2.3.1: Cumple con la pendiente

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Lección

Aprendamos sobre la pendiente de una línea.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Equal Quotients

Escribe algunos números que sean iguales a\(15\div 12\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Similar Triangles on the Same Line

1. La figura muestra tres triángulos rectos, cada uno con su lado más largo en la misma línea. Tu profesor te asignará dos triángulos. Explique por qué los dos triángulos son similares.

2. Completa la tabla.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
triángulo	longitud del lado vertical	longitud del lado horizontal	(lado vertical)\(\div\) (lado horizontal)
\(ABC\)			\ (\ div\) (lado horizontal) ">
\(CDE\)			\ (\ div\) (lado horizontal) ">
\(FGH\)			\ (\ div\) (lado horizontal) ">

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Multiple Lines with the Same Slope

Dibuja dos líneas con pendiente 3. ¿Qué notas de las dos líneas?
Dibuja dos líneas con pendiente\(\frac{1}{2}\). ¿Qué notas de las dos líneas?

¿Estás listo para más?

A medida que aprendamos más sobre las líneas, ocasionalmente tendremos que considerar las líneas perfectamente verticales como un caso especial y tratarlas de manera diferente. Piensa en aplicar lo aprendido en el último par de actividades al caso de las líneas verticales. ¿Qué es lo mismo? ¿Qué es diferente?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Different Slopes of Different Lines

Aquí hay varias líneas.

Coincidir cada línea que se muestra con una pendiente de esta lista:\(\frac{1}{3}, 2, 1, 0.25, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\).
Una de las pendientes dadas no tiene una línea para igualar. Dibuja una línea con esta pendiente en la rejilla vacía (F).

Resumen

Aquí hay una línea dibujada en una cuadrícula. También hay cuatro triángulos rectos dibujados. ¿Te das cuenta de algo que tienen en común los triángulos?

Figura\(\PageIndex{3}\): Cuatro triángulos rectos cada uno con hipotenusa en la misma línea. Primer lado horizontal 6, lado vertical 4. Segundo lado horizontal 3, lado vertical 2. Tercer lado horizontal 1, fracción lateral vertical 2 sobre 3. Cuarto lado horizontal 6, lado vertical 4.

Estos cuatro triángulos son todos ejemplos de triángulos de pendiente. Un lado de un triángulo de pendiente está en la línea, un lado es vertical y otro lado es horizontal. La pendiente de la línea es el cociente de la longitud del lado vertical y la longitud del lado horizontal del triángulo de pendiente. Este número es el mismo para todos los triángulos de pendiente para la misma línea porque todos los triángulos de pendiente para la misma línea son similares.

En este ejemplo, la pendiente de la línea es\(\frac{2}{3}\), que es lo que tienen en común los cuatro triángulos. Así es como se calcula la pendiente usando los triángulos de pendiente:

Puntos\(A\) y\(B\) dar\(2\div 3=\frac{2}{3}\)
Puntos\(D\) y\(B\) dar\(4\div 6=\frac{2}{3}\)
Puntos\(A\) y\(C\) dar\(4\div 6=\frac{2}{3}\)
Puntos\(A\) y\(E\) dar\(\frac{2}{3}\div 1=\frac{2}{3}\)

Entradas en el glosario

Definición: Similar

Dos figuras son similares si una puede encajar exactamente sobre la otra después de transformaciones rígidas y dilataciones.

En esta figura, el triángulo\(ABC\) es similar al triángulo\(DEF\).

Si\(ABC\) se gira alrededor del punto\(B\) y luego se dilata con el punto central\(O\), entonces se ajustará exactamente sobre\(DEF\). Esto quiere decir que son similares.

Definición: Pendiente

La pendiente de una línea es un número que podemos calcular usando dos puntos cualesquiera en la línea. Para encontrar la pendiente, divida la distancia vertical entre los puntos por la distancia horizontal.

La pendiente de esta línea es de 2 dividido por 3 o\(\frac{2}{3}\).

Práctica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

De las tres líneas de la gráfica, una tiene pendiente 1, una tiene pendiente 2, y otra tiene pendiente Etiquetar cada línea con su pendiente.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dibuja tres líneas con pendiente 2, y tres líneas con pendiente\(\frac{1}{3}\). ¿Qué notas?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La figura muestra dos triángulos rectos, cada uno con su lado más largo en la misma línea.

Explica cómo sabes que los dos triángulos son similares.
¿Cuánto tiempo es\(XY\)?
Para cada triángulo, calcule (lado vertical)\(\div\) (lado horizontal).
¿Cuál es la pendiente de la línea? Explica cómo sabes.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(A\)El triángulo tiene longitudes laterales 3, 4 y 5. \(B\)El triángulo tiene longitudes laterales 6, 7 y 8.

Explica cómo sabes que Triángulo no\(B\) es similar a Triángulo\(A\).
Dar posibles longitudes de lado para Triángulo para\(B\) que sea similar a Triángulo\(A\).

(De la Unidad 2.2.4)