3.1.4: Comparando Relaciones Proporcionales

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Lección

Comparemos las relaciones proporcionales.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: What's the Relationship?

La ecuación$y=4.2x$ podría representar una variedad de situaciones diferentes.

Escribir una descripción de una situación representada por esta ecuación. Decide qué cantidades$x$ y$y$ representar en tu situación.
Hacer una tabla y una gráfica que represente la situación.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Comparing Two Different Representations

Elena cuida a los hijos de su vecina. Sus ganancias vienen dadas por la ecuación$y=8.40x$, donde$x$ representa el número de horas que trabajó y$y$ representa la cantidad de dinero que ganó.
Jada gana 7 dólares por hora cortando el césped de sus vecinos.
1. ¿Quién gana más dinero después de trabajar 12 horas? ¿Cuánto más ganan? Explica tu razonamiento creando una gráfica o una tabla.
2. ¿Cuál es la tasa de cambio para cada situación y qué significa?
3. Usando tu gráfica o tabla, determina cuánto tardaría cada persona en ganar $150.
Clare y Han tienen trabajos de verano relleno de sobres para dos empresas diferentes.
1. Al crear una gráfica, muestra cuánto dinero gana cada persona después de rellenar 1,500 sobres.
2. ¿Cuál es la tasa de cambio para cada situación y qué significa?
3. Usando tu gráfica, determina cuánto más dinero gana una persona en relación con la otra después de rellenar 1,500 sobres. Explica o muestra tu razonamiento.
  
  Han gana 15 dólares por cada 300 sobres que termine.
  
  Las ganancias de Clare se pueden ver en la tabla.

Mesa$\PageIndex{1}$
número de sobres	dinero en dólares
$400$	$40$
$900$	$90$

Tyler planea comenzar un puesto de limonada y está tratando de perfeccionar su receta de limonada. Quiere asegurarse de que la receta no use demasiada mezcla de limonada (jugo de limón y azúcar) pero aún así sabe bien.

Limonada Receta 1 viene dada por la ecuación$y=4x) where \(x$ representa la cantidad de mezcla de limonada en tazas y$y$ representa la cantidad de agua en tazas.

Limonada Receta 2 se da en la tabla.

Tabla\ (\ pageIndex {2}\
mezcla de limonada (tazas)	agua (tazas)
$10$	$50$
$13$	$65$
$21$	$105$

Si Tyler tuviera 16 tazas de mezcla de limonada, ¿cuántas tazas de agua necesitaría para cada receta? Explica tu razonamiento creando una gráfica o una tabla.
¿Cuál es la tasa de cambio para cada situación y qué significa?
Tyler tiene una jarra de 5 galones (que contiene 80 tazas) para usar en su puesto de limonada y 16 tazas de mezcla de limonada. ¿Qué receta de limonada debería usar? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Han y Clare siguen metiendo sobres. Han puede rellenar 20 sobres en un minuto, y Clare puede rellenar 10 sobres en un minuto. Empiezan a trabajar juntos en un montón de mil sobres.

¿Cuánto tiempo les lleva terminar la pila?
¿Quién gana más dinero?

Resumen

Cuando dos relaciones proporcionales se representan de diferentes maneras, las comparamos encontrando una información común.

Por ejemplo, las ganancias de Clare están representadas por la ecuación$y=14.5x$, donde$y$ están sus ganancias en dólares por$x$ horas de trabajo.

En la tabla se muestra cierta información sobre el pago de Jada.

Mesa$\PageIndex{3}$
tiempo trabajado (horas)	ganancias (dólares)
$7$	$92.75$
$4.5$	$59.63$
$37$	$490.25$

¿A quién se le paga a una tarifa mayor por hora? ¿Cuánto más tiene esa persona después de las 20 horas?

En la ecuación de Clare vemos que la tasa de cambio (cuántos dólares gana cada hora) es de 14.50.

