1.4.3: Líneas paralelas y los ángulos en un triángulo

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Lección

Veamos por qué los ángulos en un triángulo suman 180 grados.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: True or False: Computational Relationships

¿Cada ecuación es verdadera o falsa?

$62-28=60-30$

$3\cdot -8=(2\cdot -8)-8$

$\frac{16}{-2}+\frac{24}{-2}=\frac{40}{-2}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Angle Plus Two

Considera triángulo$ABC$. Seleccione la herramienta Punto medio y haga clic en dos puntos o un segmento para encontrar el punto medio.

$clipboard_e9f70bd471fe7bc624337abaaf5a7e039.png$

Gire el triángulo$ABC$$180^{\circ}$ alrededor del punto medio del lado$AC$. Haga clic derecho en el punto y seleccione Cambiar nombre para etiquetar el nuevo vértice$D$.
Gire el triángulo$ABC$$180^{\circ}$ alrededor del punto medio del lado$AB$. Haga clic derecho en el punto y seleccione Cambiar nombre para etiquetar el nuevo vértice$E$.
Mira los ángulos$EAB$,$BAC$, y$CAD$. Sin medir, escribe lo que piensas que es la suma de las medidas de estos ángulos. Explica o muestra tu razonamiento.
¿La medida del ángulo es$EAB$ igual a la medida de cualquier ángulo en triángulo$ABC$? Si es así, ¿cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?
¿La medida del ángulo es$CAD$ igual a la medida de cualquier ángulo en triángulo$ABC$? Si es así, ¿cuál? Si no, ¿cómo lo sabes?
¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos$ABC$,$BAC$, y$ACB$?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Every Triangle in the World

Aquí está$\Delta ABC$. $DE$La línea es paralela a la línea$AC$.

Figura$\PageIndex{1}$: El punto B se encuentra en la línea D E. Se dibuja el triángulo B A C. El ángulo A B C está etiquetado como b grados. El ángulo B A C está etiquetado como grados. El ángulo A C B está etiquetado como c grados.

¿Qué es$m\angle DBA +b+m\angle CBE$? Explica cómo sabes.
Usa tu respuesta para explicar por qué$a+b+c=180$.
Explica por qué tu argumento funcionará para cualquier triángulo: es decir, explica por qué es la suma de las medidas de ángulo en cualquier triángulo$180^{\circ}$.

¿Estás listo para más?

Usando una regla, crea algunos cuadriláteros. Usa un Transportador para medir los cuatro ángulos dentro del cuadrilátero. ¿Cuál es la suma de estas cuatro medidas angulares?
Crea una explicación de por qué cualquier cosa que notes debe ser verdad (pista: dibuja una diagonal en cada cuadrilátero).

Ejercicio$\PageIndex{4}$: Four Triangles Revisited

Este diagrama muestra un cuadrado$BDFH$ que ha sido realizado por imágenes de triángulo$ABC$ bajo transformaciones rígidas.

Figura$\PageIndex{2}$: Cuadrilátero B D F H. Los ángulos B, D, F y H están marcados como ángulos rectos. El punto C se encuentra en B D. El punto E se encuentra en D F. El punto G se encuentra en F H. El punto A se encuentra en B H. Se dibujan los segmentos A C, C E, E G y G A.

Dado que el ángulo$BAC$ mide 53 grados, encuentra tantas otras medidas de ángulo como puedas.

Resumen

Usando líneas paralelas y rotaciones, podemos entender por qué los ángulos en un triángulo siempre se suman a$180^{\circ}$. Aquí está el triángulo$ABC$. $DE$La línea es paralela$AC$ y contiene$B$.

Figura$\PageIndex{3}$: El punto B se encuentra en el segmento D E. Se dibuja el triángulo B A C. El ángulo D B A está etiquetado x grados. El ángulo A B C está etiquetado como y grados. El ángulo E B C está etiquetado con z grados. El ángulo B A C está etiquetado x grados. El ángulo B C A está etiquetado con z grados.

Una rotación de 180 grados de triángulo$ABC$ alrededor del punto medio de$AB$ intercambia ángulos$A$ y$DBA$ así tienen la misma medida: en la imagen estos ángulos están marcados como$x^{\circ}$. Una rotación de 180 grados del triángulo$ABC$ alrededor del punto medio de$BC$ los ángulos de los$CBE$ intercambios$C$ y así tienen la misma medida: en la imagen, estos ángulos están marcados como$z^{\circ}$. También,$DBE$ es una línea recta porque las rotaciones de 180 grados llevan líneas a líneas paralelas. Entonces los tres ángulos con vértice$B$ hacen una línea y suman hasta$180^{\circ}$ ($x+y+z=180$). Pero$x,y,z$ son las medidas de los tres ángulos en$\Delta ABC$ así la suma de los ángulos en un triángulo es siempre$180^{\circ}$!

Entradas en el glosario

Definición: Ángulos interiores alternos

Los ángulos interiores alternos se crean cuando dos líneas paralelas son cruzadas por otra línea llamada transversal. Los ángulos interiores alternos están dentro de las líneas paralelas y en lados opuestos de la transversal.

Este diagrama muestra dos pares de ángulos interiores alternos. Los ángulos$a$ y$d$ son un par y los ángulos$b$ y$c$ son otro par.