3.2.1: Introducción a las relaciones lineales

Lección

Exploremos algunas relaciones entre dos variables.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Fraction Division

Encuentra el valor de\(2\frac{5}{8}\div\frac{1}{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Stacking Cups

Tenemos dos pilas de vasos de espuma de poliestireno.

• Una pila tiene 6 tazas, y su altura es de 15 cm.
• La otra pila tiene 12 tazas, y su altura es de 23 cm.

¿Cuántas tazas se necesitan para una pila con una altura de 50 cm?

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Connecting Slope to Rate of Change

1. Si antes no creaste tu propia gráfica de la situación, hazlo ahora.

Figura\(\PageIndex{2}\)

2. ¿Cuáles son algunas formas de saber que el número de tazas no es proporcional a la altura de la pila?

3. ¿Cuál es la pendiente de la línea en tu gráfica? ¿Qué significa la pendiente en esta situación?

4. ¿En qué punto tu línea se cruza con el eje vertical? ¿Qué te dicen las coordenadas de este punto sobre las copas?

5. ¿Cuánta altura agrega cada taza después de la primera a la pila?

Resumen

Andre comienza a cuidar niños y cobra $10 por viajar hacia y desde el trabajo, y $15 por hora. Por cada hora adicional que trabaja cobra otros 15 dólares. Si graficamos las ganancias de Andre en función de cuánto tiempo trabaja, tenemos una línea que comienza en $10 en el eje vertical y luego aumenta 15 dólares cada hora. Una relación lineal es cualquier relación entre dos cantidades donde una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica, eje horizontal, tiempo en horas, escala 0 a 9, por 1's. eje vertical, monto ganado en dólares, escala 0 a 140, por 20's. línea comenzando en 0 coma 10, pasando por 2 coma 40 y 60 coma 100.

Podemos averiguar la tasa de cambio usando la gráfica. Debido a que la tasa de cambio es constante, podemos tomar dos puntos cualesquiera en la gráfica y dividir la cantidad de cambio vertical por la cantidad de cambio horizontal. Por ejemplo, tomar los puntos\((2,40)\) y\((6,100)\). Significan que Andre gana 40 dólares por trabajar 2 horas y 100 dólares por trabajar 6 horas. La tasa de cambio es de\(\frac{100-40}{6-2}=15\) dólares por hora. Las ganancias de Andre suben 15 dólares por cada hora de cuidado de niños.

Observe que esta es la misma forma en que calculamos la pendiente de la línea. Por eso la gráfica es una línea, y por eso llamamos a esto una relación lineal. La tasa de cambio de una relación lineal es la misma que la pendiente de su gráfica.

Con relaciones proporcionales estamos acostumbrados a las gráficas que contienen el punto\((0,0)\). Pero las relaciones proporcionales son solo un tipo de relación lineal. En las siguientes lecciones, continuaremos explorando el otro tipo de relación lineal donde las cantidades no son ambas 0 al mismo tiempo.

Entradas en el glosario

Definición: Relación lineal

Una relación lineal entre dos cantidades significa que están relacionadas así: Cuando una cantidad cambia en una cantidad determinada, la otra cantidad siempre cambia por una cantidad establecida. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

La relación se llama lineal porque su gráfica es una línea.

La gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

Cuando el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas siempre aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día, por lo que la relación es lineal.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un restaurante ofrece entrega para sus pizzas. El costo total es una tarifa de envío añadida al precio de las pizzas. Un cliente paga $25 para que le entreguen 2 pizzas. Otro cliente paga $58 por 5 pizzas. ¿Cuántas pizzas se entregan a un cliente que paga $80?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para pintar una casa, una empresa de pintura cobra una tarifa plana de $500 por suministros, más $50 por cada hora de mano de obra.

1. ¿Cuánto cobraría la empresa de pintura por pintar una casa que necesita 20 horas de mano de obra? ¿Una casa que necesita 50 horas?
2. Dibuja una línea que represente la relación entre\(x\), el número de horas que tarda la compañía de pintura en terminar la casa y\(y\), el costo total de pintar la casa. Etiquete los dos puntos de la pregunta anterior en su gráfica.

Figura\(\PageIndex{5}\)

3. Encuentra la pendiente de la línea. ¿Cuál es el significado de la pendiente en este contexto?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Tyler y Elena están en el equipo de cross country.

Las distancias y tiempos de Tyler para una carrera de entrenamiento se muestran en la gráfica.

Figura\(\PageIndex{6}\): Gráfica, eje horizontal, distancia en millas, escala 0 a 4, por 1's. eje vertical, tiempo en minutos, escala 0 a 190, por 2's. la línea pasa por el origen y 1 coma 8 y la fracción 1 sobre 3.

Las distancias y tiempos de Elena para una carrera de entrenamiento vienen dados por la ecuación\(y=8.5x\), donde\(x\) representa la distancia en millas y\(y\) representa el tiempo en minutos.

1. ¿Quién corrió más lejos en 10 minutos? ¿Cuánto más lejos? Explique cómo sabe.
2. Calcula el ritmo de cada corredor en minutos por milla.
3. ¿Quién corrió más rápido durante la carrera de entrenamiento? Explica o muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 3.1.4)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Escribe una ecuación para la línea que pasa a través\((2,5)\) y\((6,7)\).

(De la Unidad 2.3.3)