3.2.4: Traducir y=mx+b

Lección

Veamos qué pasa con las ecuaciones de líneas traducidas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Lines that Are Translations

Figura\(\PageIndex{1}\): Líneas j, h, g, f, i gráficas en rejilla. j es verde con pendiente negativa, h es amarilla y paralela a f que es negra, h es 6 unidades arriba de f. i es roja y paralela a f y h. i es 2 unidades por debajo de f. g es azul y tiene una pendiente positiva más pronunciada que h, f e i.

El diagrama muestra varias líneas. Sólo se puede ver parte de las líneas, pero en realidad continúan para siempre en ambas direcciones.

1. ¿Qué líneas son imágenes de línea\(f\) bajo una traducción?
2. Para cada línea que sea una traslación de\(f\), dibuje una flecha en la cuadrícula que muestre la distancia de traslación vertical.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Increased Savings

1. Diego gana $10 por hora de canguro. Supongamos que no tiene dinero ahorrado antes de comenzar a cuidar niños y planea ahorrar todas sus ganancias. Grafica cuánto dinero,\(y\), tiene después de\(x\) horas de niñera.
2. Ahora imagina que Diego comenzó con $30 ahorrados antes de comenzar a cuidar niños. En el mismo conjunto de ejes, grafica cuánto dinero\(y\),, tendría después de\(x\) horas de niñera.
3. Compara la segunda línea con la primera línea. ¿Cuánto más dinero tiene Diego después de 1 hora de niñera? ¿2 horas? ¿5 horas? \(x\)horas?
4. Escribe una ecuación para cada línea.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Translating a Line

1. Experimentar con el punto móvil\(A\).
   1. Coloque el punto\(A\) en tres ubicaciones diferentes por encima del\(x\) eje. Para cada ubicación, escriba la ecuación de la línea y las coordenadas de punto\(A\).
   2. Coloque el punto\(A\) en tres ubicaciones diferentes debajo del\(x\) eje. Para cada ubicación, escriba la ecuación de la línea y las coordenadas de punto\(A\).
   3. En las ecuaciones, ¿qué cambia a medida que mueve la línea? ¿Qué se queda igual?
   4. Si la línea pasa por el origen, ¿qué ecuación se muestra? ¿Por qué crees que este es el caso?
2. Tu profesor te dará 12 tarjetas. Hay 4 pares de líneas, A—D, mostrando la gráfica,\(a\), de una relación proporcional y la imagen,\(h\), de\(a\) debajo de una traducción. Haga coincidir cada línea con una ecuación y una tabla o descripción. Para la línea sin ecuación coincidente, escriba una en la tarjeta en blanco.

¿Estás listo para más?

Un alumno dice que la gráfica de la ecuación\(y=3(x+8)\) es la misma que la gráfica de\(y=3x\), sólo traducida hacia arriba por 8 unidades. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué o por qué no?

Resumen

Durante una tormenta de principios de invierno, la nieve cayó a un ritmo de\(\frac{1}{2}\) pulgada por hora. Podemos ver la tasa de cambio,\(\frac{1}{2}\), tanto en la ecuación que representa esta tormenta\(y=\frac{1}{2}x\), como en la pendiente de la línea que representa esta tormenta.

Además de ser una relación lineal entre el tiempo desde el inicio de la tormenta y la profundidad de la nieve, también podemos llamar a esto como una relación proporcional ya que la profundidad de la nieve era 0 al inicio de la tormenta.

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de línea. Eje horizontal, tiempo desde el inicio de la tormenta en horas, escala 0 a 6, por 1's. eje vertical, profundidad de la nieve en pulgadas, escala 0 a 9, por 1's. Los puntos en línea incluyen 0 coma 0, 2 coma 1 y 4 coma 2.

Durante una tormenta de mediados de invierno, la nieve volvió a caer a un ritmo de pulgada por hora, pero esta vez ya había 5 pulgadas de nieve en el suelo.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Podemos graficar esta tormenta en los mismos ejes que la primera tormenta tomando todos los puntos de la gráfica de la primera tormenta y traduciéndolos hasta 5 pulgadas.

