1.1.6: Describiendo las transformaciones

Lección

Transformemos algunos polígonos en el plano de coordenadas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Finding a Center of Rotation

Andre realiza una rotación de 90 grados en sentido antihorario del Polígono P y obtiene Polígono P', pero no dice cuál es el centro de la rotación. ¿Puedes encontrar el centro?

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Info Gap: Transformation Information

Tu profesor te dará ya sea una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu pareja.

Si tu profesor te da la tarjeta de problemas:

1. Lee silenciosamente tu tarjeta y piensa en qué información necesitas para poder responder a la pregunta.
2. Pídele a tu pareja la información específica que necesites.
3. Explica cómo estás usando la información para resolver el problema.

   Continúa haciendo preguntas hasta que tengas la información suficiente para resolver el problema.

4. Comparte la tarjeta de problemas y resuelve el problema de forma independiente.
5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

1. Lee silenciosamente tu tarjeta.
2. Pregúntale a tu pareja “¿Qué información específica necesitas?” y esperar a que pidan información.

   Si tu pareja solicita información que no esté en la tarjeta, no hagas los cálculos por ellos. Diles que no tienes esa información.

3. Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información? ” Escucha el razonamiento de tu pareja y haz preguntas aclaratorias.
4. Lea la tarjeta del problema y resuelva el problema de forma independiente.
5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pídele a tu profesor un nuevo juego de cartas y repite la actividad, negociando roles con tu pareja.

¿Estás listo para más?

A veces dos transformaciones, una realizada tras otra, tienen una bonita descripción como una sola transformación. Por ejemplo, en lugar de traducir 2 unidades hacia arriba seguido de traducir 3 unidades hacia arriba, podríamos simplemente traducir 5 unidades hacia arriba. En lugar de girar 20 grados en sentido antihorario alrededor del origen seguido de rotar 80 grados en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen, simplemente podríamos girar 60 grados en sentido horario alrededor del origen.

¿Puede encontrar una descripción simple de la reflexión a través del\(x\) eje seguido de la reflexión a través del\(y\) eje -eje?

Resumen

El centro de una rotación para una figura no tiene que ser uno de los puntos de la figura. Para encontrar un centro de rotación, busque un punto que esté a la misma distancia de dos puntos correspondientes. Probablemente tendrás que hacer esto por un par de pares diferentes de puntos correspondientes para clavarlo.

Cuando realizamos una secuencia de transformaciones, el orden de las transformaciones puede ser importante. Aquí se\(ABC\) traslada el triángulo hacia arriba dos unidades y luego se refleja sobre el\(x\) eje -eje.

Figura\(\PageIndex{2}\): Triángulo A B C reflejado en un plano de coordenadas, origen O. Eje horizontal y vertical escala negativa 5 a 5 por 1's. El triángulo A B C es azul y tiene coordenadas: A (negativo 2 coma 2), B (negativo 1 coma 3) y C (1 coma negativa 1). El triángulo verde tiene coordenadas: (negativo 2 coma negativo 4), (negativo 1 coma negativo 5) y C (1 coma negativo 1).

Aquí está el triángulo\(ABC\) reflejado sobre el\(x\) -eje y luego traducido hacia arriba dos unidades.

¡El triángulo\(ABC\) termina en dos lugares diferentes cuando las transformaciones se aplican en el orden opuesto!

Figura\(\PageIndex{3}\): Triángulo A B C reflejado en un plano de coordenadas, origen O. Escala del eje horizontal negativo 5 a 5 por 1's. Escala del eje vertical negativo 5 a 5 por 1's. El triángulo A B C es azul y tiene coordenadas: A (negativo 2 coma 2), B (negativo 1 coma 3) y C (1 coma negativa 1). El triángulo verde tiene coordenadas: (negativo 2 coma 0), (negativo 1 coma negativo 1) y (1 coma 3).

