3.2.2: Relaciones más lineales

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Lección

Exploremos algunas relaciones más entre dos variables.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Growing

Busca un patrón de crecimiento. Describe el patrón que ves.

Si tu patrón sigue creciendo de la misma manera, ¿cuántas fichas de cada color habrá en el 4º y 5º diagrama? ¿El diagrama 10?
¿Cuántas fichas de cada color habrá en el diagrama$n$ th? Esté preparado para explicar cómo su razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Slopes, Vertical Intercepts, and Graphs

Tu profesor te entregará 6 tarjetas describiendo diferentes situaciones y 6 tarjetas con gráficas.

Haga coincidir cada situación con una gráfica.
Elija una relación proporcional y una relación no proporcional y responda las siguientes preguntas sobre ellas.
1. ¿Cómo se puede encontrar la pendiente a partir de la gráfica? Explica o muestra tu razonamiento.
2. Explique qué significa la pendiente en la situación.
3. Encuentra el punto donde la línea cruza el eje vertical. ¿Qué te dice ese punto sobre la situación?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Summer Reading

Lin tiene una tarea de lectura de verano. Después de leer las primeras 30 páginas del libro, planea leer 40 páginas cada día hasta que termine. Lin hace la gráfica que se muestra aquí para rastrear cuántas páginas totales leerá en los próximos días.

Después del día 1, Lin llega a la página 70, que coincide con el punto$(1,70)$ que hizo en su gráfica. Después del día 4, Lin llega a la página 190, que no coincide con el punto$(4,160)$ que hizo en su gráfica. Lin no está segura de qué salió mal ya que sabe que siguió su plan de lectura.

Dibuja una línea que muestre el plano original de Lin en los ejes.
¿Qué significa la intercepción vertical en esta situación? ¿Cómo se comparan las intercepciones verticales de las dos líneas?
¿Qué significa la pendiente en esta situación? ¿Cómo se comparan las pendientes de las dos líneas?

¿Estás listo para más?

Los abuelos de Jada iniciaron una cuenta de ahorro para ella en 2010. En la tabla se muestra el monto en la cuenta cada año.

Si esta relación se grafica con el año en el eje horizontal y la cantidad en dólares en el eje vertical, ¿cuál es la intercepción vertical? ¿Qué significa en este contexto?

Mesa$\PageIndex{1}$
año	cantidad en dólares
2010	$600$
2012	$750$
2014	$900$
2016	$1050$

Resumen

Al inicio de las vacaciones de verano, Jada y Lin deciden ahorrar parte del dinero que ganan ayudando a sus vecinos a usar durante el ciclo escolar. Jada comienza poniendo $20 en una jarra de ahorro en su habitación y planea ahorrar $10 a la semana. Lin comienza poniendo $10 en un frasco de ahorro en su habitación planea ahorrar 20 dólares a la semana. Aquí hay gráficas de cuánto dinero ahorrarán después de 10 semanas si cada uno sigue sus planes:

Figura$\PageIndex{3}$: Gráfica de 2 líneas en el cuadrante 1. Eje horizontal, tiempo en semanas, escala 0 a 12, por 1's. eje vertical, cantidad ahorrada en dólares, escala 0 a 100, por 20's. línea Lin, y intercept = 10. Pendiente = 20. Línea Jada, e intercepción = 20, pendienta= 10.

El valor donde una línea cruza el eje vertical se denomina intersección vertical. Cuando el eje vertical se etiqueta con una variable like$y$, este valor también suele llamarse$y$ -intercept. La gráfica de Jada tiene una intercepción vertical de $20 mientras que la gráfica de Lin tiene una intercepción vertical de $10. Estos valores reflejan la cantidad de dinero con la que cada uno comenzó. A la 1 semana habrán ahorrado la misma cantidad, $30. Pero después de la semana 1, Lin está ahorrando más dinero a la semana (por lo que tiene una tasa de cambio mayor), por lo que terminará ahorrando más dinero durante el verano si cada uno sigue sus planes.

Entradas en el glosario

Definición: Relación lineal

Una relación lineal entre dos cantidades significa que están relacionadas así: Cuando una cantidad cambia en una cantidad determinada, la otra cantidad siempre cambia por una cantidad establecida. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

La relación se llama lineal porque su gráfica es una línea.

La gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

Cuando el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas siempre aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día, por lo que la relación es lineal.

Definición: Intercepción vertical

La intersección vertical es el punto donde la gráfica de una línea cruza el eje vertical.

El intercepto vertical de esta línea es$(0,-6)$ o apenas -6.

Práctica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Explique qué significan la pendiente y la intercepción en cada situación.

Una gráfica representa el perímetro$y$, en unidades, para un triángulo equilátero con$x$ unidades de longitud lateral. La pendiente de la línea es 3 y la$y$ intersección es 0.
La cantidad de dinero,$y$, en una caja de efectivo después de que se compren$x$ boletos para juegos de carnaval. La pendiente de la línea es$\frac{1}{4}$ y la$y$ intersección es 8.
El número de capítulos leídos,$y$, después de$x$ días. La pendiente de la línea es$\frac{5}{4}$ y la$y$ intersección es 2.
En la gráfica se muestra el costo en dólares$y$,, de una entrega de muffins y el número de muffins,$x$, pedidos. La pendiente de la línea es 2 y la$y$ intersección es 3.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Los clientes del gimnasio pagan una cuota de membresía para unirse y luego una tarifa por cada clase a la que asisten. Aquí hay una gráfica que representa la situación.

¿Qué significa la pendiente de la línea mostrada por los puntos en esta situación?
¿Qué significa la intercepción vertical en esta situación?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

La gráfica muestra la relación entre el número de tazas de harina y el número de tazas de azúcar en la receta de brownie favorita de Lin.

Figura$\PageIndex{7}$: Gráfica, eje horizontal, tazas de azúcar, escala 0 a 5, por 1's. eje vertical, tazas de harina, escala 0 a 4, por 1's. puntos trazados en 1 coma 5 décimas, 2 comas 1, 3 comas 1 y 5 décimas, 4 comas 2, 5 comas 2 y 5 décimas.

En la tabla se muestran las cantidades de harina y azúcar necesarias para la receta de brownie favorita de Noé.

Mesa$\PageIndex{2}$
tazas de azúcar	tazas de harina
$\frac{3}{2}$	$1$
$3$	$2$
$4\frac{1}{2}$	$3$

Noah y Lin compran una bolsa de azúcar de 12 tazas y la dividen de manera uniforme para hacer sus recetas. Si cada uno usa todo su azúcar, ¿cuánta harina necesita cada uno?
Noah y Lin compran una bolsa de 10 tazas de harina y la dividen uniformemente para hacer sus recetas. Si cada uno usa toda su harina, ¿cuánto azúcar necesita cada uno?

(De la Unidad 3.1.4)

tazas de azúcar	tazas de harina
\(\frac{3}{2}\)	\(1\)
\(3\)	\(2\)
\(4\frac{1}{2}\)	\(3\)