Dos horas después de que comience cada tormenta, ha caído 1 pulgada de nieve nueva. Para la primera tormenta, esto significa que ahora hay 1 pulgada de nieve en el suelo. Para la segunda tormenta, esto significa que ahora hay 6 pulgadas de nieve en el suelo.

A diferencia de la primera tormenta, la segunda no es una relación proporcional ya que la línea que representa la segunda tormenta tiene una intercepción vertical de 5. La ecuación que representa la tormenta\(y=\frac{1}{2}x+5\),, es de la forma\(y=mx+b\), donde\(m\) está la tasa de cambio, también la pendiente de la gráfica, y\(b\) es la cantidad inicial, también la intercepción vertical de la gráfica.

Entradas en el glosario

Definición: Relación lineal

Una relación lineal entre dos cantidades significa que están relacionadas así: Cuando una cantidad cambia en una cantidad determinada, la otra cantidad siempre cambia por una cantidad establecida. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.

La relación se llama lineal porque su gráfica es una línea.

La gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.

Cuando el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas siempre aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día, por lo que la relación es lineal.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Definición: Intercepción vertical

La intercepción vertical es el punto donde la gráfica de una línea cruza el eje vertical.

La intercepción vertical de esta línea es\((0,-6)\) o apenas -6.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todas las ecuaciones que tengan gráficas con la misma\(y\) -intercepción.

1. \(y=3x-8\)
2. \(y=3x-9\)
3. \(y=3x+8\)
4. \(y=5x-8\)
5. \(y=2x-8\)
6. \(y=\frac{1}{3}x-8\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Crear una gráfica que muestre las ecuaciones\(y=\frac{1}{4}x\) y\(y=\frac{1}{4}x-5\). Explique cómo las gráficas son iguales y en qué se diferencian.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una compañía de cable cobra $70 por mes por el servicio de cable a clientes existentes.

1. Encuentre una ecuación lineal que represente la relación entre\(x\), el número de meses de servicio y\(y\), el monto total pagado en dólares por un cliente existente.
2. Para nuevos clientes, hay una tarifa de servicio adicional única de $100. Repita el problema anterior para los nuevos clientes.
3. Cuando las dos ecuaciones se grafican en el plano de coordenadas, ¿cómo se relacionan geométricamente entre sí?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Un camino de montaña tiene 5 millas de largo y gana elevación a un ritmo constante. Después de 2 millas, la elevación es de 5500 pies sobre el nivel del mar. Después de 4 millas, la elevación es de 6200 pies sobre el nivel del mar.

1. Encuentra la elevación de la carretera en el punto donde comienza el camino.
2. Describa dónde vería el punto en la parte (a) en una gráfica donde\(y\) representa la elevación en pies y\(x\) representa la distancia a lo largo de la carretera en millas.

(De la Unidad 3.2.2.)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Coincidir cada gráfica con una situación.

Figura\(\PageIndex{6}\): 4 gráficas de líneas etiquetadas A, B, C. D. A, y intercept = 8, pendiente = la fracción 1 sobre 4. B, y intercepción = 3, pendiente = 2. C, y intercepción = 0, pendiente = 3. D, y intercept = 0, pendiente = la fracción 5 sobre 4.

1. Gráfica A
2. Gráfica B
3. Gráfica C
4. Gráfica D

1. La gráfica representa el perímetro\(y\), en unidades, para un triángulo equilátero con longitud lateral de\(x\) unidades. La pendiente de la línea es 3.
2. La cantidad de dinero,\(y\), en una caja de efectivo después de que se compren\(x\) boletos para juegos de carnaval. La pendiente de la línea es\(\frac{1}{4}\).
3. El número de capítulos leídos,\(y\), después de\(x\) días. La pendiente de la línea es\(\frac{5}{4}\).
4. En la gráfica se muestra el costo en dólares\(y\),, de una entrega de muffins y el número de muffins,\(x\), pedidos. La pendiente de la línea es 2.

(De la Unidad 3.2.2)