Podemos calcular la tasa de cambio de Jada dividiendo un valor en la columna de ganancias por el valor en la misma fila en la columna de tiempo trabajado. Usando la última fila, la tasa de cambio para Jada es de 13.25, ya que$490.25\div 37=13.25$. Una ecuación que representa las ganancias de Jada es$y=13.25x$. Esto significa que gana 13.25 dólares por hora.

Por lo que a Clare se le paga a una tasa mayor que a Jada. Clare gana $1.25 más por hora que Jada. Después de 20 horas de trabajo, gana 25 dólares más que Jada porque$20\cdot (1.25)=25$.

Entradas en el glosario

Definición: Constante de proporcionalidad

En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican cada uno por el mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. A este número se le llama la constante de proporcionalidad.

En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, porque$2\cdot 3=6$,$3\cdot 3=9$, y$5\cdot 3=15$. Esto significa que hay 3 manzanas por cada 1 naranja en la ensalada de frutas.

Mesa$\PageIndex{4}$
número de naranjas	número de manzanas
$2$	$6$
$3$	$9$
$5$	$15$

Definición: Tasa de cambio

La tasa de cambio en una relación lineal es la cantidad que$y$ cambia cuando$x$ aumenta en 1. La tasa de cambio en una relación lineal es también la pendiente de su gráfica.

En esta gráfica,$y$ aumenta 15 dólares cuando$x$ aumenta en 1 hora. La tasa de cambio es de 15 dólares por hora.

Figura$\PageIndex{1}$: Gráfica, eje horizontal, tiempo en horas, escala 0 a 9, por 1's. eje vertical, monto ganado en dólares, escala 0 a 140, por 20's. línea comenzando en 0 coma 10, pasando por 2 coma 40 y 60 coma 100.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Un contratista debe transportar una gran cantidad de suciedad a un sitio de trabajo. Ella recabó información de dos compañías de transporte.

EZ Excavation da sus precios en una tabla.

Mesa$\PageIndex{5}$
dirt (yardas cúbicas)	costo (dólares)
$8$	$196$
$20$	$490$
$26$	$637$

Happy Hauling Service da sus precios en una gráfica.

¿Cuánto cobraría cada compañía de transporte por transportar 40 yardas cúbicas de tierra? Explica o muestra tu razonamiento.
Calcular la tasa de cambio para cada relación. ¿Qué significan para cada empresa?
Si el contratista tiene 40 yardas cúbicas de tierra para transportar y un presupuesto de $1000, ¿qué compañía de transporte debería contratar? Explica o muestra tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Andre y Priya están rastreando la cantidad de pasos que caminan. Andre registra que puede caminar 6000 pasos en 50 minutos. Priya escribe la ecuación$y=118x$, donde$y$ está el número de pasos y$x$ es el número de minutos que camina, para describir su ritmo de paso. Esta semana, Andre y Priya caminan cada uno por un total de 5 horas. ¿Quién camina más pasos? ¿Cuántos más?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra las coordenadas de punto$D$ en cada diagrama:

(De la Unidad 2.3.2)

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Seleccione todos los pares de puntos para que la línea entre esos puntos tenga pendiente$\frac{2}{3}$.

$(0,0)$y$(2,3)$
$(0,0)$y$(3,2)$
$(1,5)$y$(4,7)$
$(-2,-2)$y$(4,2)$
$(20,30)$y$(-20,-30)$

(De la Unidad 2.3.2)

número de sobres	dinero en dólares
\(400\)	\(40\)
\(900\)	\(90\)

mezcla de limonada (tazas)	agua (tazas)
\(10\)	\(50\)
\(13\)	\(65\)
\(21\)	\(105\)

tiempo trabajado (horas)	ganancias (dólares)
\(7\)	\(92.75\)
\(4.5\)	\(59.63\)
\(37\)	\(490.25\)

número de naranjas	número de manzanas
\(2\)	\(6\)
\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(15\)

dirt (yardas cúbicas)	costo (dólares)
\(8\)	\(196\)
\(20\)	\(490\)
\(26\)	\(637\)