9.9: Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie (Parte 1)
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- Encontrar el volumen y el área superficial de sólidos rectangulares
- Encuentra el volumen y la superficie de las esferas
- Encontrar el volumen y la superficie de los cilindros
- Encuentra volumen de conos
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Evalúa x 3 cuando x = 5. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.3.3.
- Evalúa 2 x cuando x = 5. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.3.4.
- Encuentra el área de un círculo con radio\(\dfrac{7}{2}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.6.12.
En esta sección, terminaremos nuestro estudio de aplicaciones de geometría. Encontramos el volumen y superficie de algunas figuras tridimensionales. Ya que estaremos resolviendo aplicaciones, una vez más mostraremos nuestra Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones de Geometría.
- Paso 1. Lee el problema y asegúrate de entender todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada.
- Paso 2. Identifica lo que buscas.
- Paso 3. Nombra lo que buscas. Elija una variable para representar esa cantidad.
- Paso 4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
- Paso 5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
- Paso 6. Comprueba la respuesta en el problema y asegúrate de que tenga sentido.
- Paso 7. Contesta la pregunta con una oración completa.
Buscar volumen y área de superficie de sólidos rectangulares
Un entrenador de porristas está haciendo que el escuadrón pinte cajas de madera con los colores de la escuela para pararse en los juegos. (Ver Figura\(\PageIndex{1}\)). La cantidad de pintura necesaria para cubrir el exterior de cada caja es la superficie, una medida cuadrada del área total de todos los lados. La cantidad de espacio dentro de la caja es el volumen, una medida cúbica.
Figura\(\PageIndex{1}\) - Esta caja de madera tiene la forma de un sólido rectangular.
Cada caja tiene la forma de un sólido rectangular. Sus dimensiones son la longitud, anchura y altura. El sólido rectangular mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\) tiene longitud 4 unidades, ancho 2 unidades y alto 3 unidades. ¿Se puede decir cuántas unidades cúbicas hay en total? Veamos capa por capa.
Figura\(\PageIndex{2}\) - Romper un sólido rectangular en capas facilita la visualización del número de unidades cúbicas que contiene. Este sólido rectangular de 4 por 2 por 3 tiene 24 unidades cúbicas.
En total hay 24 unidades cúbicas. Observe que 24 es el largo × ancho × alto.
El volumen, V, de cualquier sólido rectangular es producto de la longitud, anchura y altura.
\[V= LWH\]
También podríamos escribir la fórmula para el volumen de un sólido rectangular en términos del área de la base. El área de la base, B, es igual a largo × ancho.
\[B = L \cdot W\]
Podemos sustituir B por L • W en la fórmula de volumen para obtener otra forma de la fórmula de volumen.
\[\begin{split} V &= \textcolor{red}{L \cdot W} \cdot H \\ V &= \textcolor{red}{(L \cdot W)} \cdot H \\ V &= \textcolor{red}{B} h \end{split}\]
Ahora tenemos otra versión de la fórmula de volumen para sólidos rectangulares. Veamos cómo funciona esto con el sólido rectangular 4×2×3 con el que empezamos. Ver Figura\(\PageIndex{3}\).
Figura\(\PageIndex{3}\)
Para encontrar la superficie de un sólido rectangular, piense en encontrar el área de cada una de sus caras. ¿Cuántas caras tiene el sólido rectangular de arriba? Se pueden ver tres de ellos.
\[\begin{split} A_{front} &= L \times W \qquad A_{side} = L \times W \qquad A_{top} = L \times W \\ A_{front} &= 4 \cdot 3 \qquad \quad \; A_{side} = 2 \cdot 3 \qquad \quad \; A_{top} = 4 \cdot 2 \\ A_{front} &= 12 \qquad \qquad A_{side} = 6 \qquad \qquad \; \; A_{top} = 8 \end{split}\]
Aviso para cada una de las tres caras que ves, hay una cara opuesta idéntica que no muestra.
\[\begin{split} S &= (front + back)+(left\; side + right\; side) + (top + bottom) \\ S &= (2 \cdot front) + (2 \cdot left\; side) + (2 \cdot top) \\ S &= 2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ S &= 24 + 12 + 16 \\ S &= 52\; sq.\; units \end{split}\]
El área de superficie S del sólido rectangular que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\) es de 52 unidades cuadradas.
En general, para encontrar la superficie de un sólido rectangular, recuerde que cada cara es un rectángulo, por lo que su área es producto de su longitud y su anchura (ver Figura\(\PageIndex{4}\)). Encuentra el área de cada cara que veas y luego multiplica cada área por dos para dar cuenta de la cara del lado opuesto.
\[S = 2LH + 2LW + 2WH\]
Figura\(\PageIndex{4}\) - Por cada cara del sólido rectangular que le mira, hay otra cara en el lado opuesto. Hay 6 caras en total.
Para un sólido rectangular con largo L, ancho W y alto H:
Para un sólido rectangular con longitud 14 cm, altura 17 cm y ancho 9 cm, encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie.
Solución
El paso 1 es el mismo tanto para (a) como para (b), así que lo mostraremos solo una vez.
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
(a)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el volumen del sólido rectangular |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Let V = volumen |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. | $$\ begin {split} V &= LWH\\ V &= 14\ cdot 9\ cdot 9\ cdot 17\ end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$V = 2,142$$ |
| Paso 6. Cheque. | Te dejamos a ti el control de tus cálculos. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El volumen es de 2,142 centímetros cúbicos. |
b)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la superficie del sólido |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | Let S = superficie |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. | $$\ begin {split} S &= 2LH + 2LW + 2WH\\ S &= 2 (14\ cdot 17) + 2 (14\ cdot 9) + 2 (9\ cdot 17)\ end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$S = 1,034$$ |
| Paso 6. Cheque. | Verifique dos veces con una calculadora. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | La superficie es de 1,034 centímetros cuadrados. |
Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie de sólido rectangular con: longitud 8 pies, ancho 9 pies y altura 11 pies.
