3.1.3: Representando relaciones proporcionales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Lección

Vamos a graficar las relaciones proporcionales.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Number Talk: Multiplication

Encuentra mentalmente el valor de cada producto.

$15\cdot 2$

$15\cdot 0.5$

$15\cdot 0.25$

$15\cdot (2.25)$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Representations of Proportional Relationships

1. Aquí hay dos formas de representar una situación.

Descripción:

Jada y Noé contaron el número de pasos que dieron para caminar una distancia fija. Para caminar la misma distancia, Jada dio 8 pasos mientras Noé dio 10 pasos. Entonces encontraron que cuando Noé dio 15 pasos, Jada dio 12 pasos.

Ecuación:

Vamos a$x$ representar el número de pasos que Jada da y dejar$y$ representar el número de pasos que toma Noé$y=\frac{5}{4}x$.

Crear una tabla que represente esta situación con al menos 3 pares de valores.
Grafica esta relación y etiqueta los ejes.

c. ¿Cómo se puede ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?

d. Explique cómo se puede decir que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

2. Aquí hay dos formas de representar una situación.

Descripción:

El Origami Club está haciendo una recaudación de fondos de lavado de autos para recaudar dinero para un viaje. Cobran el mismo precio por cada auto. Después de 11 autos, recaudaron un total de 93.50 dólares. Después de 23 autos, recaudaron un total de $195.50.

Tabla:

Mesa$\PageIndex{1}$
número de autos	cantidad recaudada en dólares
$11$	$93.50$
$23$	$195.50$

a. Escribir una ecuación que represente esta situación. (Se usa$c$ para representar el número de autos y usar$m$ para representar la cantidad recaudada en dólares.)

b. Crear una gráfica que represente esta situación.

c. ¿Cómo se puede ver o calcular la constante de proporcionalidad en cada representación? ¿Qué significa?

d. Explique cómo se puede decir que la ecuación, la descripción, la gráfica y la tabla representan la misma situación.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Info Gap: Proportional Relationships

Tu profesor te dará ya sea una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu pareja.

Si tu profesor te da la tarjeta de problemas:

Lee silenciosamente tu tarjeta y piensa en qué información necesitas para poder responder a la pregunta.
Pídele a tu pareja la información específica que necesites.
Explique cómo está utilizando la información para resolver el problema.Continúe haciendo preguntas hasta que tenga la información suficiente para resolver el problema.
Comparte la tarjeta de problemas y resuelve el problema de forma independiente.
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

Lee silenciosamente tu tarjeta.
Pregúntale a tu pareja “¿Qué información específica necesitas?” y esperar a que pidan información.
Si tu pareja solicita información que no esté en la tarjeta, no hagas los cálculos por ellos. Diles que no tienes esa información.
Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información? ” Escucha el razonamiento de tu pareja y haz preguntas aclaratorias.
Lea la tarjeta del problema y resuelva el problema de forma independiente.
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pídele a tu profesor un nuevo juego de cartas y repite la actividad, negociando roles con tu pareja.

¿Estás listo para más?

Diez personas pueden cavar cinco hoyos en tres horas. Si$n$ las personas que cavan al mismo ritmo cavan$m$ hoyos en$d$ horas:

¿Es$n$ proporcional a$m$ cuándo$d=3$?
¿Es$n$ proporcional a$d$ cuándo$m=5$?
¿Es$m$ proporcional a$d$ cuándo$n=10$?

Resumen

Las relaciones proporcionales se pueden representar de múltiples maneras. La representación que elegimos depende del propósito. Y cuando creamos representaciones podemos elegir valores útiles prestando atención al contexto. Por ejemplo, una receta de estofado requiere 3 zanahorias por cada 2 papas. Una forma de representar esto es usando una ecuación. Si hay$p$ papas y$c$ zanahorias, entonces$c=\frac{3}{2}p$.

Supongamos que queremos hacer un lote grande de esta receta para una reunión familiar, usando 150 papas. Para encontrar el número de zanahorias solo podríamos usar la ecuación:$\frac{3}{2}\cdot 150=225$ zanahorias.

Ahora supongamos que la receta se usa en un restaurante que hace el guiso en lotes grandes de diferentes tamaños dependiendo de lo ocupado que esté al día, utilizando hasta 300 papas a la vez.

Entonces podríamos hacer una gráfica para mostrar cuántas zanahorias se necesitan para diferentes cantidades de papas. Se configuró un par de ejes de coordenadas con una escala de 0 a 300 a lo largo del eje horizontal y de 0 a 450 en el eje vertical, porque$450=\frac{3}{2}\cdot 300$. Entonces podemos leer cuántas zanahorias se necesitan para cualquier cantidad de papas hasta 300.