Entradas en el glosario

Definición: en sentido horario

En sentido horario significa girar en la misma dirección que las manecillas de un reloj. La parte superior gira a la derecha. Este diagrama muestra la Figura A girada en sentido horario para hacer la Figura B.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Definición: Plano de coordenadas

El plano de coordenadas es un sistema para indicar dónde están los puntos. Por ejemplo. punto\(R\) se encuentra en\((3,2)\) en el plano de coordenadas, ya que es de tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Definición: En sentido antihorario

En sentido antihorario significa girar opuesto a la forma en que giran las manecillas de un reloj. La parte superior gira a la izquierda.

Este diagrama muestra la Figura A girada en sentido antihorario para hacer la Figura B.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Definición: Imagen

Una imagen es el resultado de traducciones, rotaciones y reflexiones sobre un objeto. Cada parte del objeto original se mueve de la misma manera para coincidir con una parte de la imagen.

En este diagrama, el triángulo se\(ABC\) ha traducido hacia arriba y hacia la derecha para hacer triángulo\(DEF\). Triángulo\(DEF\) es la imagen del triángulo original\(ABC\).

Figura\(\PageIndex{7}\)

Definición: Reflexión

Una reflexión a través de una línea mueve cada punto de una figura a un punto directamente en el lado opuesto de la línea. El nuevo punto está a la misma distancia de la línea que estaba en la figura original.

Este diagrama muestra un reflejo de A sobre línea\(l\) que hace que la imagen especular B.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Definición: Rotación

Una rotación mueve cada punto de una figura alrededor de un centro en un ángulo dado en una dirección específica.

Este diagrama muestra el Triángulo A girado alrededor del centro\(O\) 55 grados en sentido horario para obtener el Triángulo B.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Definición: Secuencia de Transformaciones

Una secuencia de transformaciones es un conjunto de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones sobre una figura. Las transformaciones se realizan en un orden dado.

Este diagrama muestra una secuencia de transformaciones para mover la Figura A a la Figura C.

Primero, A se traduce a la derecha para hacer B. A continuación, B se refleja a través de la línea\(l\) para hacer C.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Definición: transformación

Una transformación es una traslación, rotación, reflexión o dilatación, o una combinación de estas.

Definición: Traducción

Una traslación mueve cada punto de una figura una distancia dada en una dirección dada.

Este diagrama muestra una traslación de la Figura A a la Figura B usando la dirección y la distancia dadas por la flecha.

Figura\(\PageIndex{11}\)

Definición: Vertex

Un vértice es un punto donde dos o más aristas se encuentran. Cuando tenemos más de un vértice, los llamamos vértices.

Los vértices en este polígono están etiquetados\(A, B, C, D,\) y\(E\).

Figura\(\PageIndex{12}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Aquí está el Trapecio A en el plano de coordenadas:

Figura\(\PageIndex{13}\)

1. Dibuja el Polígono B, la imagen de A, usando el\(y\) eje -como línea de reflexión.
2. Dibuja el Polígono C, la imagen de B, usando el\(x\) eje -como línea de reflexión.
3. Dibuja el Polígono D, la imagen de C, usando el\(x\) eje -como línea de reflexión.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

El punto\((-4,1)\) se gira 180 grados en sentido antihorario usando el centro\((-3,0)\). ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?

A:\((-5,-2)\)

B:\((-4,-1)\)

C:\((-2,-1)\)

D:\((4,-1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Describir una secuencia de transformaciones para las cuales el Triángulo B es la imagen del Triángulo A.

Figura\(\PageIndex{14}\): Triángulo A y su imagen triángulo B en un plano de coordenadas, origen\(O\). El triángulo A tiene coordenadas (negativo 2 coma negativo 4), (negativo 1 coma 0) y (negativo 3 coma 2). El triángulo B tiene coordenadas (4 coma negativa 2), (3 coma 2) y (5 coma 4).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Aquí hay un cuadrilátero\(ABCD\).

Figura\(\PageIndex{15}\)

Dibuja la imagen del cuadrilátero\(ABCD\) después de cada transformación.

1. La traducción que lleva\(B\) a\(D\).
2. La reflexión sobre el segmento\(BC\).
3. La rotación alrededor punto\(A\) por ángulo\(DAB\), en sentido antihorario.

(De la Unidad 1.1.2)