- Responder a
-
792 pies cúbicos
- Respuesta b
-
518 pies cuadrados
Encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie de sólido rectangular con: longitud 15 pies, ancho 12 pies y altura 8 pies.
- Responder a
-
1,440 pies cúbicos
- Respuesta b
-
792 pies cuadrados
Una caja rectangular tiene una longitud de 30 pulgadas, un ancho de 25 pulgadas y una altura de 20 pulgadas. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
Solución
El paso 1 es el mismo tanto para (a) como para (b), así que lo mostraremos solo una vez.
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
(a)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el volumen de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | let V = volumen |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. | $$\ begin {split} V &= LWH\\ V &= 30\ cdot 25\ cdot 20\ end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$V = 15,000$$ |
| Paso 6. Cheque. | Comprueba tus matemáticas. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El volumen es de 15,000 pulgadas cúbicas. |
b)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la superficie de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | la superficie de la caja |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. | $$\ begin {split} S &= 2LH + 2LW + 2WH\\ S &= 2 (30\ cdot 20) + 2 (30\ cdot 25) + 2 (25\ cdot 20)\ end {split} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$S = 3,700$$ |
| Paso 6. Cheque. | Compruébelo usted mismo! |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | La superficie es de 3,700 pulgadas cuadradas. |
Una caja rectangular tiene una longitud de 9 pies, un ancho de 4 pies y una altura de 6 pies. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
- Responder a
-
216 pies cúbicos
- Respuesta b
-
228 pies cuadrados
Una maleta rectangular tiene una longitud de 22 pulgadas, un ancho de 14 pulgadas y una altura de 9 pulgadas. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
- Responder a
-
2,772 cu. en
- Respuesta b
-
1,264 pulg.
Volumen y superficie de un cubo
Un cubo es un sólido rectangular cuya longitud, anchura y altura son iguales. Consulte el volumen y la superficie de un cubo, a continuación. Sustituyendo, s por el largo, ancho y alto en las fórmulas para volumen y área de superficie de un sólido rectangular, obtenemos:
\[\begin{split} V &= LWH \quad \; S = 2LH + 2LW + 2WH \\ V &= s \cdot s \cdot s \quad S = 2s \cdot s + 2s \cdot s + 2s \cdot s \\ V &= s^{3} \qquad \quad S = 2s^{2} + 2s^{2} + 2s^{2} \\ &\qquad \qquad \quad \; S = 6s^{2} \end{split}\]
Entonces, para un cubo, las fórmulas para volumen y área de superficie son V = s 3 y S = 6s 2.
Para cualquier cubo con lados de longitud s,
Un cubo mide 2.5 pulgadas en cada lado. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
Solución
El paso 1 es el mismo tanto para (a) como para (b), así que lo mostraremos solo una vez.
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
(a)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el volumen de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | let V = volumen |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. | $$V = s^ {3} $$ |
| Paso 5. Resolver. Sustituir y resolver. | $$\ begin {split} V &= (2.5) ^ {3}\\ V &= 15.625\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | Revisa tu trabajo. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El volumen es de 15.625 pulgadas cúbicas. |
b)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la superficie de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | la superficie de la caja |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. | $$S = 6s^ {2} $$ |
| Paso 5. Resolver. Sustituir y resolver. | $$\ begin {split} S &= 6\ cdot (2.5) ^ {2}\\ S &= 37.5\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | El cheque se te deja a ti. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El área de superficie es de 37.5 pulgadas cuadradas. |
Para un cubo con lado 4.5 metros, encuentre el (a) volumen y (b) área de superficie del cubo.
- Responder a
-
91.125 cu. m
- Respuesta b
-
121.5 metros cuadrados
Para un cubo con un lado de 7.3 yardas, encuentre el volumen (a) y (b) el área de superficie del cubo.
- Responder a
-
389.017 cu. yd.
- Respuesta b
-
319.74 yd.
Un cubo de bloc de notas mide 2 pulgadas en cada lado. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
Solución
| Paso 1. Lee el problema. Dibuja la figura y etiquétela con la información dada. |  |
(a)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | el volumen de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | let V = volumen |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. | $$V = s^ {3} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} V &= 2^ {3}\\ V &= 8\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | Comprueba que hiciste los cálculos correctamente. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El volumen es de 8 pulgadas cúbicas |
b)
| Paso 2. Identifica lo que buscas. | la superficie de la caja |
| Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. | la superficie de la caja |
| Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. | $$S = 6s^ {2} $$ |
| Paso 5. Resuelve la ecuación. | $$\ begin {split} S &= 6\ cdot 2^ {2}\\ S &= 24\ end {split} $$ |
| Paso 6. Cheque. | El cheque se te deja a ti. |
| Paso 7. Contesta la pregunta. | El área de superficie es de 24 pulgadas cuadradas. |
Una caja de empaque es un cubo que mide 4 pies en cada lado. Encontrar su (a) volumen y (b) superficie.
- Responder a
-
64 pies cúbicos
- Respuesta b
-
96 pies cuadrados
Una pared está compuesta por ladrillos en forma de cubo. Cada cubo mide 16 pulgadas en cada lado. Encuentra el (a) volumen y (b) área de superficie de cada cubo.
- Responder a
-
4,096 cu. in.
- Respuesta b
-
1,536