Figura$\PageIndex{3}$: Gráfica, eje horizontal, número de papas, escala 0 a 300, por 50's. eje vertical, número de zanahorias, escala 0 a 450, por 50's. línea pasa por origen, 100 coma 150, 150 coma 225, 200 coma 300, 250 coma 375, y 300 coma 450.

O si la receta se usa en una fábrica de alimentos que produce cantidades muy grandes y las papas vienen en bolsas de 150, podríamos simplemente hacer una tabla de valores que muestre el número de zanahorias necesarias para diferentes multiplicaciones de 150.

Mesa$\PageIndex{2}$
número de papas	número de zanahorias
$150$	$225$
$300$	$450$
$450$	$675$
$600$	$900$

No importa la representación o la escala utilizada, la constante de proporcionalidad,$\frac{3}{2}$, es evidente en cada uno. En la ecuación es el número$p$ por el que multiplicamos; en la gráfica, es la pendiente; y en la tabla, es el número multiplicamos valores en la columna izquierda para obtener números en la columna derecha. Podemos pensar en la constante de proporcionalidad como una tasa de cambio de$c$ con respecto a$p$. En este caso la tasa de cambio es de$\frac{3}{2}$ zanahorias por papa.

Entradas en el glosario

Definición: Constante de proporcionalidad

En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican cada uno por el mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. A este número se le llama la constante de proporcionalidad.

En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, porque$2\cdot 3=6$,$3\cdot 3=9$, y$5\cdot 3=15$. Esto significa que hay 3 manzanas por cada 1 naranja en la ensalada de frutas.

Mesa$\PageIndex{3}$
número de naranjas	número de manzanas
$2$	$6$
$3$	$9$
$5$	$15$

Definición: Tasa de cambio

La tasa de cambio en una relación lineal es la cantidad que$y$ cambia cuando$x$ aumenta en 1. La tasa de cambio en una relación lineal es también la pendiente de su gráfica.

En esta gráfica,$y$ aumenta 15 dólares cuando$x$ aumenta en 1 hora. La tasa de cambio es de 15 dólares por hora.

Figura$\PageIndex{4}$: Gráfica, eje horizontal, tiempo en horas, escala 0 a 9, por 1's. eje vertical, monto ganado en dólares, escala 0 a 140, por 20's. línea comenzando en 0 coma 10, pasando por 2 coma 40 y 60 coma 100.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Aquí hay una gráfica de la relación proporcional entre calorías y gramos de pescado:

Figura$\PageIndex{5}$: Gráfica, eje horizontal, gramos de pescado, escala 0 a 300, por 50's. eje vertical, número de calorías, escala 0 a 600, por 100's. línea pasa por origen, 100 coma 150, 200 coma 300, 300 coma 450.

Escribir una ecuación que refleje esta relación utilizando$x$ para representar la cantidad de peces en gramos y$y$ para representar el número de calorías.
Usa tu ecuación para completar la tabla:

Mesa$\PageIndex{4}$
gramos de pescado	número de calorías
$1000$
	$2001$
$1$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Los estudiantes están vendiendo boletos de rifa para una recaudación de fondos escolares. Recogen 24 dólares por cada 10 boletos de rifa que vendan.

Supongamos que$M$ es la cantidad de dinero que los estudiantes recaudan por vender boletos de$R$ rifa. Escribir una ecuación que refleje la relación entre$M$ y$R$.
Etiquetar y escalar los ejes y graficar esta situación$M$ en el eje vertical y$R$ en el eje horizontal. Asegúrate de que la escala sea lo suficientemente grande como para ver cuánto recaudarían si venden 1000 boletos.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Describe cómo puedes saber si la pendiente de una línea es mayor que 1, igual a 1 o menor que 1.

(De la Unidad 2.3.1)

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Una línea es representada por la ecuación$\frac{y}{x-2}=\frac{3}{11}$. ¿Cuáles son las coordenadas de algunos puntos que se encuentran en la línea? Grafica la línea en papel cuadriculado.

(De la Unidad 2.3.3)

número de autos	cantidad recaudada en dólares
\(11\)	\(93.50\)
\(23\)	\(195.50\)

número de papas	número de zanahorias
\(150\)	\(225\)
\(300\)	\(450\)
\(450\)	\(675\)
\(600\)	\(900\)

número de naranjas	número de manzanas
\(2\)	\(6\)
\(3\)	\(9\)
\(5\)	\(15\)

gramos de pescado	número de calorías
\(1000\)
	\(2001\)
\(1\)