b}{−6}\) = −24.

    Responder

    b = 144

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\):

    Resolver:\(\dfrac{c}{−8}\) = −16.

    Responder

    c = 128

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

    Resolver: −r = 2.

    Solución

    Recuerde que −r es equivalente a −1r.

    Reescribe −r como −1r. $$-1r = 2$$
    Divide ambos lados por −1. $$\ dfrac {-1r} {\ textcolor {rojo} {-1}} =\ dfrac {2} {\ textcolor {rojo} {-1}} $$

    Cheque.

    Sustituto r = −2. $$-r = 2$$
    Simplificar. $$\ begin {split} - (\ textcolor {rojo} {-2}) &\ stackrel {?} {=} 2\\ 2 &= 2\;\ marca de verificación\ end {split} $$

    En Resolver ecuaciones con fracciones, vimos que hay otras dos formas de resolver −r = 2.

    1. Podríamos multiplicar ambos lados por −1.
    2. Podríamos tomar lo contrario de ambos lados.
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\):

    Resolver: −k = 8.

    Responder

    k = -8

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\):

    Resolver: −g = 3.

    Responder

    g = -3

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

    Resolver:\(\dfrac{2}{3}\) x = 18.

    Solución

    Dado que el producto de un número y su recíproco es 1, nuestra estrategia será aislar x multiplicando por el recíproco de\(\dfrac{2}{3}\).

    Multiplicar por el recíproco de\(\dfrac{2}{3}\). $$\ textcolor {rojo} {\ dfrac {3} {2}}\ cdot\ dfrac {2} {3} x =\ textcolor {rojo} {\ dfrac {3} {2}}\ cdot 18$$
    Los recíprocos se multiplican a uno. $$1x =\ dfrac {3} {2}\ cdot\ dfrac {18} {1} $$
    Multiplicar. $$x = 27$$
    Comprueba tu respuesta. Dejar x = 27. $$\ begin {split}\ dfrac {2} {3} x &= 18\\\ dfrac {2} {3}\ cdot\ textcolor {rojo} {27} &\ stackrel {?} {=} 18\\ 18 &= 18\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$

    Observe que podríamos haber dividido ambos lados de la ecuación\(\dfrac{2}{3}\) x = 18 por\(\dfrac{2}{3}\) para aislar x Si bien esto funcionaría, multiplicar por el recíproco requiere menos pasos.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\):

    Resolver:\(\dfrac{2}{5}\) n = 14.

    Responder

    n = 35

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\):

    Resolver:\(\dfrac{5}{6}\) y = 15.

    Responder

    y = 18

    Resolver ecuaciones que necesitan simplificarse

    Muchas ecuaciones empiezan más complicadas que las que acabamos de resolver. Primero, necesitamos simplificar ambos lados de la ecuación tanto como sea posible.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

    Resolver: 8x + 9x − 5x = −3 + 15.

    Solución

    Comienza combinando términos similares para simplificar cada lado.

    Combina términos similares. $$12x = 12$$
    Divide ambos lados por 12 para aislar x. $$\ dfrac {12x} {\ textcolor {rojo} {12}} =\ dfrac {12} {\ textcolor {rojo} {12}} $$
    Simplificar. $$x = 1$$
    Comprueba tu respuesta. Dejar x = 1. $$\ begin {split} 8x + 9x - 5x &= -3 + 15\\ 8\ cdot\ textcolor {rojo} {1} + 9\ cdot\ textcolor {rojo} {1} - 5\ cdot\ textcolor {rojo} {1} &\ stackrel {?} {=} -3 + 15\\ 12 &= 12\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{9}\):

    Resolver: 7x + 6x − 4x = −8 + 26.

    Responder

    x = 2

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\):

    Resolver: 11n − 3n − 6n = 7 − 17.

    Responder

    n = -5

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

    Resolver: 11 − 20 = 17y − 8y − 6y.

    Solución

    Simplifica cada lado combinando términos similares.

    Simplifica cada lado. $$-9 = 3y$$
    Divide ambos lados por 3 para aislar y. $$\ dfrac {-9} {\ textcolor {rojo} {3}} =\ dfrac {3y} {\ textcolor {rojo} {3}} $$
    Simplificar. $$-3 = y$$
    Comprueba tu respuesta. Dejar y = −3. $$\ begin {split} 11 - 20 &= 17 años - 8 años - 6 años\\ 11 - 20 &\ stackrel {?} {=} 17 (\ textcolor {rojo} {-3}) -8 (\ textcolor {rojo} {-3}) -6 (\ textcolor {rojo} {-3})\\ 11 - 20 &\ stackrel {?} {=} -51 + 24 + 18\\ -9 &\ stackrel {?} {=} -9\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$

    Observe que la variable terminó en el lado derecho del signo igual cuando resolvimos la ecuación. Tal vez prefieras dar un paso más para escribir la solución con la variable en el lado izquierdo del signo igual.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\):

    Resolver: 18 − 27 = 15c − 9c − 3c.

    Responder

    c = -3

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\):

    Resolver: 18 − 22 = 12x − x − 4x.

    Responder

    \(x = -\frac{4}{7}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

    Resolver: −3 (n − 2) − 6 = 21.

    Solución

    Recuerde: siempre simplifique primero cada lado.

    Distribuir. $$−3n + 6 = 21$$
    Simplificar. $$-3x = 21$$
    Divide ambos lados por -3 para aislar n. $$\ begin {split}\ dfrac {-3n} {\ textcolor {rojo} {-3}} &=\ dfrac {21} {\ textcolor {rojo} {-3}}\\ n &= -7\ end {split} $$
    Comprueba tu respuesta. Dejar n = −7. $$\ begin {split} −3 (n − 2) − 6 &= 21\\ -3 (\ textcolor {rojo} {-7} - 2) - 6 &\ stackrel {?} {=} 21\\ -3 (-9) - 6 &\ stackrel {?} {=} 21\\ 27 - 6 &\ stackrel {?} {=} 21\\ 21 &= 21\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\):

    Resolver: −4 (n − 2) − 8 = 24.

    Responder

    n = -6

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\):

    Resolver: −6 (n − 2) − 12 = 30.

    Responder

    n = -5

    ACCEDE A RECURSOS

    Resolviendo Ecuación de Un Paso por Mult/Div. Enteros (Var a la izquierda)

    Resolviendo Ecuación de Un Paso por Mult/Div. Enteros (Var a la derecha)

    Resolviendo la ecuación de un paso en la forma: −x = −a

    La práctica hace la perfección

    Resolver ecuaciones usando las propiedades de división y multiplicación de la igualdad

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación para la variable usando la Propiedad de División de Igualdad y verifica la solución.

    1. 8x = 32
    2. 7p = 63
    3. −5c = 55
    4. −9x = −27
    5. −90 = 6 años
    6. −72 = 12 años
    7. −16p = −64
    8. −8m = −56
    9. 0.25z = 3.25
    10. 0.75a = 11.25
    11. −3x = 0
    12. 4x = 0

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación para la variable usando la Propiedad de Multiplicación de Igualdad y comprueba la solución.

    1. \(\dfrac{x}{4}\)= 15
    2. \(\dfrac{z}{2}\)= 14
    3. −20 =\(\dfrac{q}{−5}\)
    4. \(\dfrac{c}{−3}\)= −12
    5. \(\dfrac{y}{9}\)= −6
    6. \(\dfrac{q}{6}\)= −8
    7. \(\dfrac{m}{−12}\)= 5
    8. −4 =\(\dfrac{p}{−20}\)
    9. \(\dfrac{2}{3}\)y = 18
    10. \(\dfrac{3}{5}\)r = 15
    11. \(− \dfrac{5}{8}\)w = 40
    12. 24 =\(− \dfrac{3}{4}\) x
    13. \(− \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10} a\)
    14. \(− \dfrac{1}{3} q = − \dfrac{5}{6}\)

    Resolver ecuaciones que necesitan simplificarse

    En los siguientes ejercicios, resuelve la ecuación.

    1. 8a + 3a − 6a = −17 + 27
    2. 6y − 3y + 12y = −43 + 28
    3. −9x − 9x + 2x = 50 − 2
    4. −5m + 7m − 8m = −6 + 36
    5. 100 − 16 = 4p − 10p − p
    6. −18 − 7 = 5t − 9t − 6t
    7. \(\dfrac{7}{8} n − \dfrac{3}{4} n\)= 9 + 2
    8. \(\dfrac{5}{12} q + \dfrac{1}{2} q\)= 25 − 3
    9. 0.25d + 0.10d = 6 − 0.75
    10. 0.05p − 0.01p = 2 + 0.24

    Matemáticas cotidianas

    1. Globos Ramona compró 18 globos para una fiesta. Ella quiere hacer 3 racimos iguales. Encuentra el número de globos en cada grupo, b, resolviendo la ecuación 3b = 18.
    2. Enseñar la clase de jardín de infantes de Connie tiene 24 niños. Ella quiere que se metan en 4 grupos iguales. Encuentra el número de niños en cada grupo, g, resolviendo la ecuación 4g = 24.
    3. Precio de entrada Daria pagó $36.25 por 5 boletos infantiles en la pista de patinaje sobre hielo. Encuentra el precio de cada boleto, p, resolviendo la ecuación 5p = 36.25.
    4. Precio unitario Nishant pagó $12.96 por un paquete de 12 botellas de jugo. Encuentra el precio de cada botella, b, resolviendo la ecuación 12b = 12.96.
    5. Economía de combustible La SUV de Tania obtiene la mitad de millas por galón (mpg) que el auto híbrido de su esposo. El SUV obtiene 18 mpg. Encuentra las millas por galón, m, del auto híbrido, resolviendo la ecuación\(\dfrac{1}{2}\) m = 18.
    6. Tela El equipo de perforación utilizó 14 yardas de tela para hacer banderas para un tercio de los miembros. Encuentra cuánta tela, f, necesitarían hacer banderas para todo el equipo resolviendo la ecuación\(\dfrac{1}{3}\) f = 14.

    Ejercicios de escritura

    1. Frida comenzó a resolver la ecuación −3x = 36 sumando 3 a ambos lados. Explique por qué el método de Frida dará como resultado la solución correcta.
    2. Emiliano piensa que x = 40 es la solución a la ecuación\(\dfrac{1}{2}\) x = 80. Explique por qué se equivoca.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para confiar en todos los objetivos?

    Colaboradores y Atribuciones

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